Theorem txcnoprab 15911

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
txcnoprab.1	|- T = (R X.t S)
txcnoprab.2	|- X = U.U
txcnoprab.3	|- Y = U.W
txcnoprab.4	|- Z = (U X.t W)
txcnoprab.5	|- H = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. Y) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)}

Assertion

Ref	Expression
txcnoprab	|- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U e. Top /\ W e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) -> H e. (Z Cn T))

Distinct variable groups:   x,T,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   x,U,y,z   x,X,y,z   x,Y,y,z   x,F,y,z   x,G,y,z   x,Z,y,z   x,W,y,z

Proof of Theorem txcnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (U X.t W) = (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W))
2	1	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((U X.t W) Cn R) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R))
3	2	eleq2d 1964	. . . . . . . . 9 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (F e. ((U X.t W) Cn R) <-> F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R)))
4	1	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((U X.t W) Cn S) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))
5	4	eleq2d 1964	. . . . . . . . 9 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (G e. ((U X.t W) Cn S) <-> G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S)))
6	3, 5	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S)) <-> (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))))
7	6	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S))) <-> ((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S)))))
8		unieq 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> U.U = U.if(U e. Top, U, {(/)}))
9	8	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (x e. U.U <-> x e. U.if(U e. Top, U, {(/)})))
10	9	anbi1d 679	. . . . . . . . . 10 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((x e. U.U /\ y e. U.W) <-> (x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W)))
11	10	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> (((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.) <-> ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)))
12	11	oprabbidv 4922	. . . . . . . 8 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)})
13	1	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((U X.t W) Cn T) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T))
14	12, 13	eleq12d 1965	. . . . . . 7 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((U X.t W) Cn T) <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T)))
15	7, 14	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((U X.t W) Cn T)) <-> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T))))
16		txcnoprab.4	. . . . . . . . . . 11 |- Z = (U X.t W)
17	16	opreq1i 4892	. . . . . . . . . 10 |- (Z Cn R) = ((U X.t W) Cn R)
18	17	eleq2i 1961	. . . . . . . . 9 |- (F e. (Z Cn R) <-> F e. ((U X.t W) Cn R))
19	16	opreq1i 4892	. . . . . . . . . 10 |- (Z Cn S) = ((U X.t W) Cn S)
20	19	eleq2i 1961	. . . . . . . . 9 |- (G e. (Z Cn S) <-> G e. ((U X.t W) Cn S))
21	18, 20	anbi12i 540	. . . . . . . 8 |- ((F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S)) <-> (F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S)))
22	21	anbi2i 538	. . . . . . 7 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) <-> ((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S))))
23		txcnoprab.5	. . . . . . . . 9 |- H = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. Y) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)}
24		txcnoprab.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U.U
25	24	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. X <-> x e. U.U)
26		txcnoprab.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = U.W
27	26	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. Y <-> y e. U.W)
28	25, 27	anbi12i 540	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ y e. Y) <-> (x e. U.U /\ y e. U.W))
29	28	anbi1i 539	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. X /\ y e. Y) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.) <-> ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.))
30	29	oprabbii 4923	. . . . . . . . 9 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. Y) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)}
31	23, 30	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- H = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)}
32	16	opreq1i 4892	. . . . . . . 8 |- (Z Cn T) = ((U X.t W) Cn T)
33	31, 32	eleq12i 1962	. . . . . . 7 |- (H e. (Z Cn T) <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((U X.t W) Cn T))
34	22, 33	imbi12i 205	. . . . . 6 |- ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) -> H e. (Z Cn T)) <-> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((U X.t W) Cn R) /\ G e. ((U X.t W) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.U /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((U X.t W) Cn T)))
35	15, 34	syl5bb 591	. . . . 5 |- (U = if(U e. Top, U, {(/)}) -> ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) -> H e. (Z Cn T)) <-> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T))))
36		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) = (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})))
37	36	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R))
38	37	eleq2d 1964	. . . . . . . 8 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) <-> F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R)))
39	36	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S))
40	39	eleq2d 1964	. . . . . . . 8 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S) <-> G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S)))
41	38, 40	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S)) <-> (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S))))
42	41	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))) <-> ((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S)))))
43		unieq 3185	. . . . . . . . . . 11 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> U.W = U.if(W e. Top, W, {(/)}))
44	43	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (y e. U.W <-> y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})))
45	44	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) <-> (x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)}))))
46	45	anbi1d 679	. . . . . . . 8 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> (((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.) <-> ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)))
47	46	oprabbidv 4922	. . . . . . 7 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)})
48	36	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T) = ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn T))
49	47, 48	eleq12d 1965	. . . . . 6 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ({<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T) <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn T)))
50	42, 49	imbi12d 688	. . . . 5 |- (W = if(W e. Top, W, {(/)}) -> ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.W) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t W) Cn T)) <-> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn T))))
51		sn0top 8917	. . . . . . . 8 |- {(/)} e. Top
52	51	elimel 3025	. . . . . . 7 |- if(U e. Top, U, {(/)}) e. Top
53	51	elimel 3025	. . . . . . 7 |- if(W e. Top, W, {(/)}) e. Top
54		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) = (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)}))
55	54	txtop 8934	. . . . . . 7 |- ((if(U e. Top, U, {(/)}) e. Top /\ if(W e. Top, W, {(/)}) e. Top) -> (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) e. Top)
56	52, 53, 55	mp2an 761	. . . . . 6 |- (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) e. Top
57		txcnoprab.1	. . . . . . 7 |- T = (R X.t S)
58		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- U.if(U e. Top, U, {(/)}) = U.if(U e. Top, U, {(/)})
59		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- U.if(W e. Top, W, {(/)}) = U.if(W e. Top, W, {(/)})
60	54, 58, 59	txuni 8935	. . . . . . . . 9 |- ((if(U e. Top, U, {(/)}) e. Top /\ if(W e. Top, W, {(/)}) e. Top) -> U.(if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) = (U.if(U e. Top, U, {(/)}) X. U.if(W e. Top, W, {(/)})))
61	52, 53, 60	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- U.(if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) = (U.if(U e. Top, U, {(/)}) X. U.if(W e. Top, W, {(/)}))
62	61	eqcomi 1888	. . . . . . 7 |- (U.if(U e. Top, U, {(/)}) X. U.if(W e. Top, W, {(/)})) = U.(if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)}))
63		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = w -> (F` <.x, y>.) = (F` w))
64		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = w -> (G` <.x, y>.) = (G` w))
65	63, 64	opeq12d 3166	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. = w -> <.(F` <.x, y>.), (G` <.x, y>.)>. = <.(F` w), (G` w)>.)
66		df-opr 4886	. . . . . . . . . 10 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
67		df-opr 4886	. . . . . . . . . 10 |- (xGy) = (G` <.x, y>.)
68	66, 67	opeq12i 3163	. . . . . . . . 9 |- <.(xFy), (xGy)>. = <.(F` <.x, y>.), (G` <.x, y>.)>.
69	65, 68	syl5eq 1940	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = w -> <.(xFy), (xGy)>. = <.(F` w), (G` w)>.)
70	69	dfoprab4s 5056	. . . . . . 7 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} = {<.w, z>. | (w e. (U.if(U e. Top, U, {(/)}) X. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(F` w), (G` w)>.)}
71	57, 62, 70	txcnopab 10228	. . . . . 6 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ (if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn T))
72	56, 71	mp3anl3 1187	. . . . 5 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn R) /\ G e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn S))) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. U.if(U e. Top, U, {(/)}) /\ y e. U.if(W e. Top, W, {(/)})) /\ z = <.(xFy), (xGy)>.)} e. ((if(U e. Top, U, {(/)}) X.t if(W e. Top, W, {(/)})) Cn T))
73	35, 50, 72	dedth2h 3015	. . . 4 |- ((U e. Top /\ W e. Top) -> (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) -> H e. (Z Cn T)))
74	73	imp 377	. . 3 |- (((U e. Top /\ W e. Top) /\ ((R e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S)))) -> H e. (Z Cn T))
75	74	an1s 544	. 2 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U e. Top /\ W e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S)))) -> H e. (Z Cn T))
76	75	3impb 1063	1 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U e. Top /\ W e. Top) /\ (F e. (Z Cn R) /\ G e. (Z Cn S))) -> H e. (Z Cn T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  Topctop 8857   X.t ctx 8930   Cn ccn 9028

This theorem is referenced by:  cnoproprabco 15919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-tx 8931  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain