Theorem txcnmpt 20251

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnmpt.1	|- W = U. U
txcnmpt.2	|- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txcnmpt	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, R   x, S   x, U   x, W

Allowed substitution hint:   H( x)

Proof of Theorem txcnmpt

Dummy variables s r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnmpt.1	. . . . . . 7 |- W = U. U
2		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
3	1, 2	cnf 19874	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : W --> U. R )
4	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : W --> U. R )
5	4	ffvelrnda 6032	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( F ` x ) e. U. R )
6		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
7	1, 6	cnf 19874	. . . . . 6 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : W --> U. S )
8	7	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : W --> U. S )
9	8	ffvelrnda 6032	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( G ` x ) e. U. S )
10		opelxpi 5040	. . . 4 |- ( ( ( F ` x ) e. U. R /\ ( G ` x ) e. U. S ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
11	5, 9, 10	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
12		txcnmpt.2	. . 3 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
13	11, 12	fmptd 6056	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H : W --> ( U. R X. U. S ) )
14	12	mptpreima 5506	. . . . . 6 |- ( `' H " ( r X. s ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) }
15	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> F : W --> U. R )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> F : W --> U. R )
17		ffn 5737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : W --> U. R -> F Fn W )
18		elpreima 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn W -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
20		ibar 504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
21	20	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
22	19, 21	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( F ` x ) e. r ) )
23	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> G : W --> U. S )
24		ffn 5737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : W --> U. S -> G Fn W )
25		elpreima 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn W -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
26	23, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
27		ibar 504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
29	26, 28	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( G ` x ) e. s ) )
30	22, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
31		elin 3683	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) )
32		opelxp 5038	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) )
33	30, 31, 32	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) ) )
34	33	rabbi2dva 3702	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } )
35		inss1 3714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ ( `' F " r )
36		cnvimass 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " r ) C_ dom F
37	35, 36	sstri 3508	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ dom F
38		fdm 5741	. . . . . . . . . 10 |- ( F : W --> U. R -> dom F = W )
39	15, 38	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> dom F = W )
40	37, 39	syl5sseq 3547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W )
41		dfss1 3699	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W <-> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
42	40, 41	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
43	34, 42	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
44	14, 43	syl5eq 2510	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
45		cntop1 19868	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( U Cn S ) -> U e. Top )
46	45	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. Top )
47	46	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> U e. Top )
48		cnima 19893	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ r e. R ) -> ( `' F " r ) e. U )
49	48	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' F " r ) e. U )
50		cnima 19893	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( U Cn S ) /\ s e. S ) -> ( `' G " s ) e. U )
51	50	ad2ant2l 745	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' G " s ) e. U )
52		inopn 19535	. . . . . 6 |- ( ( U e. Top /\ ( `' F " r ) e. U /\ ( `' G " s ) e. U ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
53	47, 49, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
54	44, 53	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
55	54	ralrimivva 2878	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
56		vex 3112	. . . . . 6 |- r e. _V
57		vex 3112	. . . . . 6 |- s e. _V
58	56, 57	xpex 6603	. . . . 5 |- ( r X. s ) e. _V
59	58	rgen2w 2819	. . . 4 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
60		eqid 2457	. . . . 5 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
61		imaeq2 5343	. . . . . 6 |- ( z = ( r X. s ) -> ( `' H " z ) = ( `' H " ( r X. s ) ) )
62	61	eleq1d 2526	. . . . 5 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( `' H " z ) e. U <-> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
63	60, 62	ralrnmpt2 6416	. . . 4 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
64	59, 63	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
65	55, 64	sylibr 212	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U )
66	1	toptopon 19561	. . . 4 |- ( U e. Top <-> U e. (TopOn ` W ) )
67	46, 66	sylib 196	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. (TopOn ` W ) )
68		cntop2 19869	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
69		cntop2 19869	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
70		eqid 2457	. . . . 5 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
71	70	txval 20191	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
72	68, 69, 71	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
73	2	toptopon 19561	. . . . 5 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
74	68, 73	sylib 196	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
75	6	toptopon 19561	. . . . 5 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
76	69, 75	sylib 196	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
77		txtopon 20218	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
78	74, 76, 77	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
79	67, 72, 78	tgcn 19880	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( H e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( H : W --> ( U. R X. U. S ) /\ A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U ) ) )
80	13, 65, 79	mpbir2and 922	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   <.cop 4038   U.cuni 4251   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   topGenctg 14855   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852   tX ctx 20187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-tx 20189

This theorem is referenced by:  uptx  20252  hauseqlcld  20273  txkgen  20279  cnmpt1t  20292  cnmpt2t  20300  txpcon  28874