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Theorem txcnmpt 19177
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1  |-  W  = 
U. U
txcnmpt.2  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, R    x, S    x, U    x, W
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7  |-  W  = 
U. U
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
31, 2cnf 18830 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : W --> U. R )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
54ffvelrnda 5838 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( F `  x )  e.  U. R )
6 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
71, 6cnf 18830 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : W --> U. S )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : W --> U. S
)
98ffvelrnda 5838 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( G `  x )  e.  U. S )
10 opelxpi 4866 . . . 4  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  U. R  /\  ( G `  x
)  e.  U. S
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
115, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
12 txcnmpt.2 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
1311, 12fmptd 5862 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H : W --> ( U. R  X.  U. S ) )
1412mptpreima 5326 . . . . . 6  |-  ( `' H " ( r  X.  s ) )  =  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( r  X.  s ) }
154adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  F : W --> U. R )
17 ffn 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : W --> U. R  ->  F  Fn  W )
18 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
20 ibar 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2219, 21bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( F `  x
)  e.  r ) )
238ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  G : W --> U. S )
24 ffn 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : W --> U. S  ->  G  Fn  W )
25 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
27 ibar 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2926, 28bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( G `  x
)  e.  s ) )
3022, 29anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( x  e.  ( `' F " r )  /\  x  e.  ( `' G " s ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) ) )
31 elin 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
r )  /\  x  e.  ( `' G "
s ) ) )
32 opelxp 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) )
3330, 31, 323bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3433rabbi2dva 3553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  {
x  e.  W  |  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
) } )
35 inss1 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  ( `' F " r )
36 cnvimass 5184 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " r ) 
C_  dom  F
3735, 36sstri 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  dom  F
38 fdm 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : W --> U. R  ->  dom  F  =  W )
3915, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  dom  F  =  W )
4037, 39syl5sseq 3399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W )
41 dfss1 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W  <->  ( W  i^i  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4334, 42eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( r  X.  s ) }  =  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4414, 43syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
45 cntop1 18824 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  U  e.  Top )
4645adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  Top )
4746adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  U  e.  Top )
48 cnima 18849 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  r  e.  R )  ->  ( `' F "
r )  e.  U
)
4948ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' F "
r )  e.  U
)
50 cnima 18849 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( U  Cn  S )  /\  s  e.  S )  ->  ( `' G "
s )  e.  U
)
5150ad2ant2l 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' G "
s )  e.  U
)
52 inopn 18492 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Top  /\  ( `' F " r )  e.  U  /\  ( `' G " s )  e.  U )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5444, 53eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  e.  U
)
5554ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
56 vex 2970 . . . . . 6  |-  r  e. 
_V
57 vex 2970 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
5856, 57xpex 6503 . . . . 5  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
5958rgen2w 2779 . . . 4  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
60 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
61 imaeq2 5160 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( `' H " z )  =  ( `' H " ( r  X.  s
) ) )
6261eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( `' H "
z )  e.  U  <->  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6360, 62ralrnmpt2 6200 . . . 4  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6459, 63ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
6555, 64sylibr 212 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U )
661toptopon 18518 . . . 4  |-  ( U  e.  Top  <->  U  e.  (TopOn `  W ) )
6746, 66sylib 196 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  (TopOn `  W
) )
68 cntop2 18825 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
69 cntop2 18825 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
70 eqid 2438 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
7170txval 19117 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
7268, 69, 71syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
732toptopon 18518 . . . . 5  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
7468, 73sylib 196 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
756toptopon 18518 . . . . 5  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
7669, 75sylib 196 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
77 txtopon 19144 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7874, 76, 77syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7967, 72, 78tgcn 18836 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( H  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( H : W --> ( U. R  X.  U. S )  /\  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U
) ) )
8013, 65, 79mpbir2and 913 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   <.cop 3878   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   topGenctg 14368   Topctop 18478  TopOnctopon 18479    Cn ccn 18808    tX ctx 19113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cn 18811  df-tx 19115
This theorem is referenced by:  uptx  19178  hauseqlcld  19199  txkgen  19205  cnmpt1t  19218  cnmpt2t  19226  txpcon  27090
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