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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > txcnmpt | Structured version Unicode version |
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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txcnmpt.1 |
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txcnmpt.2 |
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txcnmpt |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | txcnmpt.1 |
. . . . . . 7
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2 | eqid 2454 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | cnf 18981 |
. . . . . 6
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4 | 3 | adantr 465 |
. . . . 5
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5 | 4 | ffvelrnda 5951 |
. . . 4
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6 | eqid 2454 |
. . . . . . 7
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7 | 1, 6 | cnf 18981 |
. . . . . 6
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8 | 7 | adantl 466 |
. . . . 5
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9 | 8 | ffvelrnda 5951 |
. . . 4
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10 | opelxpi 4978 |
. . . 4
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11 | 5, 9, 10 | syl2anc 661 |
. . 3
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12 | txcnmpt.2 |
. . 3
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13 | 11, 12 | fmptd 5975 |
. 2
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14 | 12 | mptpreima 5438 |
. . . . . 6
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15 | 4 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 15 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | ffn 5666 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | elpreima 5931 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 16, 17, 18 | 3syl 20 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | ibar 504 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 20 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 19, 21 | bitr4d 256 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | ffn 5666 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | elpreima 5931 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 23, 24, 25 | 3syl 20 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | ibar 504 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 26, 28 | bitr4d 256 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 22, 29 | anbi12d 710 |
. . . . . . . . 9
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31 | elin 3646 |
. . . . . . . . 9
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32 | opelxp 4976 |
. . . . . . . . 9
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33 | 30, 31, 32 | 3bitr4g 288 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | rabbi2dva 3665 |
. . . . . . 7
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35 | inss1 3677 |
. . . . . . . . . 10
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36 | cnvimass 5296 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 35, 36 | sstri 3472 |
. . . . . . . . 9
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38 | fdm 5670 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 15, 38 | syl 16 |
. . . . . . . . 9
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40 | 37, 39 | syl5sseq 3511 |
. . . . . . . 8
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41 | dfss1 3662 |
. . . . . . . 8
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42 | 40, 41 | sylib 196 |
. . . . . . 7
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43 | 34, 42 | eqtr3d 2497 |
. . . . . 6
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44 | 14, 43 | syl5eq 2507 |
. . . . 5
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45 | cntop1 18975 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | adantr 465 |
. . . . . 6
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48 | cnima 19000 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | ad2ant2r 746 |
. . . . . 6
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50 | cnima 19000 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | ad2ant2l 745 |
. . . . . 6
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52 | inopn 18643 |
. . . . . 6
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53 | 47, 49, 51, 52 | syl3anc 1219 |
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54 | 44, 53 | eqeltrd 2542 |
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55 | 54 | ralrimivva 2912 |
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56 | vex 3079 |
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57 | vex 3079 |
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58 | 56, 57 | xpex 6617 |
. . . . 5
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59 | 58 | rgen2w 2900 |
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60 | eqid 2454 |
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61 | imaeq2 5272 |
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62 | 61 | eleq1d 2523 |
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63 | 60, 62 | ralrnmpt2 6314 |
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64 | 59, 63 | ax-mp 5 |
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65 | 55, 64 | sylibr 212 |
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66 | 1 | toptopon 18669 |
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67 | 46, 66 | sylib 196 |
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68 | cntop2 18976 |
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69 | cntop2 18976 |
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70 | eqid 2454 |
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71 | 70 | txval 19268 |
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72 | 68, 69, 71 | syl2an 477 |
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73 | 2 | toptopon 18669 |
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74 | 68, 73 | sylib 196 |
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75 | 6 | toptopon 18669 |
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76 | 69, 75 | sylib 196 |
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77 | txtopon 19295 |
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78 | 74, 76, 77 | syl2an 477 |
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79 | 67, 72, 78 | tgcn 18987 |
. 2
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80 | 13, 65, 79 | mpbir2and 913 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-ral 2803 df-rex 2804 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-id 4743 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-fv 5533 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-map 7325 df-topgen 14500 df-top 18634 df-bases 18636 df-topon 18637 df-cn 18962 df-tx 19266 |
This theorem is referenced by: uptx 19329 hauseqlcld 19350 txkgen 19356 cnmpt1t 19369 cnmpt2t 19377 txpcon 27264 |
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