Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem txcnmpt 20716
 Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1
txcnmpt.2
Assertion
Ref Expression
txcnmpt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7
2 eqid 2471 . . . . . . 7
31, 2cnf 20339 . . . . . 6
43adantr 472 . . . . 5
54ffvelrnda 6037 . . . 4
6 eqid 2471 . . . . . . 7
71, 6cnf 20339 . . . . . 6
87adantl 473 . . . . 5
98ffvelrnda 6037 . . . 4
10 opelxpi 4871 . . . 4
115, 9, 10syl2anc 673 . . 3
12 txcnmpt.2 . . 3
1311, 12fmptd 6061 . 2
1412mptpreima 5335 . . . . . 6
154adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
17 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12
18 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11
20 ibar 512 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 473 . . . . . . . . . . 11
2219, 21bitr4d 264 . . . . . . . . . 10
238ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
24 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12
25 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . 12
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11
27 ibar 512 . . . . . . . . . . . 12
2827adantl 473 . . . . . . . . . . 11
2926, 28bitr4d 264 . . . . . . . . . 10
3022, 29anbi12d 725 . . . . . . . . 9
31 elin 3608 . . . . . . . . 9
32 opelxp 4869 . . . . . . . . 9
3330, 31, 323bitr4g 296 . . . . . . . 8
3433rabbi2dva 3631 . . . . . . 7
35 inss1 3643 . . . . . . . . . 10
36 cnvimass 5194 . . . . . . . . . 10
3735, 36sstri 3427 . . . . . . . . 9
38 fdm 5745 . . . . . . . . . 10
3915, 38syl 17 . . . . . . . . 9
4037, 39syl5sseq 3466 . . . . . . . 8
41 dfss1 3628 . . . . . . . 8
4240, 41sylib 201 . . . . . . 7
4334, 42eqtr3d 2507 . . . . . 6
4414, 43syl5eq 2517 . . . . 5
45 cntop1 20333 . . . . . . . 8
4645adantl 473 . . . . . . 7
4746adantr 472 . . . . . 6
48 cnima 20358 . . . . . . 7
4948ad2ant2r 761 . . . . . 6
50 cnima 20358 . . . . . . 7
5150ad2ant2l 760 . . . . . 6
52 inopn 20006 . . . . . 6
5347, 49, 51, 52syl3anc 1292 . . . . 5
5444, 53eqeltrd 2549 . . . 4
5554ralrimivva 2814 . . 3
56 vex 3034 . . . . . 6
57 vex 3034 . . . . . 6
5856, 57xpex 6614 . . . . 5
5958rgen2w 2769 . . . 4
60 eqid 2471 . . . . 5
61 imaeq2 5170 . . . . . 6
6261eleq1d 2533 . . . . 5
6360, 62ralrnmpt2 6430 . . . 4
6459, 63ax-mp 5 . . 3
6555, 64sylibr 217 . 2
661toptopon 20025 . . . 4 TopOn
6746, 66sylib 201 . . 3 TopOn
68 cntop2 20334 . . . 4
69 cntop2 20334 . . . 4
70 eqid 2471 . . . . 5
7170txval 20656 . . . 4
7268, 69, 71syl2an 485 . . 3
732toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
7468, 73sylib 201 . . . 4 TopOn
756toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
7669, 75sylib 201 . . . 4 TopOn
77 txtopon 20683 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
7874, 76, 77syl2an 485 . . 3 TopOn
7967, 72, 78tgcn 20345 . 2
8013, 65, 79mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cop 3965  cuni 4190   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  ctg 15414  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654 This theorem is referenced by:  uptx  20717  hauseqlcld  20738  txkgen  20744  cnmpt1t  20757  cnmpt2t  20765  txpcon  30027
 Copyright terms: Public domain W3C validator