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Theorem txcn 19997
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcn.1  |-  X  = 
U. R
txcn.2  |-  Y  = 
U. S
txcn.3  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
txcn.4  |-  W  = 
U. U
txcn.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
txcn.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
txcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcn.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. R
21toptopon 19304 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txcn.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 19304 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txcn.5 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
6 txcn.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
76reseq2i 5257 . . . . . . 7  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
85, 7eqtri 2470 . . . . . 6  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
9 tx1cn 19980 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
108, 9syl5eqel 2533 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
11 txcn.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
126reseq2i 5257 . . . . . . 7  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
1311, 12eqtri 2470 . . . . . 6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
14 tx2cn 19981 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
1513, 14syl5eqel 2533 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
16 cnco 19637 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R ) )
17 cnco 19637 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )
1816, 17anim12dan 835 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( P  e.  (
( R  tX  S
)  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) ) )  ->  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )
1918expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
2010, 15, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
212, 4, 20syl2anb 479 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
22213adant3 1015 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
23 cntop1 19611 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
2423ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  U  e.  Top )
25 txcn.4 . . . . . . . 8  |-  W  = 
U. U
2625topopn 19285 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  W  e.  U )
2724, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  W  e.  U )
2825, 1cnf 19617 . . . . . . 7  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
2928ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
3025, 3cnf 19617 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
3130ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
328, 13upxp 19994 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> ( X  X.  Y )  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
33 feq3 5702 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) )
35343anbi1i 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3635eubii 2290 . . . . . . 7  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3732, 36sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
3827, 29, 31, 37syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
39 euex 2292 . . . . 5  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
41 simpll3 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F : W
--> Z )
4227adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  W  e.  U )
431topopn 19285 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
443topopn 19285 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
45 xpexg 6584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
466, 45syl5eqel 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  Z  e.  _V )
4743, 44, 46syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  e.  _V )
48473adant3 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  e.  _V )
4948ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  Z  e.  _V )
50 fex2 6737 . . . . . . 7  |-  ( ( F : W --> Z  /\  W  e.  U  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  _V )
52 eumo 2297 . . . . . . . 8  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5338, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5453adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E* h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
55 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
56 3anass 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
57 coeq2 5148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h ) )
58 coeq2 5148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )
5957, 58jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  h  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6059eqcoms 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  F  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6160biantrud 507 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  ( h : W --> Z  /\  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
62 feq1 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  F : W
--> Z ) )
6361, 62bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  <->  F : W
--> Z ) )
6456, 63syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  F : W --> Z ) )
6564moi2 3264 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\ 
E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  h  =  F )
6651, 54, 55, 41, 65syl22anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  =  F )
67 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
tX  S )  =  ( R  tX  S
)
6867, 1, 3, 6, 5, 11uptx 19996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
6968adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
70 df-reu 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
71 euex 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
7270, 71sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
73 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7425, 73cnf 19617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) )
751, 3txuni 19963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
766, 75syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
77763adant3 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
7978feq3d 5706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) ) )
8074, 79syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W --> Z ) )
8180anim1d 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
8281, 56syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
83 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
8582, 84jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) ) )
8685eximdv 1695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) ) )
8772, 86syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) ) ) ) )
8869, 87mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) )
89 eupick 2342 . . . . . . 7  |-  ( ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9038, 88, 89syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9190imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9266, 91eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9340, 92exlimddv 1711 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9493ex 434 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9522, 94impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   E!weu 2266   E*wmo 2267   E!wreu 2793   _Vcvv 3093   U.cuni 4231    X. cxp 4984    |` cres 4988    o. ccom 4990   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   1stc1st 6780   2ndc2nd 6781   Topctop 19264  TopOnctopon 19265    Cn ccn 19595    tX ctx 19931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-map 7421  df-topgen 14715  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-cn 19598  df-tx 19933
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