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Theorem txcn 19179
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcn.1  |-  X  = 
U. R
txcn.2  |-  Y  = 
U. S
txcn.3  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
txcn.4  |-  W  = 
U. U
txcn.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
txcn.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
txcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcn.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. R
21toptopon 18518 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txcn.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 18518 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txcn.5 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
6 txcn.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
76reseq2i 5102 . . . . . . 7  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
85, 7eqtri 2458 . . . . . 6  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
9 tx1cn 19162 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
108, 9syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
11 txcn.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
126reseq2i 5102 . . . . . . 7  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
1311, 12eqtri 2458 . . . . . 6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
14 tx2cn 19163 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
1513, 14syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
16 cnco 18850 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R ) )
17 cnco 18850 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )
1816, 17anim12dan 833 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( P  e.  (
( R  tX  S
)  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) ) )  ->  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )
1918expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
2010, 15, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
212, 4, 20syl2anb 479 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
22213adant3 1008 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
23 cntop1 18824 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
2423ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  U  e.  Top )
25 txcn.4 . . . . . . . 8  |-  W  = 
U. U
2625topopn 18499 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  W  e.  U )
2724, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  W  e.  U )
2825, 1cnf 18830 . . . . . . 7  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
2928ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
3025, 3cnf 18830 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
3130ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
328, 13upxp 19176 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> ( X  X.  Y )  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
33 feq3 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) )
35343anbi1i 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3635eubii 2276 . . . . . . 7  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3732, 36sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
3827, 29, 31, 37syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
39 euex 2279 . . . . 5  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
41 simpll3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F : W
--> Z )
4227adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  W  e.  U )
431topopn 18499 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
443topopn 18499 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
45 xpexg 6502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
466, 45syl5eqel 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  Z  e.  _V )
4743, 44, 46syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  e.  _V )
48473adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  e.  _V )
4948ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  Z  e.  _V )
50 fex2 6527 . . . . . . 7  |-  ( ( F : W --> Z  /\  W  e.  U  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  _V )
52 eumo 2284 . . . . . . . 8  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5338, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5453adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E* h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
55 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
56 3anass 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
57 coeq2 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h ) )
58 coeq2 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )
5957, 58jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  h  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6059eqcoms 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  F  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6160biantrud 507 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  ( h : W --> Z  /\  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
62 feq1 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  F : W
--> Z ) )
6361, 62bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  <->  F : W
--> Z ) )
6456, 63syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  F : W --> Z ) )
6564moi2 3135 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\ 
E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  h  =  F )
6651, 54, 55, 41, 65syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  =  F )
67 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
tX  S )  =  ( R  tX  S
)
6867, 1, 3, 6, 5, 11uptx 19178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
6968adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
70 df-reu 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
71 euex 2279 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
7270, 71sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
73 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7425, 73cnf 18830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) )
751, 3txuni 19145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
766, 75syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
77763adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
79 feq3 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  =  U. ( R 
tX  S )  -> 
( h : W --> Z 
<->  h : W --> U. ( R  tX  S ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) ) )
8174, 80syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W --> Z ) )
8281anim1d 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
8382, 56syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
84 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
8683, 85jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) ) )
8786eximdv 1676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) ) )
8872, 87syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) ) ) ) )
8969, 88mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) )
90 eupick 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9138, 89, 90syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9291imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9366, 92eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9440, 93exlimddv 1692 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9594ex 434 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9622, 95impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2252   E*wmo 2253   E!wreu 2712   _Vcvv 2967   U.cuni 4086    X. cxp 4833    |` cres 4837    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   Topctop 18478  TopOnctopon 18479    Cn ccn 18808    tX ctx 19113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cn 18811  df-tx 19115
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