Theorem txcn 10227

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcn.1	|- T = (R X.t S)
txcn.2	|- X = U.R
txcn.3	|- Y = U.S
txcn.4	|- Z = (X X. Y)
txcn.5	|- W = U.U
txcn.6	|- P = (1st |` Z)
txcn.7	|- Q = (2nd |` Z)

Assertion

Ref	Expression
txcn	|- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (F e. (U Cn T) <-> ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))))

Proof of Theorem txcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcn.1	. . . . . . . 8 |- T = (R X.t S)
2		txcn.2	. . . . . . . 8 |- X = U.R
3		txcn.3	. . . . . . . 8 |- Y = U.S
4		txcn.4	. . . . . . . 8 |- Z = (X X. Y)
5	1, 2, 3, 4	tx1cn 10223	. . . . . . 7 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> (1st |` Z) e. (T Cn R))
6		txcn.6	. . . . . . 7 |- P = (1st |` Z)
7	5, 6	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> P e. (T Cn R))
8	7	3adant3 896	. . . . 5 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> P e. (T Cn R))
9		simp3 878	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> U e. Top)
10	1	txtop 8934	. . . . . . 7 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> T e. Top)
11	10	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> T e. Top)
12		simp1 876	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> R e. Top)
13		cnco 9045	. . . . . . 7 |- (((U e. Top /\ T e. Top /\ R e. Top) /\ (F e. (U Cn T) /\ P e. (T Cn R))) -> (P o. F) e. (U Cn R))
14	13	ex 402	. . . . . 6 |- ((U e. Top /\ T e. Top /\ R e. Top) -> ((F e. (U Cn T) /\ P e. (T Cn R)) -> (P o. F) e. (U Cn R)))
15	9, 11, 12, 14	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> ((F e. (U Cn T) /\ P e. (T Cn R)) -> (P o. F) e. (U Cn R)))
16	8, 15	mpan2d 766	. . . 4 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (F e. (U Cn T) -> (P o. F) e. (U Cn R)))
17	1, 2, 3, 4	tx2cn 10224	. . . . . . 7 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> (2nd |` Z) e. (T Cn S))
18		txcn.7	. . . . . . 7 |- Q = (2nd |` Z)
19	17, 18	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> Q e. (T Cn S))
20	19	3adant3 896	. . . . 5 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> Q e. (T Cn S))
21		simp2 877	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> S e. Top)
22		cnco 9045	. . . . . . 7 |- (((U e. Top /\ T e. Top /\ S e. Top) /\ (F e. (U Cn T) /\ Q e. (T Cn S))) -> (Q o. F) e. (U Cn S))
23	22	ex 402	. . . . . 6 |- ((U e. Top /\ T e. Top /\ S e. Top) -> ((F e. (U Cn T) /\ Q e. (T Cn S)) -> (Q o. F) e. (U Cn S)))
24	9, 11, 21, 23	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> ((F e. (U Cn T) /\ Q e. (T Cn S)) -> (Q o. F) e. (U Cn S)))
25	20, 24	mpan2d 766	. . . 4 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (F e. (U Cn T) -> (Q o. F) e. (U Cn S)))
26	16, 25	jcad 661	. . 3 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (F e. (U Cn T) -> ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))))
27	26	adantr 425	. 2 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (F e. (U Cn T) -> ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))))
28	1, 2, 3, 4, 6, 18	uptx 10226	. . . . . 6 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))) -> E!h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)))
29		reurex 2440	. . . . . 6 |- (E!h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)))
30	28, 29	syl 12	. . . . 5 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))) -> E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)))
31	30	ex 402	. . . 4 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))))
32	31	adantr 425	. . 3 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))))
33		txcn.5	. . . . . . . . . 10 |- W = U.U
34	33, 2	cnf 9038	. . . . . . . . 9 |- ((U e. Top /\ R e. Top /\ (P o. F) e. (U Cn R)) -> (P o. F):W-->X)
35	34	3expia 1069	. . . . . . . 8 |- ((U e. Top /\ R e. Top) -> ((P o. F) e. (U Cn R) -> (P o. F):W-->X))
36	35	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((R e. Top /\ U e. Top) -> ((P o. F) e. (U Cn R) -> (P o. F):W-->X))
37	36	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> ((P o. F) e. (U Cn R) -> (P o. F):W-->X))
38	33, 3	cnf 9038	. . . . . . . . 9 |- ((U e. Top /\ S e. Top /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> (Q o. F):W-->Y)
39	38	3expia 1069	. . . . . . . 8 |- ((U e. Top /\ S e. Top) -> ((Q o. F) e. (U Cn S) -> (Q o. F):W-->Y))
40	39	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((S e. Top /\ U e. Top) -> ((Q o. F) e. (U Cn S) -> (Q o. F):W-->Y))
41	40	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> ((Q o. F) e. (U Cn S) -> (Q o. F):W-->Y))
42	37, 41	anim12d 617	. . . . 5 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)))
43	42	adantr 425	. . . 4 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)))
44		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.T = U.T
45	33, 44	cnf 9038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. Top /\ T e. Top /\ h e. (U Cn T)) -> h:W-->U.T)
46	45	3expia 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. Top /\ T e. Top) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->U.T))
47	46, 10	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. Top /\ (R e. Top /\ S e. Top)) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->U.T))
48	47	ancoms 484	. . . . . . . . . 10 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ U e. Top) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->U.T))
49	48	3impa 1062	. . . . . . . . 9 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->U.T))
50	1, 2, 3	txuni 8935	. . . . . . . . . . 11 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> U.T = (X X. Y))
51	50	3adant3 896	. . . . . . . . . 10 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> U.T = (X X. Y))
52		feq3 4553	. . . . . . . . . 10 |- (U.T = (X X. Y) -> (h:W-->U.T <-> h:W-->(X X. Y)))
53	51, 52	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (h:W-->U.T <-> h:W-->(X X. Y)))
54	49, 53	sylibd 219	. . . . . . . 8 |- ((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->(X X. Y)))
55	54	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (h e. (U Cn T) -> h:W-->(X X. Y)))
56		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ h:W-->(X X. Y)) -> h:W-->(X X. Y))
57		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (P o. F) = (P o. h))
58		simplr 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (Q o. F) = (Q o. h))
59	56, 57, 58	3jca 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)))
60	59	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)))
61		feq3 4553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Z = (X X. Y) -> (F:W-->Z <-> F:W-->(X X. Y)))
62	4, 61	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F:W-->Z <-> F:W-->(X X. Y))
63	62	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:W-->Z -> F:W-->(X X. Y))
64		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:W-->Z -> (P o. F) = (P o. F))
65		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:W-->Z -> (Q o. F) = (Q o. F))
66	63, 64, 65	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:W-->Z -> (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F)))
67	66	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F)))
68	67	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F)))
69		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Z = (X X. Y) -> (1st |` Z) = (1st |` (X X. Y)))
70	4, 69	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1st |` Z) = (1st |` (X X. Y))
71	6, 70	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- P = (1st |` (X X. Y))
72		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Z = (X X. Y) -> (2nd |` Z) = (2nd |` (X X. Y)))
73	4, 72	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (2nd |` Z) = (2nd |` (X X. Y))
74	18, 73	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Q = (2nd |` (X X. Y))
75	71, 74	upxp 10225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((W e. _V /\ (P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
76	75	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((W e. _V /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
77		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U e. Top -> U.U e. _V)
78	77, 33	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (U e. Top -> W e. _V)
79	76, 78	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U e. Top /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
80	79	3ad2antl3 1040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
81	80	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
82	81	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)))
83		feq1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = y -> (x:W-->(X X. Y) <-> y:W-->(X X. Y)))
84		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = y -> (P o. x) = (P o. y))
85	84	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = y -> ((P o. F) = (P o. x) <-> (P o. F) = (P o. y)))
86		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = y -> (Q o. x) = (Q o. y))
87	86	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = y -> ((Q o. F) = (Q o. x) <-> (Q o. F) = (Q o. y)))
88	83, 85, 87	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = y -> ((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) <-> (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))))
89	88	eu4 1806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) <-> (E.x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ A.xA.y(((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y)))
90	89	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E!x(x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) -> A.xA.y(((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y))
91	82, 90	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> A.xA.y(((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y))
92		feq1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = h -> (x:W-->(X X. Y) <-> h:W-->(X X. Y)))
93		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = h -> (P o. x) = (P o. h))
94	93	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = h -> ((P o. F) = (P o. x) <-> (P o. F) = (P o. h)))
95		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = h -> (Q o. x) = (Q o. h))
96	95	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = h -> ((Q o. F) = (Q o. x) <-> (Q o. F) = (Q o. h)))
97	92, 94, 96	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = h -> ((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) <-> (h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))))
98	97	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = h -> (((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) <-> ((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y)))))
99		equequ1 1494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = h -> (x = y <-> h = y))
100	98, 99	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = h -> ((((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y) <-> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> h = y)))
101		feq1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = F -> (y:W-->(X X. Y) <-> F:W-->(X X. Y)))
102		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = F -> (P o. y) = (P o. F))
103	102	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = F -> ((P o. F) = (P o. y) <-> (P o. F) = (P o. F)))
104		coeq2 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = F -> (Q o. y) = (Q o. F))
105	104	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = F -> ((Q o. F) = (Q o. y) <-> (Q o. F) = (Q o. F)))
106	101, 103, 105	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = F -> ((y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y)) <-> (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))))
107	106	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = F -> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) <-> ((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F)))))
108		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = F -> (h = y <-> h = F))
109	107, 108	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = F -> ((((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> h = y) <-> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))) -> h = F)))
110	100, 109	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x = h /\ y = F) -> ((((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y) <-> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))) -> h = F)))
111	110	cla42gv 2367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((h e. _V /\ F e. _V) -> (A.xA.y(((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y) -> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))) -> h = F)))
112		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- h e. _V
113		fex 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F:W-->Z /\ W e. _V) -> F e. _V)
114	113, 78	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:W-->Z /\ U e. Top) -> F e. _V)
115	114	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U e. Top /\ F:W-->Z) -> F e. _V)
116	115	3ad2antl3 1040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> F e. _V)
117	116	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> F e. _V)
118	117	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> F e. _V)
119	111, 112, 118	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (A.xA.y(((x:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. x) /\ (Q o. F) = (Q o. x)) /\ (y:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. y) /\ (Q o. F) = (Q o. y))) -> x = y) -> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))) -> h = F)))
120	91, 119	mpd 29	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> (((h:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) /\ (F:W-->(X X. Y) /\ (P o. F) = (P o. F) /\ (Q o. F) = (Q o. F))) -> h = F))
121	60, 68, 120	mp2and 767	. . . . . . . . . 10 |- ((((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) /\ ((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h))) /\ h:W-->(X X. Y)) -> h = F)
122	121	exp31 407	. . . . . . . . 9 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> (h:W-->(X X. Y) -> h = F)))
123		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- (h = F -> (h e. (U Cn T) <-> F e. (U Cn T)))
124	123	biimpd 170	. . . . . . . . 9 |- (h = F -> (h e. (U Cn T) -> F e. (U Cn T)))
125	122, 124	syl8 27	. . . . . . . 8 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> (h:W-->(X X. Y) -> (h e. (U Cn T) -> F e. (U Cn T)))))
126	125	com24 41	. . . . . . 7 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (h e. (U Cn T) -> (h:W-->(X X. Y) -> (((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> F e. (U Cn T)))))
127	55, 126	mpdd 57	. . . . . 6 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (h e. (U Cn T) -> (((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> F e. (U Cn T))))
128	127	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- ((((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) /\ ((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y)) -> (E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> F e. (U Cn T)))
129	128	ex 402	. . . 4 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (((P o. F):W-->X /\ (Q o. F):W-->Y) -> (E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> F e. (U Cn T))))
130	43, 129	syld 30	. . 3 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> (E.h e. (U Cn T)((P o. F) = (P o. h) /\ (Q o. F) = (Q o. h)) -> F e. (U Cn T))))
131	32, 130	mpdd 57	. 2 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S)) -> F e. (U Cn T)))
132	27, 131	impbid 574	1 |- (((R e. Top /\ S e. Top /\ U e. Top) /\ F:W-->Z) -> (F e. (U Cn T) <-> ((P o. F) e. (U Cn R) /\ (Q o. F) e. (U Cn S))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  E.wrex 2106  E!wreu 2107  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  -->wf 3994  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  Topctop 8857   X.t ctx 8930   Cn ccn 9028

This theorem is referenced by:  txcnopab 10228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-tx 8931  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain