MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmplem2 Structured version   Unicode version

Theorem txcmplem2 19906
Description: Lemma for txcmp 19907. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
Assertion
Ref Expression
txcmplem2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Distinct variable groups:    v, S    v, Y    v, W    v, X
Allowed substitution hints:    ph( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem2
Dummy variables  f  u  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
2 txcmp.x . . . . 5  |-  X  = 
U. R
3 txcmp.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
4 txcmp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  Comp )
61adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  Comp )
7 txcmp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
9 txcmp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
11 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
122, 3, 5, 6, 8, 10, 11txcmplem1 19905 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
1312ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
14 unieq 4253 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  U. v  =  U. ( f `  u ) )
1514sseq2d 3532 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ( f `  u ) ) )
163, 15cmpcovf 19685 . . 3  |-  ( ( S  e.  Comp  /\  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  u
)  C_  U. v
) )  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
18 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )
)
19 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  f  Fn  w )
20 fniunfv 6147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  w  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  =  U. ran  f )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  =  U. ran  f )
22 frn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
2318, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
24 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
~P W
2523, 24syl6ss 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ~P W
)
26 sspwuni 4411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  C_  ~P W  <->  U.
ran  f  C_  W
)
2725, 26sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U. ran  f  C_  W
)
2821, 27eqsstrd 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  C_  W )
29 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
30 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
3129, 30iunex 6764 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  _V
3231elpw 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  w  (
f `  z )  e.  ~P W  <->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  C_  W
)
3328, 32sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
34 inss2 3719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
35 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3634, 35sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  Fin )
37 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
Fin
38 fss 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( ~P W  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : w --> Fin )
3918, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> Fin )
40 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> Fin  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  Fin )
4140ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : w --> Fin  ->  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
43 iunfi 7808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
4436, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
4533, 44elind 3688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U. w
)
47 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. w  =  U_ z  e.  w  z
4846, 47syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U_ z  e.  w  z )
4948xpeq2d 5023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  ( X  X.  U_ z  e.  w  z ) )
50 xpiundi 5054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  X.  U_ z  e.  w  z )  = 
U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)
5149, 50syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  ( X  X.  z ) )
52 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)
53 xpeq2 5014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( X  X.  u )  =  ( X  X.  z
) )
54 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
5554unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  U. (
f `  u )  =  U. ( f `  z ) )
5653, 55sseq12d 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )  <->  ( X  X.  z ) 
C_  U. ( f `  z ) ) )
5756cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
)  <->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
5852, 57sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
59 ss2iun 4341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U. ( f `  z
)  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
6151, 60eqsstrd 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
6218ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
6324, 62sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
64 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  ~P W  -> 
( f `  z
)  C_  W )
65 uniss 4266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z ) 
C_  W  ->  U. (
f `  z )  C_ 
U. W )
6663, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  U. W
)
679ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
6866, 67sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  ( X  X.  Y ) )
6968ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
70 iunss 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y )  <->  A. z  e.  w  U. (
f `  z )  C_  ( X  X.  Y
) )
7169, 70sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
7261, 71eqssd 3521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
73 iuncom4 4333 . . . . . . . 8  |-  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z )
7472, 73syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)
75 unieq 4253 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  U. v  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) )
7675eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  (
( X  X.  Y
)  =  U. v  <->  ( X  X.  Y )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) ) )
7776rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
7845, 74, 77syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
)
7978expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8079exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8180expimpd 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  (
( Y  =  U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8281rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
) )
8317, 82mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325    X. cxp 4997   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   Compccmp 19680    tX ctx 19824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-cmp 19681  df-tx 19826
This theorem is referenced by:  txcmp  19907
  Copyright terms: Public domain W3C validator