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Theorem txcmplem1 20268
Description: Lemma for txcmp 20270. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
txcmp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txcmplem1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Distinct variable groups:    u, A    v, u, S    u, Y, v    u, W, v    u, X, v    ph, u    u, R
Allowed substitution hints:    ph( v)    A( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables  f 
k  r  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
3 txcmp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
4 opelxpi 5040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  -> 
<. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y
) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6 txcmp.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
85, 7eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U. W
)
9 eluni2 4255 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  A >.  e. 
U. W  <->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
108, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
1312sselda 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( R  tX  S
) )
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
15 eltx 20195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
161, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1817biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( R  tX  S
) )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
1913, 18syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
20 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
22212rexbidv 2975 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k ) ) )
2322rspccv 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  k )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
25 opelxp1 5041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  x  e.  r )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  x  e.  r )
27 opelxp2 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  A  e.  s )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  A  e.  s )
2928snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  { A }  C_  s )
30 xpss2 5121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { A }  C_  s  ->  ( r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
32 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  s ) 
C_  k )
3331, 32sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  k
)
3426, 33jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
3534ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  (
( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3635rexlimdvw 2952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3736reximdv 2931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3824, 37syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3938reximdva 2932 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
4010, 39mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) )
41 rexcom 3019 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
42 r19.42v 3012 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4342rexbii 2959 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  R  E. k  e.  W  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4441, 43bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4540, 44sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4645ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
47 txcmp.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
48 sseq2 3521 . . . 4  |-  ( k  =  ( f `  r )  ->  (
( r  X.  { A } )  C_  k  <->  ( r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )
4947, 48cmpcovf 20018 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
501, 46, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
51 txcmp.y . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. S
521ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Comp )
53 cmptop 20022 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
5414, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
56 cmptop 20022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
5752, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
58 txtop 20196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
5957, 55, 58syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
60 simprrl 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t --> W )
61 frn 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  ->  ran  f  C_  W )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  W )
6311ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
6462, 63sstrd 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  ( R  tX  S ) )
65 uniopn 19533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ran  f  C_  ( R 
tX  S ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
6659, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
67 simprrr 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) )
68 ss2iun 4348 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X.  { A } )  C_  U_ r  e.  t  ( f `  r ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  U_ r  e.  t  ( f `  r
) )
70 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U. t )
71 uniiun 4385 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. t  =  U_ r  e.  t  r
7270, 71syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U_ r  e.  t  r )
7372xpeq1d 5031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } )  =  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } ) )
74 xpiundir 5064 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } )  =  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )
7573, 74syl6req 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )  =  ( X  X.  { A } ) )
76 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  -> 
f  Fn  t )
7760, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f  Fn  t )
78 fniunfv 6160 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
8069, 75, 793sstr3d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } ) 
C_  U. ran  f )
813ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A  e.  Y )
8247, 51, 52, 55, 66, 80, 81txtube 20267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f ) )
83 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
8483rnex 6733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  f  e.  _V
8584elpw 4021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ~P W  <->  ran  f  C_  W )
8662, 85sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
~P W )
87 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
88 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
8987, 88sseldi 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
90 dffn4 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
9177, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t -onto-> ran  f )
92 fofi 7824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
9486, 93elind 3684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
95 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U. v  =  U. ran  f )
9695sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ran  f ) )
9796rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  u )  C_  U. ran  f )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
)
9897ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U. ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
9994, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
10099anim2d 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
101100reximdv 2931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10282, 101mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
103102expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
104103exlimdv 1725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
105104expimpd 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
106105rexlimdva 2949 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10750, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332    X. cxp 5006   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Topctop 19521   Compccmp 20013    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cmp 20014  df-tx 20189
This theorem is referenced by:  txcmplem2  20269
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