Theorem txcmplem1 20580

Description: Lemma for txcmp 20582. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcmp.x	|- X = U. R
txcmp.y	|- Y = U. S
txcmp.r	|- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s	|- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w	|- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u	|- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
txcmp.a	|- ( ph -> A e. Y )

Assertion

Ref	Expression
txcmplem1	|- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Distinct variable groups:   u, A   v, u, S   u, Y, v   u, W, v   u, X, v   ph, u   u, R

Allowed substitution hints:   ph( v)   A( v)   R( v)

Proof of Theorem txcmplem1

Dummy variables f k r s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcmp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. X )
3		txcmp.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
4		opelxpi 4877	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
6		txcmp.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
7	6	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. Y ) = U. W )
8	5, 7	eleqtrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U. W )
9		eluni2 4217	. . . . . . 7 |- ( <. x , A >. e. U. W <-> E. k e. W <. x , A >. e. k )
10	8, 9	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W <. x , A >. e. k )
11		txcmp.w	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
12	11	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W C_ ( R tX S ) )
13	12	sselda 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> k e. ( R tX S ) )
14		txcmp.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Comp )
15		eltx 20507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
16	1, 14, 15	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
17	16	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
18	17	biimpa 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. ( R tX S ) ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
19	13, 18	syldan 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
20		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( r X. s ) <-> <. x , A >. e. ( r X. s ) ) )
21	20	anbi1d 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
22	21	2rexbidv 2944	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
23	22	rspccv 3176	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
25		opelxp1 4878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> x e. r )
26	25	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> x e. r )
27		opelxp2 4879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> A e. s )
28	27	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> A e. s )
29	28	snssd 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> { A } C_ s )
30		xpss2 4955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A } C_ s -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
32		simprr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. s ) C_ k )
33	31, 32	sstrd 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ k )
34	26, 33	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
35	34	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
36	35	rexlimdvw 2918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
37	36	reximdv 2897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
38	24, 37	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
39	38	reximdva 2898	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. W <. x , A >. e. k -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
40	10, 39	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
41		rexcom 2988	. . . . . 6 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
42		r19.42v 2981	. . . . . . 7 |- ( E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
43	42	rexbii 2925	. . . . . 6 |- ( E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
44	41, 43	bitri 252	. . . . 5 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
45	40, 44	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
46	45	ralrimiva 2837	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
47		txcmp.x	. . . 4 |- X = U. R
48		sseq2 3483	. . . 4 |- ( k = ( f ` r ) -> ( ( r X. { A } ) C_ k <-> ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) )
49	47, 48	cmpcovf 20330	. . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
50	1, 46, 49	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
51		txcmp.y	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
52	1	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Comp )
53		cmptop 20334	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
55	54	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> S e. Top )
56		cmptop 20334	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Top )
58		txtop 20508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
59	57, 55, 58	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
60		simprrl 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t --> W )
61		frn 5743	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> ran f C_ W )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ W )
63	11	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> W C_ ( R tX S ) )
64	62, 63	sstrd 3471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ ( R tX S ) )
65		uniopn 19851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ran f C_ ( R tX S ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
66	59, 64, 65	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
67		simprrr 773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) )
68		ss2iun 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
70		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U. t )
71		uniiun 4346	. . . . . . . . . . . 12 |- U. t = U_ r e. t r
72	70, 71	syl6eq 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U_ r e. t r )
73	72	xpeq1d 4868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) = ( U_ r e. t r X. { A } ) )
74		xpiundir 4901	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ r e. t r X. { A } ) = U_ r e. t ( r X. { A } )
75	73, 74	syl6req 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) = ( X X. { A } ) )
76		ffn 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> f Fn t )
77	60, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f Fn t )
78		fniunfv 6158	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
80	69, 75, 79	3sstr3d 3503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) C_ U. ran f )
81	3	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A e. Y )
82	47, 51, 52, 55, 66, 80, 81	txtube 20579	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
83		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
84	83	rnex 6732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran f e. _V
85	84	elpw 3982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ~P W <-> ran f C_ W )
86	62, 85	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ~P W )
87		inss2 3680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
88		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
89	87, 88	sseldi 3459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. Fin )
90		dffn4 5807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
91	77, 90	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
92		fofi 7857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
93	89, 91, 92	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
94	86, 93	elind 3647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P W i^i Fin ) )
95		unieq 4221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
96	95	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
97	96	rspcev 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v )
98	97	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
99	94, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
100	99	anim2d 567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
101	100	reximdv 2897	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
102	82, 101	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
103	102	expr 618	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
104	103	exlimdv 1768	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
105	104	expimpd 606	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
106	105	rexlimdva 2915	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
107	50, 106	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   i^i cin 3432   C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   {csn 3993   <.cop 3999   U.cuni 4213   U_ciun 4293   X. cxp 4843   ran crn 4846   Fn wfn 5587   -->wf 5588   -onto->wfo 5590   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   Topctop 19841   Compccmp 20325   tX ctx 20499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-fin 7572  df-topgen 15294  df-top 19845  df-bases 19846  df-cmp 20326  df-tx 20501

This theorem is referenced by:  txcmplem2  20581