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Theorem txcmplem1 19870
Description: Lemma for txcmp 19872. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x |- X = U. R
txcmp.y |- Y = U. S
txcmp.r |- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s |- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
txcmp.a |- ( ph -> A e. Y )
Assertion
Ref Expression
txcmplem1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
Distinct variable groups:   u, A   v, u, S   u, Y, v   u, W, v   u, X, v   ph, u   u, R
Allowed substitution hints:   ph( v)   A( v)   R( v)
Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables f k r s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. X )
3 txcmp.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
4 opelxpi 5023 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
6 txcmp.u . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
76adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. Y ) = U. W )
85, 7eleqtrd 2550 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U. W )
9 eluni2 4242 . . . . . . 7 |- ( <. x , A >. e. U. W <-> E. k e. W <. x , A >. e. k )
108, 9sylib 196 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W <. x , A >. e. k )
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W C_ ( R tX S ) )
1312sselda 3497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> k e. ( R tX S ) )
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Comp )
15 eltx 19797 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
161, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
1817biimpa 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. ( R tX S ) ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
1913, 18syldan 470 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
20 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( r X. s ) <-> <. x , A >. e. ( r X. s ) ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
22212rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
2322rspccv 3204 . . . . . . . . 9 |- ( A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
25 opelxp1 5024 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> x e. r )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> x e. r )
27 opelxp2 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> A e. s )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> A e. s )
2928snssd 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> { A } C_ s )
30 xpss2 5103 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A } C_ s -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
32 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. s ) C_ k )
3331, 32sstrd 3507 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ k )
3426, 33jca 532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
3635rexlimdvw 2951 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
3736reximdv 2930 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
3824, 37syld 44 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
3938reximdva 2931 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. W <. x , A >. e. k -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
4010, 39mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
41 rexcom 3016 . . . . . 6 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
42 r19.42v 3009 . . . . . . 7 |- ( E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
4342rexbii 2958 . . . . . 6 |- ( E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
4441, 43bitri 249 . . . . 5 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
4540, 44sylib 196 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
4645ralrimiva 2871 . . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
47 txcmp.x . . . 4 |- X = U. R
48 sseq2 3519 . . . 4 |- ( k = ( f ` r ) -> ( ( r X. { A } ) C_ k <-> ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) )
4947, 48cmpcovf 19650 . . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
501, 46, 49syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
51 txcmp.y . . . . . . . 8 |- Y = U. S
521ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Comp )
53 cmptop 19654 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
5414, 53syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> S e. Top )
56 cmptop 19654 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
5752, 56syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Top )
58 txtop 19798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
5957, 55, 58syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
60 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t --> W )
61 frn 5728 . . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> ran f C_ W )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ W )
6311ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> W C_ ( R tX S ) )
6462, 63sstrd 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ ( R tX S ) )
65 uniopn 19166 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ran f C_ ( R tX S ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
6659, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) )
68 ss2iun 4334 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
70 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U. t )
71 uniiun 4371 . . . . . . . . . . . 12 |- U. t = U_ r e. t r
7270, 71syl6eq 2517 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U_ r e. t r )
7372xpeq1d 5015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) = ( U_ r e. t r X. { A } ) )
74 xpiundir 5047 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ r e. t r X. { A } ) = U_ r e. t ( r X. { A } )
7573, 74syl6req 2518 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) = ( X X. { A } ) )
76 ffn 5722 . . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> f Fn t )
7760, 76syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f Fn t )
78 fniunfv 6138 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
8069, 75, 793sstr3d 3539 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) C_ U. ran f )
813ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A e. Y )
8247, 51, 52, 55, 66, 80, 81txtube 19869 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
83 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
8483rnex 6708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran f e. _V
8584elpw 4009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ~P W <-> ran f C_ W )
8662, 85sylibr 212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ~P W )
87 inss2 3712 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
88 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
8987, 88sseldi 3495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. Fin )
90 dffn4 5792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
9177, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
92 fofi 7795 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
9486, 93elind 3681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P W i^i Fin ) )
95 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
9695sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
9796rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v )
9897ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
9994, 98syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
10099anim2d 565 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
101100reximdv 2930 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
10282, 101mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
103102expr 615 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
104103exlimdv 1695 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
105104expimpd 603 . . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
106105rexlimdva 2948 . 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
10750, 106mpd 15 1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3468   C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   <.cop 4026   U.cuni 4238   U_ciun 4318   X. cxp 4990   ran crn 4993   Fn wfn 5574   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   Topctop 19154   Compccmp 19645   tX ctx 19789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-cmp 19646  df-tx 19791
This theorem is referenced by:  txcmplem2  19871
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