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Theorem txcmplem1 20580
Description: Lemma for txcmp 20582. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
txcmp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txcmplem1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Distinct variable groups:    u, A    v, u, S    u, Y, v    u, W, v    u, X, v    ph, u    u, R
Allowed substitution hints:    ph( v)    A( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables  f 
k  r  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
3 txcmp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
4 opelxpi 4877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  -> 
<. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y
) )
52, 3, 4syl2anr 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6 txcmp.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
76adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
85, 7eleqtrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U. W
)
9 eluni2 4217 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  A >.  e. 
U. W  <->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
108, 9sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
1211adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
1312sselda 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( R  tX  S
) )
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
15 eltx 20507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
161, 14, 15syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1817biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( R  tX  S
) )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
1913, 18syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
20 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
2120anbi1d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
22212rexbidv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k ) ) )
2322rspccv 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  k )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
25 opelxp1 4878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  x  e.  r )
2625ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  x  e.  r )
27 opelxp2 4879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  A  e.  s )
2827ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  A  e.  s )
2928snssd 4139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  { A }  C_  s )
30 xpss2 4955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { A }  C_  s  ->  ( r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
32 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  s ) 
C_  k )
3331, 32sstrd 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  k
)
3426, 33jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
3534ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  (
( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3635rexlimdvw 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3736reximdv 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3824, 37syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3938reximdva 2898 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
4010, 39mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) )
41 rexcom 2988 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
42 r19.42v 2981 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4342rexbii 2925 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  R  E. k  e.  W  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4441, 43bitri 252 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4540, 44sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4645ralrimiva 2837 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
47 txcmp.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
48 sseq2 3483 . . . 4  |-  ( k  =  ( f `  r )  ->  (
( r  X.  { A } )  C_  k  <->  ( r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )
4947, 48cmpcovf 20330 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
501, 46, 49syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
51 txcmp.y . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. S
521ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Comp )
53 cmptop 20334 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
5414, 53syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
5554ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
56 cmptop 20334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
5752, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
58 txtop 20508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
5957, 55, 58syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
60 simprrl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t --> W )
61 frn 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  ->  ran  f  C_  W )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  W )
6311ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
6462, 63sstrd 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  ( R  tX  S ) )
65 uniopn 19851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ran  f  C_  ( R 
tX  S ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
6659, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
67 simprrr 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) )
68 ss2iun 4309 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X.  { A } )  C_  U_ r  e.  t  ( f `  r ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  U_ r  e.  t  ( f `  r
) )
70 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U. t )
71 uniiun 4346 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. t  =  U_ r  e.  t  r
7270, 71syl6eq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U_ r  e.  t  r )
7372xpeq1d 4868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } )  =  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } ) )
74 xpiundir 4901 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } )  =  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )
7573, 74syl6req 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )  =  ( X  X.  { A } ) )
76 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  -> 
f  Fn  t )
7760, 76syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f  Fn  t )
78 fniunfv 6158 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
8069, 75, 793sstr3d 3503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } ) 
C_  U. ran  f )
813ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A  e.  Y )
8247, 51, 52, 55, 66, 80, 81txtube 20579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f ) )
83 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
8483rnex 6732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  f  e.  _V
8584elpw 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ~P W  <->  ran  f  C_  W )
8662, 85sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
~P W )
87 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
88 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
8987, 88sseldi 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
90 dffn4 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
9177, 90sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t -onto-> ran  f )
92 fofi 7857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
9389, 91, 92syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
9486, 93elind 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
95 unieq 4221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U. v  =  U. ran  f )
9695sseq2d 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ran  f ) )
9796rspcev 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  u )  C_  U. ran  f )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
)
9897ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U. ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
9994, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
10099anim2d 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
101100reximdv 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10282, 101mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
103102expr 618 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
104103exlimdv 1768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
105104expimpd 606 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
106105rexlimdva 2915 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10750, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    i^i cin 3432    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   {csn 3993   <.cop 3999   U.cuni 4213   U_ciun 4293    X. cxp 4843   ran crn 4846    Fn wfn 5587   -->wf 5588   -onto->wfo 5590   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   Topctop 19841   Compccmp 20325    tX ctx 20499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-fin 7572  df-topgen 15294  df-top 19845  df-bases 19846  df-cmp 20326  df-tx 20501
This theorem is referenced by:  txcmplem2  20581
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