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Theorem txcmplem1 19870
Description: Lemma for txcmp 19872. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
txcmp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txcmplem1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Distinct variable groups:    u, A    v, u, S    u, Y, v    u, W, v    u, X, v    ph, u    u, R
Allowed substitution hints:    ph( v)    A( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables  f 
k  r  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
3 txcmp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
4 opelxpi 5023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  -> 
<. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y
) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6 txcmp.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
85, 7eleqtrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U. W
)
9 eluni2 4242 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  A >.  e. 
U. W  <->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
108, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k
)
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
1312sselda 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( R  tX  S
) )
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
15 eltx 19797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
161, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
1817biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( R  tX  S
) )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
1913, 18syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )
20 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
22212rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k ) ) )
2322rspccv 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  k  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
y  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  k )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) ) )
25 opelxp1 5024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  x  e.  r )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  x  e.  r )
27 opelxp2 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( r  X.  s
)  ->  A  e.  s )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  A  e.  s )
2928snssd 4165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  { A }  C_  s )
30 xpss2 5103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { A }  C_  s  ->  ( r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  (
r  X.  s ) )
32 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  s ) 
C_  k )
3331, 32sstrd 3507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
r  X.  { A } )  C_  k
)
3426, 33jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W
)  /\  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  k
) )  ->  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
3534ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  (
( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3635rexlimdvw 2951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  -> 
( x  e.  r  /\  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  k ) ) )
3736reximdv 2930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  k )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3824, 37syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  W )  ->  ( <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
3938reximdva 2931 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. k  e.  W  <. x ,  A >.  e.  k  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) ) )
4010, 39mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  W  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  (
r  X.  { A } )  C_  k
) )
41 rexcom 3016 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
42 r19.42v 3009 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  W  ( x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4342rexbii 2958 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  R  E. k  e.  W  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4441, 43bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  W  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  ( r  X.  { A } )  C_  k
)  <->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
4540, 44sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } ) 
C_  k ) )
4645ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  R  ( x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )
47 txcmp.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
48 sseq2 3519 . . . 4  |-  ( k  =  ( f `  r )  ->  (
( r  X.  { A } )  C_  k  <->  ( r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )
4947, 48cmpcovf 19650 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  R  (
x  e.  r  /\  E. k  e.  W  ( r  X.  { A } )  C_  k
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
501, 46, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) ) )
51 txcmp.y . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. S
521ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Comp )
53 cmptop 19654 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
5414, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
56 cmptop 19654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
5752, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
58 txtop 19798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
5957, 55, 58syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
60 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t --> W )
61 frn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  ->  ran  f  C_  W )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  W )
6311ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
6462, 63sstrd 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  C_  ( R  tX  S ) )
65 uniopn 19166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ran  f  C_  ( R 
tX  S ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
6659, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( R  tX  S
) )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) )
68 ss2iun 4334 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X.  { A } )  C_  U_ r  e.  t  ( f `  r ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  U_ r  e.  t  ( f `  r
) )
70 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U. t )
71 uniiun 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. t  =  U_ r  e.  t  r
7270, 71syl6eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  X  =  U_ r  e.  t  r )
7372xpeq1d 5015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } )  =  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } ) )
74 xpiundir 5047 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ r  e.  t  r  X.  { A } )  =  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )
7573, 74syl6req 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( r  X. 
{ A } )  =  ( X  X.  { A } ) )
76 ffn 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : t --> W  -> 
f  Fn  t )
7760, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f  Fn  t )
78 fniunfv 6138 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  U_ r  e.  t  ( f `  r )  =  U. ran  f )
8069, 75, 793sstr3d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( X  X.  { A } ) 
C_  U. ran  f )
813ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  A  e.  Y )
8247, 51, 52, 55, 66, 80, 81txtube 19869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f ) )
83 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
8483rnex 6708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  f  e.  _V
8584elpw 4009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ~P W  <->  ran  f  C_  W )
8662, 85sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
~P W )
87 inss2 3712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
88 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
8987, 88sseldi 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
90 dffn4 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
9177, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  f :
t -onto-> ran  f )
92 fofi 7795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
9486, 93elind 3681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
95 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U. v  =  U. ran  f )
9695sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ran  f ) )
9796rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  u )  C_  U. ran  f )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
)
9897ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U. ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
9994, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( X  X.  u )  C_  U.
ran  f  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
10099anim2d 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
101100reximdv 2930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U. ran  f
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10282, 101mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X.  { A } ) 
C_  ( f `  r ) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
103102expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
)  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
104103exlimdv 1695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
105104expimpd 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  ( r  X. 
{ A } ) 
C_  ( f `  r ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
106105rexlimdva 2948 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> W  /\  A. r  e.  t  (
r  X.  { A } )  C_  (
f `  r )
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) ) )
10750, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   <.cop 4026   U.cuni 4238   U_ciun 4318    X. cxp 4990   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   Topctop 19154   Compccmp 19645    tX ctx 19789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-cmp 19646  df-tx 19791
This theorem is referenced by:  txcmplem2  19871
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