Theorem txcmplem1 20656

Description: Lemma for txcmp 20658. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcmp.x	|- X = U. R
txcmp.y	|- Y = U. S
txcmp.r	|- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s	|- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w	|- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u	|- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
txcmp.a	|- ( ph -> A e. Y )

Assertion

Ref	Expression
txcmplem1	|- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Distinct variable groups:   u, A   v, u, S   u, Y, v   u, W, v   u, X, v   ph, u   u, R

Allowed substitution hints:   ph( v)   A( v)   R( v)

Proof of Theorem txcmplem1

Dummy variables f k r s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcmp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. X )
3		txcmp.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
4		opelxpi 4866	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
6		txcmp.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
7	6	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. Y ) = U. W )
8	5, 7	eleqtrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U. W )
9		eluni2 4202	. . . . . . 7 |- ( <. x , A >. e. U. W <-> E. k e. W <. x , A >. e. k )
10	8, 9	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W <. x , A >. e. k )
11		txcmp.w	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
12	11	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W C_ ( R tX S ) )
13	12	sselda 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> k e. ( R tX S ) )
14		txcmp.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Comp )
15		eltx 20583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
16	1, 14, 15	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
18	17	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. ( R tX S ) ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
19	13, 18	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
20		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( r X. s ) <-> <. x , A >. e. ( r X. s ) ) )
21	20	anbi1d 711	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
22	21	2rexbidv 2908	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
23	22	rspccv 3147	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
25		opelxp1 4867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> x e. r )
26	25	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> x e. r )
27		opelxp2 4868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> A e. s )
28	27	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> A e. s )
29	28	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> { A } C_ s )
30		xpss2 4944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A } C_ s -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
32		simprr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. s ) C_ k )
33	31, 32	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ k )
34	26, 33	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
35	34	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
36	35	rexlimdvw 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
37	36	reximdv 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
38	24, 37	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
39	38	reximdva 2862	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. W <. x , A >. e. k -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
40	10, 39	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
41		rexcom 2952	. . . . . 6 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
42		r19.42v 2945	. . . . . . 7 |- ( E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
43	42	rexbii 2889	. . . . . 6 |- ( E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
44	41, 43	bitri 253	. . . . 5 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
45	40, 44	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
46	45	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
47		txcmp.x	. . . 4 |- X = U. R
48		sseq2 3454	. . . 4 |- ( k = ( f ` r ) -> ( ( r X. { A } ) C_ k <-> ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) )
49	47, 48	cmpcovf 20406	. . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
50	1, 46, 49	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
51		txcmp.y	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
52	1	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Comp )
53		cmptop 20410	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
55	54	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> S e. Top )
56		cmptop 20410	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Top )
58		txtop 20584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
59	57, 55, 58	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
60		simprrl 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t --> W )
61		frn 5735	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> ran f C_ W )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ W )
63	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> W C_ ( R tX S ) )
64	62, 63	sstrd 3442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ ( R tX S ) )
65		uniopn 19927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ran f C_ ( R tX S ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
66	59, 64, 65	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
67		simprrr 775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) )
68		ss2iun 4294	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
70		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U. t )
71		uniiun 4331	. . . . . . . . . . . 12 |- U. t = U_ r e. t r
72	70, 71	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U_ r e. t r )
73	72	xpeq1d 4857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) = ( U_ r e. t r X. { A } ) )
74		xpiundir 4890	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ r e. t r X. { A } ) = U_ r e. t ( r X. { A } )
75	73, 74	syl6req 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) = ( X X. { A } ) )
76		ffn 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> f Fn t )
77	60, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f Fn t )
78		fniunfv 6152	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
80	69, 75, 79	3sstr3d 3474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) C_ U. ran f )
81	3	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A e. Y )
82	47, 51, 52, 55, 66, 80, 81	txtube 20655	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
83		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
84	83	rnex 6727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran f e. _V
85	84	elpw 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ~P W <-> ran f C_ W )
86	62, 85	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ~P W )
87		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
88		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
89	87, 88	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. Fin )
90		dffn4 5799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
91	77, 90	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
92		fofi 7860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
93	89, 91, 92	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
94	86, 93	elind 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P W i^i Fin ) )
95		unieq 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
96	95	sseq2d 3460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
97	96	rspcev 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v )
98	97	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
99	94, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
100	99	anim2d 569	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
101	100	reximdv 2861	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
102	82, 101	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
103	102	expr 620	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
104	103	exlimdv 1779	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
105	104	expimpd 608	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
106	105	rexlimdva 2879	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
107	50, 106	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   <.cop 3974   U.cuni 4198   U_ciun 4278   X. cxp 4832   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   Topctop 19917   Compccmp 20401   tX ctx 20575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-cmp 20402  df-tx 20577

This theorem is referenced by:  txcmplem2  20657