Theorem txcmplem1 17626

Description: Lemma for txcmp 17628. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcmp.x	|- X = U. R
txcmp.y	|- Y = U. S
txcmp.r	|- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s	|- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w	|- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u	|- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
txcmp.a	|- ( ph -> A e. Y )

Assertion

Ref	Expression
txcmplem1	|- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Distinct variable groups:   u, A   v, u, S   u, Y, v   u, W, v   u, X, v   ph, u   u, R

Allowed substitution hints:   ph( v)   A( v)   R( v)

Proof of Theorem txcmplem1

Dummy variables f k r s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcmp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. X )
3		txcmp.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
4		opelxpi 4869	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
6		txcmp.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
7	6	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. Y ) = U. W )
8	5, 7	eleqtrd 2480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U. W )
9		eluni2 3979	. . . . . . 7 |- ( <. x , A >. e. U. W <-> E. k e. W <. x , A >. e. k )
10	8, 9	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W <. x , A >. e. k )
11		txcmp.w	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
12	11	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W C_ ( R tX S ) )
13	12	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> k e. ( R tX S ) )
14		txcmp.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Comp )
15		eltx 17553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
16	1, 14, 15	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
18	17	biimpa 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. ( R tX S ) ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
19	13, 18	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
20		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( r X. s ) <-> <. x , A >. e. ( r X. s ) ) )
21	20	anbi1d 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
22	21	2rexbidv 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
23	22	rspccv 3009	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
24	19, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
25		opelxp1 4870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> x e. r )
26	25	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> x e. r )
27		opelxp2 4871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> A e. s )
28	27	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> A e. s )
29	28	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> { A } C_ s )
30		xpss2 4944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A } C_ s -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
32		simprr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. s ) C_ k )
33	31, 32	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ k )
34	26, 33	jca 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
35	34	ex 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
36	35	rexlimdvw 2793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
37	36	reximdv 2777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
38	24, 37	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
39	38	reximdva 2778	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. W <. x , A >. e. k -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
40	10, 39	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
41		rexcom 2829	. . . . . 6 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
42		r19.42v 2822	. . . . . . 7 |- ( E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
43	42	rexbii 2691	. . . . . 6 |- ( E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
44	41, 43	bitri 241	. . . . 5 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
45	40, 44	sylib 189	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
46	45	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
47		txcmp.x	. . . 4 |- X = U. R
48		sseq2 3330	. . . 4 |- ( k = ( f ` r ) -> ( ( r X. { A } ) C_ k <-> ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) )
49	47, 48	cmpcovf 17408	. . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
50	1, 46, 49	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
51		txcmp.y	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
52	1	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Comp )
53		cmptop 17412	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
54	14, 53	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
55	54	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> S e. Top )
56		cmptop 17412	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
57	52, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Top )
58		txtop 17554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
59	57, 55, 58	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
60		simprrl 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t --> W )
61		frn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> ran f C_ W )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ W )
63	11	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> W C_ ( R tX S ) )
64	62, 63	sstrd 3318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ ( R tX S ) )
65		uniopn 16925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ran f C_ ( R tX S ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
66	59, 64, 65	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
67		simprrr 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) )
68		ss2iun 4068	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
70		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U. t )
71		uniiun 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- U. t = U_ r e. t r
72	70, 71	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U_ r e. t r )
73	72	xpeq1d 4860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) = ( U_ r e. t r X. { A } ) )
74		xpiundir 4892	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ r e. t r X. { A } ) = U_ r e. t ( r X. { A } )
75	73, 74	syl6req 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) = ( X X. { A } ) )
76		ffn 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> f Fn t )
77	60, 76	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f Fn t )
78		fniunfv 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
80	69, 75, 79	3sstr3d 3350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) C_ U. ran f )
81	3	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A e. Y )
82	47, 51, 52, 55, 66, 80, 81	txtube 17625	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
83		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
84	83	rnex 5092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran f e. _V
85	84	elpw 3765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ~P W <-> ran f C_ W )
86	62, 85	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ~P W )
87		inss2 3522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
88		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
89	87, 88	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. Fin )
90		dffn4 5618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
91	77, 90	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
92		fofi 7351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
93	89, 91, 92	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
94		elin 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) <-> ( ran f e. ~P W /\ ran f e. Fin ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P W i^i Fin ) )
96		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
97	96	sseq2d 3336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
98	97	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v )
99	98	ex 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
100	95, 99	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
101	100	anim2d 549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
102	101	reximdv 2777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
103	82, 102	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
104	103	expr 599	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
105	104	exlimdv 1643	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
106	105	expimpd 587	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
107	106	rexlimdva 2790	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
108	50, 107	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   X. cxp 4835   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Topctop 16913   Compccmp 17403   tX ctx 17545

This theorem is referenced by:  txcmplem2  17627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-cmp 17404  df-tx 17547