Theorem txcmplem1 20733

Description: Lemma for txcmp 20735. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcmp.x	|- X = U. R
txcmp.y	|- Y = U. S
txcmp.r	|- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s	|- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w	|- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u	|- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
txcmp.a	|- ( ph -> A e. Y )

Assertion

Ref	Expression
txcmplem1	|- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Distinct variable groups:   u, A   v, u, S   u, Y, v   u, W, v   u, X, v   ph, u   u, R

Allowed substitution hints:   ph( v)   A( v)   R( v)

Proof of Theorem txcmplem1

Dummy variables f k r s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcmp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. X )
3		txcmp.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
4		opelxpi 4871	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. Y ) )
6		txcmp.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
7	6	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. Y ) = U. W )
8	5, 7	eleqtrd 2551	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U. W )
9		eluni2 4194	. . . . . . 7 |- ( <. x , A >. e. U. W <-> E. k e. W <. x , A >. e. k )
10	8, 9	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W <. x , A >. e. k )
11		txcmp.w	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
12	11	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W C_ ( R tX S ) )
13	12	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> k e. ( R tX S ) )
14		txcmp.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Comp )
15		eltx 20660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
16	1, 14, 15	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. ( R tX S ) <-> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
18	17	biimpa 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. ( R tX S ) ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
19	13, 18	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) )
20		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( r X. s ) <-> <. x , A >. e. ( r X. s ) ) )
21	20	anbi1d 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
22	21	2rexbidv 2897	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
23	22	rspccv 3133	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. k E. r e. R E. s e. S ( y e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) )
25		opelxp1 4872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> x e. r )
26	25	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> x e. r )
27		opelxp2 4873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , A >. e. ( r X. s ) -> A e. s )
28	27	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> A e. s )
29	28	snssd 4108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> { A } C_ s )
30		xpss2 4949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A } C_ s -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ ( r X. s ) )
32		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. s ) C_ k )
33	31, 32	sstrd 3428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( r X. { A } ) C_ k )
34	26, 33	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) /\ ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
35	34	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
36	35	rexlimdvw 2874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
37	36	reximdv 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. x , A >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ k ) -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
38	24, 37	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. W ) -> ( <. x , A >. e. k -> E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
39	38	reximdva 2858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. W <. x , A >. e. k -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) ) )
40	10, 39	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
41		rexcom 2938	. . . . . 6 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) )
42		r19.42v 2931	. . . . . . 7 |- ( E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
43	42	rexbii 2881	. . . . . 6 |- ( E. r e. R E. k e. W ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
44	41, 43	bitri 257	. . . . 5 |- ( E. k e. W E. r e. R ( x e. r /\ ( r X. { A } ) C_ k ) <-> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
45	40, 44	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
46	45	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) )
47		txcmp.x	. . . 4 |- X = U. R
48		sseq2 3440	. . . 4 |- ( k = ( f ` r ) -> ( ( r X. { A } ) C_ k <-> ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) )
49	47, 48	cmpcovf 20483	. . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. r e. R ( x e. r /\ E. k e. W ( r X. { A } ) C_ k ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
50	1, 46, 49	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) )
51		txcmp.y	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
52	1	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Comp )
53		cmptop 20487	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
55	54	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> S e. Top )
56		cmptop 20487	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> R e. Top )
58		txtop 20661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
59	57, 55, 58	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
60		simprrl 782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t --> W )
61		frn 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> ran f C_ W )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ W )
63	11	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> W C_ ( R tX S ) )
64	62, 63	sstrd 3428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f C_ ( R tX S ) )
65		uniopn 20004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ran f C_ ( R tX S ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
66	59, 64, 65	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U. ran f e. ( R tX S ) )
67		simprrr 783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) )
68		ss2iun 4285	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) C_ U_ r e. t ( f ` r ) )
70		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U. t )
71		uniiun 4322	. . . . . . . . . . . 12 |- U. t = U_ r e. t r
72	70, 71	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> X = U_ r e. t r )
73	72	xpeq1d 4862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) = ( U_ r e. t r X. { A } ) )
74		xpiundir 4895	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ r e. t r X. { A } ) = U_ r e. t ( r X. { A } )
75	73, 74	syl6req 2522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( r X. { A } ) = ( X X. { A } ) )
76		ffn 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : t --> W -> f Fn t )
77	60, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f Fn t )
78		fniunfv 6170	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> U_ r e. t ( f ` r ) = U. ran f )
80	69, 75, 79	3sstr3d 3460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( X X. { A } ) C_ U. ran f )
81	3	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> A e. Y )
82	47, 51, 52, 55, 66, 80, 81	txtube 20732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
83		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
84	83	rnex 6746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran f e. _V
85	84	elpw 3948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ~P W <-> ran f C_ W )
86	62, 85	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ~P W )
87		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
88		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
89	87, 88	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> t e. Fin )
90		dffn4 5812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
91	77, 90	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
92		fofi 7878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
93	89, 91, 92	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
94	86, 93	elind 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P W i^i Fin ) )
95		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
96	95	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ran f ) )
97	96	rspcev 3136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v )
98	97	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f e. ( ~P W i^i Fin ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
99	94, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( X X. u ) C_ U. ran f -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
100	99	anim2d 575	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
101	100	reximdv 2857	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> ( E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U. ran f ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
102	82, 101	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
103	102	expr 626	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
104	103	exlimdv 1787	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
105	104	expimpd 614	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
106	105	rexlimdva 2871	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> W /\ A. r e. t ( r X. { A } ) C_ ( f ` r ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) )
107	50, 106	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190   U_ciun 4269   X. cxp 4837   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Topctop 19994   Compccmp 20478   tX ctx 20652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-cmp 20479  df-tx 20654

This theorem is referenced by:  txcmplem2  20734