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Theorem txcmp 19175
Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcmp  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )

Proof of Theorem txcmp
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 18957 . . 3  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
2 cmptop 18957 . . 3  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 19101 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
7 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  R  e.  Comp )
8 simplr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  S  e.  Comp )
9 elpwi 3866 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ~P ( R 
tX  S )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
109ad2antrl 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
115, 6txuni 19124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
121, 2, 11syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1312adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
14 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  U. ( R  tX  S )  =  U. w )
1513, 14eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. w )
165, 6, 7, 8, 10, 15txcmplem2 19174 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) ( U. R  X.  U. S )  = 
U. v )
1713eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1817rexbidv 2734 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1916, 18mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S )  =  U. v )
2019expr 612 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  w  e.  ~P ( R  tX  S ) )  ->  ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
2120ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
22 eqid 2441 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2322iscmp 18950 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Comp  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) ) )
244, 21, 23sylanbrc 659 1  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088    X. cxp 4834  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   Topctop 18457   Compccmp 18948    tX ctx 19092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-tx 19094
This theorem is referenced by:  txcmpb  19176  txkgen  19184  ptcmpfi  19345  xkohmeo  19347  cnheiborlem  20485
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