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Theorem txcmp 20012
Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcmp  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )

Proof of Theorem txcmp
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 19763 . . 3  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
2 cmptop 19763 . . 3  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 19938 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
7 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  R  e.  Comp )
8 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  S  e.  Comp )
9 elpwi 4025 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ~P ( R 
tX  S )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
109ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
115, 6txuni 19961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
121, 2, 11syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
14 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  U. ( R  tX  S )  =  U. w )
1513, 14eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. w )
165, 6, 7, 8, 10, 15txcmplem2 20011 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) ( U. R  X.  U. S )  = 
U. v )
1713eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1817rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1916, 18mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S )  =  U. v )
2019expr 615 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  w  e.  ~P ( R  tX  S ) )  ->  ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
2120ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
22 eqid 2467 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2322iscmp 19756 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Comp  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) ) )
244, 21, 23sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251    X. cxp 5003  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   Topctop 19263   Compccmp 19754    tX ctx 19929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-fin 7532  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-tx 19931
This theorem is referenced by:  txcmpb  20013  txkgen  20021  ptcmpfi  20182  xkohmeo  20184  cnheiborlem  21322
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