Theorem txcld 15914

Description: The product of two closed sets is closed in the product topology.

Hypothesis

Ref	Expression
txcld.1	|- T = (R X.t S)

Assertion

Ref	Expression
txcld	|- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (A e. (Clsd` R) /\ B e. (Clsd` S))) -> (A X. B) e. (Clsd` T))

Proof of Theorem txcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss12 4089	. . . . . . . 8 |- ((A C_ U.R /\ B C_ U.S) -> (A X. B) C_ (U.R X. U.S))
2	1	ad2ant2r 445	. . . . . . 7 |- (((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S)) -> (A X. B) C_ (U.R X. U.S))
3	2	adantl 424	. . . . . 6 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S))) -> (A X. B) C_ (U.R X. U.S))
4		txcld.1	. . . . . . . 8 |- T = (R X.t S)
5		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- U.R = U.R
6		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- U.S = U.S
7	4, 5, 6	txuni 8935	. . . . . . 7 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> U.T = (U.R X. U.S))
8	7	adantr 425	. . . . . 6 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S))) -> U.T = (U.R X. U.S))
9	3, 8	sseqtr4d 2654	. . . . 5 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S))) -> (A X. B) C_ U.T)
10	9	ex 402	. . . 4 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> (((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S)) -> (A X. B) C_ U.T))
11	7	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> U.T = (U.R X. U.S))
12	11	difeq1d 2725	. . . . . . . . 9 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.T \ (A X. B)) = ((U.R X. U.S) \ (A X. B)))
13		difxp 15690	. . . . . . . . 9 |- ((U.R X. U.S) \ (A X. B)) = ((((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) u. ((U.R \ A) X. (U.S \ B)))
14	12, 13	syl6eq 1944	. . . . . . . 8 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.T \ (A X. B)) = ((((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) u. ((U.R \ A) X. (U.S \ B))))
15	4	txtop 8934	. . . . . . . . . 10 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> T e. Top)
16	15	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> T e. Top)
17	6	topopn 8871	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S e. Top -> U.S e. S)
18	17	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.R \ A) e. R) -> U.S e. S)
19	4	txopn 15913	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ U.S e. S)) -> ((U.R \ A) X. U.S) e. T)
20	19	anassrs 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.R \ A) e. R) /\ U.S e. S) -> ((U.R \ A) X. U.S) e. T)
21	18, 20	mpdan 768	. . . . . . . . . . 11 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.R \ A) e. R) -> ((U.R \ A) X. U.S) e. T)
22	21	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> ((U.R \ A) X. U.S) e. T)
23	5	topopn 8871	. . . . . . . . . . . . 13 |- (R e. Top -> U.R e. R)
24	23	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.S \ B) e. S) -> U.R e. R)
25	4	txopn 15913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.R e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.R X. (U.S \ B)) e. T)
26	25	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.S \ B) e. S /\ U.R e. R)) -> (U.R X. (U.S \ B)) e. T)
27	26	anassrs 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.S \ B) e. S) /\ U.R e. R) -> (U.R X. (U.S \ B)) e. T)
28	24, 27	mpdan 768	. . . . . . . . . . 11 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (U.S \ B) e. S) -> (U.R X. (U.S \ B)) e. T)
29	28	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.R X. (U.S \ B)) e. T)
30		unopn 15835	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Top /\ ((U.R \ A) X. U.S) e. T /\ (U.R X. (U.S \ B)) e. T) -> (((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) e. T)
31	16, 22, 29, 30	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) e. T)
32	4	txopn 15913	. . . . . . . . 9 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> ((U.R \ A) X. (U.S \ B)) e. T)
33		unopn 15835	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Top /\ (((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) e. T /\ ((U.R \ A) X. (U.S \ B)) e. T) -> ((((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) u. ((U.R \ A) X. (U.S \ B))) e. T)
34	16, 31, 32, 33	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> ((((U.R \ A) X. U.S) u. (U.R X. (U.S \ B))) u. ((U.R \ A) X. (U.S \ B))) e. T)
35	14, 34	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((U.R \ A) e. R /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.T \ (A X. B)) e. T)
36	35	adantrll 436	. . . . . 6 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.T \ (A X. B)) e. T)
37	36	adantrrl 438	. . . . 5 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S))) -> (U.T \ (A X. B)) e. T)
38	37	ex 402	. . . 4 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> (((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S)) -> (U.T \ (A X. B)) e. T))
39	10, 38	jcad 661	. . 3 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> (((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S)) -> ((A X. B) C_ U.T /\ (U.T \ (A X. B)) e. T)))
40	5	iscld 8945	. . . 4 |- (R e. Top -> (A e. (Clsd` R) <-> (A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R)))
41	6	iscld 8945	. . . 4 |- (S e. Top -> (B e. (Clsd` S) <-> (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S)))
42	40, 41	bi2anan9 694	. . 3 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> ((A e. (Clsd` R) /\ B e. (Clsd` S)) <-> ((A C_ U.R /\ (U.R \ A) e. R) /\ (B C_ U.S /\ (U.S \ B) e. S))))
43		eqid 1884	. . . . 5 |- U.T = U.T
44	43	iscld 8945	. . . 4 |- (T e. Top -> ((A X. B) e. (Clsd` T) <-> ((A X. B) C_ U.T /\ (U.T \ (A X. B)) e. T)))
45	15, 44	syl 12	. . 3 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> ((A X. B) e. (Clsd` T) <-> ((A X. B) C_ U.T /\ (U.T \ (A X. B)) e. T)))
46	39, 42, 45	3imtr4d 602	. 2 |- ((R e. Top /\ S e. Top) -> ((A e. (Clsd` R) /\ B e. (Clsd` S)) -> (A X. B) e. (Clsd` T)))
47	46	imp 377	1 |- (((R e. Top /\ S e. Top) /\ (A e. (Clsd` R) /\ B e. (Clsd` S))) -> (A X. B) e. (Clsd` T))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   X.t ctx 8930  Clsdccld 8936

This theorem is referenced by:  phtpycolem5 16055  pcohtpylem3 16082  pcorevlem 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-tx 8931  df-cld 8939

Copyright terms: Public domain