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Theorem txcld 19972
Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )

Proof of Theorem txcld
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
21cldss 19398 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  A  C_  U. R
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
43cldss 19398 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  B  C_  U. S
)
5 xpss12 5114 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. R  /\  B  C_  U. S )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
62, 4, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
7 cldrcl 19395 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  R  e.  Top )
8 cldrcl 19395 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  S  e.  Top )
91, 3txuni 19961 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
116, 10sseqtrd 3545 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
12 difxp 5437 . . . 4  |-  ( ( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( U. R  \  A
)  X.  U. S
)  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )
1310difeq1d 3626 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \ 
( A  X.  B
) ) )
1412, 13syl5eqr 2522 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \  ( A  X.  B ) ) )
15 txtop 19938 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
167, 8, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
177adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  R  e.  Top )
188adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  S  e.  Top )
191cldopn 19400 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
213topopn 19284 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. S  e.  S )
23 txopn 19971 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( ( U. R  \  A )  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
2417, 18, 20, 22, 23syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
251topopn 19284 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
2617, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. R  e.  R )
273cldopn 19400 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
29 txopn 19971 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  ( U. S  \  B )  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  ( U. S  \  B
) )  e.  ( R  tX  S ) )
3017, 18, 26, 28, 29syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R 
tX  S ) )
31 unopn 19281 . . . 4  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3216, 24, 30, 31syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3314, 32eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. ( R  tX  S
)  \  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )
34 eqid 2467 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
3534iscld 19396 . . 3  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Top  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3616, 35syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3711, 33, 36mpbir2and 920 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   U.cuni 4251    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19263   Clsdccld 19385    tX ctx 19929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-tx 19931
This theorem is referenced by:  txcls  19973  cnmpt2pc  21296  sxbrsigalem3  28068
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