MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcld Structured version   Unicode version

Theorem txcld 19195
Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )

Proof of Theorem txcld
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
21cldss 18652 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  A  C_  U. R
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
43cldss 18652 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  B  C_  U. S
)
5 xpss12 4964 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. R  /\  B  C_  U. S )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
62, 4, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
7 cldrcl 18649 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  R  e.  Top )
8 cldrcl 18649 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  S  e.  Top )
91, 3txuni 19184 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
116, 10sseqtrd 3411 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
12 difxp 5281 . . . 4  |-  ( ( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( U. R  \  A
)  X.  U. S
)  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )
1310difeq1d 3492 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \ 
( A  X.  B
) ) )
1412, 13syl5eqr 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \  ( A  X.  B ) ) )
15 txtop 19161 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
167, 8, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
177adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  R  e.  Top )
188adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  S  e.  Top )
191cldopn 18654 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
213topopn 18538 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. S  e.  S )
23 txopn 19194 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( ( U. R  \  A )  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
2417, 18, 20, 22, 23syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
251topopn 18538 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
2617, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. R  e.  R )
273cldopn 18654 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
29 txopn 19194 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  ( U. S  \  B )  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  ( U. S  \  B
) )  e.  ( R  tX  S ) )
3017, 18, 26, 28, 29syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R 
tX  S ) )
31 unopn 18535 . . . 4  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3216, 24, 30, 31syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3314, 32eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. ( R  tX  S
)  \  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )
34 eqid 2443 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
3534iscld 18650 . . 3  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Top  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3616, 35syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3711, 33, 36mpbir2and 913 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3344    u. cun 3345    C_ wss 3347   U.cuni 4110    X. cxp 4857   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Topctop 18517   Clsdccld 18639    tX ctx 19152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-topgen 14401  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cld 18642  df-tx 19154
This theorem is referenced by:  txcls  19196  cnmpt2pc  20519  sxbrsigalem3  26706
  Copyright terms: Public domain W3C validator