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Theorem txbasval 17591
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables  x  y  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 17549 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 bastg 16986 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  R  C_  ( topGen `  R )
)
4 bastg 16986 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  W  ->  S  C_  ( topGen `  S )
)
5 resmpt2 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  ( topGen `  R )  /\  S  C_  ( topGen `  S )
)  ->  ( (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
63, 4, 5syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S ) )  =  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) )
7 resss 5129 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
86, 7syl6eqssr 3359 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) ) )
9 rnss 5057 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) 
C_  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ran  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
11 eltg3 16982 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  V  ->  (
u  e.  ( topGen `  R )  <->  E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m ) ) )
12 eltg3 16982 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  W  ->  (
v  e.  ( topGen `  S )  <->  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
1311, 12bi2anan9 844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  <-> 
( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m
)  /\  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) ) )
14 eeanv 1933 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. m E. n ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
15 an4 798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) ) )
16 uniiun 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. m  =  U_ x  e.  m  x
17 uniiun 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. n  =  U_ y  e.  n  y
1816, 17xpeq12i 4859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )
19 xpiundir 4892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )
20 xpiundi 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  = 
U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  ->  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
) )
2221iuneq2i 4071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  m  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )
2318, 19, 223eqtri 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )
24 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R 
tX  S )  e. 
_V
25 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m )  ->  x  e.  R )
26 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  C_  S  /\  y  e.  n )  ->  y  e.  S )
2725, 26anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m
)  /\  ( n  C_  S  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
2827an4s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
29 txopn 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3028, 29sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n
) ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3130anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3231anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  /\  y  e.  n )  ->  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
3332ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
34 tgiun 16999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)  e.  ( topGen `  ( R  tX  S
) ) )
3524, 33, 34sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  (
topGen `  ( R  tX  S ) ) )
361txbasex 17551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e. 
_V )
37 tgidm 17000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
392fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) ) )
4038, 39, 23eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  ( topGen `  ( R  tX  S
) )  =  ( R  tX  S ) )
4335, 42eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
4443ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
45 tgiun 16999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4624, 44, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4746, 41eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
4823, 47syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) )
49 xpeq12 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
u  X.  v )  =  ( U. m  X.  U. n ) )
5049eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5148, 50syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( ( u  = 
U. m  /\  v  =  U. n )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5251expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  n  C_  S )  /\  (
u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5315, 52syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5453exlimdvv 1644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( E. m E. n ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5514, 54syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5613, 55sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  ->  ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5756ralrimivv 2757 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  A. u  e.  (
topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S ) ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S
) )
58 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) )  =  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
5958fmpt2 6377 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S )
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( (
topGen `  R )  X.  ( topGen `  S )
) --> ( R  tX  S ) )
6057, 59sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( ( topGen `  R )  X.  ( topGen `
 S ) ) --> ( R  tX  S
) )
61 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) ) : ( ( topGen `  R
)  X.  ( topGen `  S ) ) --> ( R  tX  S )  ->  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( R  tX  S ) )
6260, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( R  tX  S ) )
6362, 2sseqtrd 3344 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
64 2basgen 17010 . . . 4  |-  ( ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ran  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) )  /\  ran  ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  ->  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
6510, 63, 64syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
66 fvex 5701 . . . 4  |-  ( topGen `  R )  e.  _V
67 fvex 5701 . . . 4  |-  ( topGen `  S )  e.  _V
68 eqid 2404 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )
6968txval 17549 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  R )  e.  _V  /\  ( topGen `  S )  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  R )  tX  ( topGen `
 S ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
7066, 67, 69mp2an 654 . . 3  |-  ( (
topGen `  R )  tX  ( topGen `  S )
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
7165, 70syl6eqr 2454 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( (
topGen `  R )  tX  ( topGen `  S )
) )
722, 71eqtr2d 2437 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975   U_ciun 4053    X. cxp 4835   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   topGenctg 13620    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  tx2ndc  17636  mbfimaopnlem  19500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-topgen 13622  df-tx 17547
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