MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Structured version   Unicode version

Theorem txbasex 19894
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbasex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  U. R  =  U. R
3 eqid 2467 . . . 4  |-  U. S  =  U. S
41, 2, 3txuni2 19893 . . 3  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. B
5 uniexg 6582 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. R  e.  _V )
6 uniexg 6582 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
7 xpexg 6587 . . . 4  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
U. S  e.  _V )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e. 
_V )
85, 6, 7syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e.  _V )
94, 8syl5eqelr 2560 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 6595 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 212 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   U.cuni 4245    X. cxp 4997   ran crn 5000    |-> cmpt2 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786
This theorem is referenced by:  txbas  19895  eltx  19896  txtopon  19919  txopn  19930  txss12  19933  txbasval  19934  txrest  19959  sxsiga  27913  elsx  27916  mbfmco2  27987
  Copyright terms: Public domain W3C validator