MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Structured version   Unicode version

Theorem txbasex 20518
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbasex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  U. R  =  U. R
3 eqid 2420 . . . 4  |-  U. S  =  U. S
41, 2, 3txuni2 20517 . . 3  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. B
5 uniexg 6593 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. R  e.  _V )
6 uniexg 6593 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
7 xpexg 6598 . . . 4  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
U. S  e.  _V )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e. 
_V )
85, 6, 7syl2an 479 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e.  _V )
94, 8syl5eqelr 2513 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 6606 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 215 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078   U.cuni 4213    X. cxp 4843   ran crn 4846    |-> cmpt2 6298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-fv 5600  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799
This theorem is referenced by:  txbas  20519  eltx  20520  txtopon  20543  txopn  20554  txss12  20557  txbasval  20558  txrest  20583  sxsiga  28893  elsx  28896  mbfmco2  28967
  Copyright terms: Public domain W3C validator