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Theorem txbas 19831
Description: The set of Cartesian products of elements from two topological bases is a basis. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbas  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txbas
Dummy variables  a 
b  c  d  p  t  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . . . . . 8  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 xpeq1 5013 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  X.  y )  =  ( a  X.  y ) )
3 xpeq2 5014 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a  X.  y )  =  ( a  X.  b ) )
42, 3cbvmpt2v 6361 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  S  |->  ( a  X.  b ) )
54rnmpt2 6396 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
61, 5eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  B  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
76abeq2i 2594 . . . . . 6  |-  ( u  e.  B  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b
) )
8 xpeq1 5013 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  c  ->  (
x  X.  y )  =  ( c  X.  y ) )
9 xpeq2 5014 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  d  ->  (
c  X.  y )  =  ( c  X.  d ) )
108, 9cbvmpt2v 6361 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( c  e.  R ,  d  e.  S  |->  ( c  X.  d ) )
1110rnmpt2 6396 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
121, 11eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  B  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
1312abeq2i 2594 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  <->  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d
) )
147, 13anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
15 reeanv 3029 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
1614, 15bitr4i 252 . . . 4  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
17 reeanv 3029 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
18 basis2 19247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  a  e.  R )  /\  ( c  e.  R  /\  u  e.  (
a  i^i  c )
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
1918exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TopBases  ->  ( a  e.  R  ->  ( c  e.  R  ->  ( u  e.  ( a  i^i  c )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) ) ) ) )
2019imp42 594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
21 basis2 19247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  b  e.  S )  /\  ( d  e.  S  /\  v  e.  (
b  i^i  d )
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
2221exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  TopBases  ->  ( b  e.  S  ->  ( d  e.  S  ->  ( v  e.  ( b  i^i  d )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) ) ) ) )
2322imp42 594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
24 reeanv 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( E. x  e.  R  (
u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d ) ) ) )
25 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y
) )
26 xpss12 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( a  i^i  c )  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) )  ->  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )
2725, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y
)  /\  ( x  C_  ( a  i^i  c
)  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2827an4s 824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2928reximi 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  S  ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3029reximi 2932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3124, 30sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3220, 23, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c ) )  /\  ( ( S  e.  TopBases 
/\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3332an4s 824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  /\  (
u  e.  ( a  i^i  c )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3433ralrimivva 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. u  e.  ( a  i^i  c
) A. v  e.  ( b  i^i  d
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
35 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y ) ) )
3635anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( p  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
37362rexbidv 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) ) )
3837ralxp 5144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  A. u  e.  ( a  i^i  c ) A. v  e.  ( b  i^i  d ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3934, 38sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4039an4s 824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
( a  e.  R  /\  c  e.  R
)  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) ) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4140anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
42 ineq12 3695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) ) )
43 inxp 5135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) )  =  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)
4442, 43syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d ) ) )
4544sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( t  C_  (
u  i^i  v )  <->  t 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
4645anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
4746rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
481rexeqi 3063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. t  e.  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
49 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
50 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  z )  e.  _V
5149, 50xpex 6588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V
5251rgenw 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. z  e.  ( R  X.  S
) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  e.  _V
53 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5553, 54op1std 6794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5653, 54op2ndd 6795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5755, 56xpeq12d 5024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  X.  y ) )
5857mpt2mpt 6378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R  X.  S )  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )
5958eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  S
)  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) )
60 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( p  e.  t  <->  p  e.  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) ) ) )
61 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)  <->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6260, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6359, 62rexrnmpt 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( R  X.  S ) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V  ->  ( E. t  e. 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6452, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) )
6557eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
6657sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) )  <-> 
( x  X.  y
)  C_  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6765, 66anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
6867rexxp 5145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( R  X.  S ) ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  /\  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
6948, 64, 683bitri 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
7047, 69syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7144, 70raleqbidv 3072 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7241, 71syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  (
( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
7372rexlimdvva 2962 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7417, 73syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7574rexlimdvva 2962 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7616, 75syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( (
u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7776ralrimivv 2884 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
781txbasex 19830 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  _V )
79 isbasis2g 19244 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8078, 79syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( B  e. 
TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8177, 80mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000   ` cfv 5588    |-> cmpt2 6286   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-bases 19196
This theorem is referenced by:  txtop  19833  tx2ndc  19915  mbfimaopnlem  21825
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