Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx2cn Structured version   Unicode version

Theorem tx2cn 19841
 Description: Continuity of the second projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx2cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6799 . . 3
21a1i 11 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 19192 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantll 713 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss2 5105 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3498 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 635 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5724 . . . . . . . 8
10 elpreima 5994 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7
12 fvres 5873 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2531 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6813 . . . . . . . . . 10
15 xp1st 6806 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6808 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 649 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11
1918baib 898 . . . . . . . . . 10
2014, 15, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2113, 20bitr4d 256 . . . . . . . 8
2221pm5.32i 637 . . . . . . 7
2311, 22bitri 249 . . . . . 6
248, 23syl6rbbr 264 . . . . 5 TopOn TopOn
2524eqrdv 2459 . . . 4 TopOn TopOn
26 toponmax 19191 . . . . . . 7 TopOn
2726adantr 465 . . . . . 6 TopOn TopOn
28 txopn 19833 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2928expr 615 . . . . . 6 TopOn TopOn
3027, 29mpdan 668 . . . . 5 TopOn TopOn
3130imp 429 . . . 4 TopOn TopOn
3225, 31eqeltrd 2550 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2873 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 19822 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 iscn 19497 . . 3 TopOn TopOn
3634, 35sylancom 667 . 2 TopOn TopOn
372, 33, 36mpbir2and 915 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2809   wss 3471  cop 4028   cxp 4992  ccnv 4993   cres 4996  cima 4997   wfn 5576  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6277  c1st 6774  c2nd 6775  TopOnctopon 19157   ccn 19486   ctx 19791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-map 7414  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cn 19489  df-tx 19793 This theorem is referenced by:  txcn  19857  txcmpb  19875  txkgen  19883  cnmpt2nd  19900  sxbrsiga  27889  txsconlem  28313  txscon  28314  hausgraph  30768
 Copyright terms: Public domain W3C validator