Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx1cn Structured version   Unicode version

Theorem tx1cn 19842
 Description: Continuity of the first projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6803 . . 3
21a1i 11 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 19194 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantlr 714 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss1 5109 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3503 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 635 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5729 . . . . . . . 8
10 elpreima 5999 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7
12 fvres 5878 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6818 . . . . . . . . . 10
15 xp2nd 6812 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6813 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 649 . . . . . . . . . . . 12
18 an32 796 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183bitr2i 273 . . . . . . . . . . 11
2019baib 901 . . . . . . . . . 10
2114, 15, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2213, 21bitr4d 256 . . . . . . . 8
2322pm5.32i 637 . . . . . . 7
2411, 23bitri 249 . . . . . 6
258, 24syl6rbbr 264 . . . . 5 TopOn TopOn
2625eqrdv 2464 . . . 4 TopOn TopOn
27 toponmax 19193 . . . . . 6 TopOn
2827ad2antlr 726 . . . . 5 TopOn TopOn
29 txopn 19835 . . . . . 6 TopOn TopOn
3029anassrs 648 . . . . 5 TopOn TopOn
3128, 30mpdan 668 . . . 4 TopOn TopOn
3226, 31eqeltrd 2555 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2878 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 19824 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 simpl 457 . . 3 TopOn TopOn TopOn
36 iscn 19499 . . 3 TopOn TopOn
3734, 35, 36syl2anc 661 . 2 TopOn TopOn
382, 33, 37mpbir2and 920 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476  cop 4033   cxp 4997  ccnv 4998   cres 5001  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  c1st 6779  c2nd 6780  TopOnctopon 19159   ccn 19488   ctx 19793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491  df-tx 19795 This theorem is referenced by:  txcn  19859  txcmpb  19877  cnmpt1st  19901  sxbrsiga  27898  txsconlem  28322  txscon  28323  hausgraph  30777
 Copyright terms: Public domain W3C validator