MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tvclvec Structured version   Unicode version

Theorem tvclvec 20826
Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tvclvec  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )

Proof of Theorem tvclvec
StepHypRef Expression
1 tvclmod 20825 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32tvctdrg 20820 . . 3  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e. TopDRing )
4 tdrgdrng 20801 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e. TopDRing  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
62islvec 17876 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  (Scalar `  W
)  e.  DivRing ) )
71, 5, 6sylanbrc 664 1  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   ` cfv 5594  Scalarcsca 14714   DivRingcdr 17522   LModclmod 17638   LVecclvec 17874  TopDRingctdrg 20784   TopVecctvc 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-lvec 17875  df-tdrg 20788  df-tlm 20789  df-tvc 20790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator