MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tvclvec Structured version   Unicode version

Theorem tvclvec 19771
Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tvclvec  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )

Proof of Theorem tvclvec
StepHypRef Expression
1 tvclmod 19770 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32tvctdrg 19765 . . 3  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e. TopDRing )
4 tdrgdrng 19746 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e. TopDRing  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
62islvec 17183 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  (Scalar `  W
)  e.  DivRing ) )
71, 5, 6sylanbrc 664 1  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5416  Scalarcsca 14239   DivRingcdr 16830   LModclmod 16946   LVecclvec 17181  TopDRingctdrg 19729   TopVecctvc 19731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-iota 5379  df-fv 5424  df-ov 6092  df-lvec 17182  df-tdrg 19733  df-tlm 19734  df-tvc 19735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator