MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tustps Structured version   Unicode version

Theorem tustps 19975
Description: A constructed uniform space is a topological space. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
tuslem.k  |-  K  =  (toUnifSp `  U )
Assertion
Ref Expression
tustps  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  K  e.  TopSp
)

Proof of Theorem tustps
StepHypRef Expression
1 utoptopon 19938 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  (TopOn `  X ) )
2 tuslem.k . . . 4  |-  K  =  (toUnifSp `  U )
3 eqid 2452 . . . 4  |-  (unifTop `  U
)  =  (unifTop `  U
)
42, 3tustopn 19973 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  =  ( TopOpen `  K ) )
52tusbas 19970 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  ( Base `  K )
)
65fveq2d 5798 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (TopOn `  X
)  =  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
71, 4, 63eltr3d 2554 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) ) )
8 eqid 2452 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 eqid 2452 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
108, 9istps 18668 . 2  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K ) ) )
117, 10sylibr 212 1  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  K  e.  TopSp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521   Basecbs 14287   TopOpenctopn 14474  TopOnctopon 18626   TopSpctps 18628  UnifOncust 19901  unifTopcutop 19932  toUnifSpctus 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-tset 14371  df-unif 14375  df-rest 14475  df-topn 14476  df-top 18630  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-ust 19902  df-utop 19933  df-tus 19960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator