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Theorem ttukeylem7 8799
Description: Lemma for ttukey 8802. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    ph, y, z   
x, A, y, z   
x, B, y, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( y)

Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5812 . . . 4  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
_V
21sucid 4909 . . 3  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
4 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
6 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
73, 4, 5, 6ttukeylem6 8798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
82, 7mpan2 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
93, 4, 5, 6ttukeylem4 8796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
10 0elon 4883 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
11 cardon 8229 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
12 0ss 3777 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1310, 11, 123pm3.2i 1166 . . . 4  |-  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
143, 4, 5, 6ttukeylem5 8797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
1513, 14mpan2 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
169, 15eqsstr3d 3502 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
17 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
18 ssun1 3630 . . . . . . . 8  |-  y  C_  ( y  u.  B
)
19 undif1 3865 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  \  B )  u.  B )  =  ( y  u.  B
)
2018, 19sseqtr4i 3500 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( ( y  \  B )  u.  B
)
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ph )
22 f1ocnv 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
23 f1of 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
243, 22, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  `' F :
( U. A  \  B ) --> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
26 eldifi 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  a  e.  y )
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  y )
28 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  y  e.  A
)
29 elunii 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  a  e.  U. A
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  U. A )
31 eldifn 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  -.  a  e.  B )
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  a  e.  B )
3330, 32eldifd 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( U. A  \  B
) )
3425, 33ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
35 onelon 4855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
3611, 34, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
37 suceloni 6537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3911a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4011onordi 4934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )
41 ordsucss 6542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4240, 34, 41mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
433, 4, 5, 6ttukeylem5 8797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( suc  ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4421, 38, 39, 42, 43syl13anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
45 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  C_  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
46 eloni 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  Ord  ( `' F `  a ) )
4736, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  Ord  ( `' F `  a )
)
48 ordunisuc 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
5049fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( F `  ( `' F `  a ) ) )
513adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  F : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
52 f1ocnvfv2 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  a  e.  ( U. A  \  B ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5351, 33, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5450, 53eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
55 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5655elsnc 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  <->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
5754, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
5849fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( G `  ( `' F `  a ) ) )
59 ordelss 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
6040, 34, 59sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
613, 4, 5, 6ttukeylem5 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6221, 36, 39, 60, 61syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6358, 62eqsstrd 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
64 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
6563, 64sstrd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  y )
6654, 27eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  e.  y )
6766snssd 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  C_  y
)
6865, 67unssd 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
693, 4, 5ttukeylem2 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
)  ->  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
7021, 28, 68, 69syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
71 iftrue 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A  ->  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7357, 72eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
7445, 73sseldi 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
753, 4, 5, 6ttukeylem3 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  suc  ( `' F `  a )  e.  On )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
7638, 75syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
77 sucidg 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
7834, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
79 ordirr 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
81 nelne1 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a )  /\  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8278, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8382, 49neeqtrrd 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  U. suc  ( `' F `  a ) )
8483neneqd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) )
85 iffalse 3910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8776, 86eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8874, 87eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  suc  ( `' F `  a ) ) )
8944, 88sseldd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9089expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( a  e.  ( y  \  B
)  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
9190ssrdv 3473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( y  \  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9216adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9391, 92unssd 3643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( y 
\  B )  u.  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9420, 93syl5ss 3478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9517, 94eqssd 3484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y )
9695expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
97 npss 3577 . . . 4  |-  ( -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y  <->  ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
9896, 97sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
9998ralrimiva 2830 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
100 sseq2 3489 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
101 psseq1 3554 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( x  C.  y  <->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y )
)
102101notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
103102ralbidv 2846 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
104100, 103anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  <->  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y
) ) )
105104rspcev 3179 . 2  |-  ( ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A  /\  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
1068, 16, 99, 105syl12anc 1217 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439    C. wpss 3440   (/)c0 3748   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202    |-> cmpt 4461   Ord word 4829   Oncon0 4830   suc csuc 4832   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  recscrecs 6944   Fincfn 7423   cardccrd 8220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-recs 6945  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-card 8224
This theorem is referenced by:  ttukey2g  8800
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