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Theorem ttukeylem7 8672
Description: Lemma for ttukey 8675. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    ph, y, z   
x, A, y, z   
x, B, y, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( y)

Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5689 . . . 4  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
_V
21sucid 4785 . . 3  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
4 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
6 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
73, 4, 5, 6ttukeylem6 8671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
82, 7mpan2 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
93, 4, 5, 6ttukeylem4 8669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
10 0elon 4759 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
11 cardon 8102 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
12 0ss 3654 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1310, 11, 123pm3.2i 1159 . . . 4  |-  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
143, 4, 5, 6ttukeylem5 8670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
1513, 14mpan2 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
169, 15eqsstr3d 3379 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
17 simprr 749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
18 ssun1 3507 . . . . . . . 8  |-  y  C_  ( y  u.  B
)
19 undif1 3742 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  \  B )  u.  B )  =  ( y  u.  B
)
2018, 19sseqtr4i 3377 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( ( y  \  B )  u.  B
)
21 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ph )
22 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
23 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
243, 22, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
2524adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  `' F :
( U. A  \  B ) --> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
26 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  a  e.  y )
2726ad2antll 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  y )
28 simprll 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  y  e.  A
)
29 elunii 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  a  e.  U. A
)
3027, 28, 29syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  U. A )
31 eldifn 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  -.  a  e.  B )
3231ad2antll 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  a  e.  B )
3330, 32eldifd 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( U. A  \  B
) )
3425, 33ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
35 onelon 4731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
3611, 34, 35sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
37 suceloni 6413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3911a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4011onordi 4810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )
41 ordsucss 6418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4240, 34, 41mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
433, 4, 5, 6ttukeylem5 8670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( suc  ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4421, 38, 39, 42, 43syl13anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
45 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  C_  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
46 eloni 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  Ord  ( `' F `  a ) )
4736, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  Ord  ( `' F `  a )
)
48 ordunisuc 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
5049fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( F `  ( `' F `  a ) ) )
513adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  F : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
52 f1ocnvfv2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  a  e.  ( U. A  \  B ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5351, 33, 52syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5450, 53eqtr2d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
55 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5655elsnc 3889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  <->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
5754, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
5849fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( G `  ( `' F `  a ) ) )
59 ordelss 4722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
6040, 34, 59sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
613, 4, 5, 6ttukeylem5 8670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6221, 36, 39, 60, 61syl13anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6358, 62eqsstrd 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
64 simprlr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
6563, 64sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  y )
6654, 27eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  e.  y )
6766snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  C_  y
)
6865, 67unssd 3520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
693, 4, 5ttukeylem2 8667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
)  ->  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
7021, 28, 68, 69syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
71 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A  ->  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7357, 72eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
7445, 73sseldi 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
753, 4, 5, 6ttukeylem3 8668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  suc  ( `' F `  a )  e.  On )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
7638, 75syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
77 sucidg 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
7834, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
79 ordirr 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
81 nelne1 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a )  /\  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8278, 80, 81syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8382, 49neeqtrrd 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  U. suc  ( `' F `  a ) )
8483neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) )
85 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8776, 86eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8874, 87eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  suc  ( `' F `  a ) ) )
8944, 88sseldd 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9089expr 610 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( a  e.  ( y  \  B
)  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
9190ssrdv 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( y  \  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9216adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9391, 92unssd 3520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( y 
\  B )  u.  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9420, 93syl5ss 3355 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9517, 94eqssd 3361 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y )
9695expr 610 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
97 npss 3454 . . . 4  |-  ( -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y  <->  ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
9896, 97sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
9998ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
100 sseq2 3366 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
101 psseq1 3431 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( x  C.  y  <->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y )
)
102101notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
103102ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
104100, 103anbi12d 703 . . 3  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  <->  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y
) ) )
105104rspcev 3062 . 2  |-  ( ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A  /\  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
1068, 16, 99, 105syl12anc 1209 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958   A.wal 1360    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316    C. wpss 3317   (/)c0 3625   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079    e. cmpt 4338   Ord word 4705   Oncon0 4706   suc csuc 4708   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828   "cima 4830   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  recscrecs 6817   Fincfn 7298   cardccrd 8093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-recs 6818  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302  df-card 8097
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