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Theorem ttukeylem6 8686
Description: Lemma for ttukey 8690. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z    x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem6
Dummy variables  a 
y  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardon 8117 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
21onsuci 6452 . . . 4  |-  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4 onelon 4747 . . 3  |-  ( ( suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  C  e.  On )
53, 4sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  C  e.  On )
6 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  <->  a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
7 fveq2 5694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
87eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  ( G `  a )  e.  A
) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
)  <->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )  <->  ( ph  ->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) ) ) )
11 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  <->  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
12 fveq2 5694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( G `  y )  =  ( G `  C ) )
1312eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  ( G `  C )  e.  A
) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
)  <->  ( C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  C )  e.  A
) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )  <->  ( ph  ->  ( C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  C
)  e.  A ) ) ) )
16 r19.21v 2806 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  y  ( ph  ->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
172onordi 4826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
19 ordelss 4738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  y  C_  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2018, 19sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  y  C_ 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2120sselda 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  a  e.  y )  ->  a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
22 biimt 335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( ( G `  a )  e.  A  <->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  a  e.  y )  ->  (
( G `  a
)  e.  A  <->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
2423ralbidva 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A  <->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
252onssi 6451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  C_  On
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2725, 26sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  y  e.  On )
28 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
29 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
30 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
31 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
3228, 29, 30, 31ttukeylem3 8683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
3327, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
3429ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  y  =  (/) )  ->  B  e.  A )
35 inss2 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  Fin
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ( ~P U. ( G
" y )  i^i 
Fin ) )
3735, 36sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  Fin )
38 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  ~P U. ( G " y )
3938, 36sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ~P U. ( G "
y ) )
4039elpwid 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  U. ( G " y ) )
4131tfr1 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  Fn  On
42 fnfun 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
43 funiunfv 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  ->  U_ v  e.  y  ( G `  v )  =  U. ( G " y ) )
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U_ v  e.  y  ( G `  v )  =  U. ( G " y )
4540, 44syl6sseqr 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  U_ v  e.  y  ( G `  v ) )
46 dfss3 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C_  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v ) )
47 eliun 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v )  <->  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
4847ralbii 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. u  e.  w  u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
4946, 48bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C_  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
5045, 49sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
51 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( f `  u
) ) )
5251eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  e.  ( G `
 v )  <->  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
5352ac6sfi 7559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v
) )  ->  E. f
( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
5437, 50, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. f
( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
55 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
56 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ph )
57 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  f : w --> y )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f : w --> y )
59 frn 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : w --> y  ->  ran  f  C_  y )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  y )
6127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
y  e.  On )
62 onss 6405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
y  C_  On )
6460, 63sstrd 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  On )
6537adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  e.  Fin )
67 ffn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : w --> y  -> 
f  Fn  w )
6858, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f  Fn  w )
69 dffn4 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  Fn  w  <->  f :
w -onto-> ran  f )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f : w -onto-> ran  f )
71 fofi 7600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  f : w -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
7266, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  e.  Fin )
73 dm0rn0 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  f  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) )
74 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : w --> y  ->  dom  f  =  w
)
7557, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  dom  f  =  w )
7675eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( dom  f  =  (/)  <->  w  =  (/) ) )
7773, 76syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( ran  f  =  (/)  <->  w  =  (/) ) )
7877necon3bid 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( ran  f  =/=  (/)  <->  w  =/=  (/) ) )
7978biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
80 ordunifi 7565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ran  f  C_  On  /\ 
ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  f  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
8164, 72, 79, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
8260, 81sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  y )
83 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
)
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A )
85 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  U. ran  f  ->  ( G `  a
)  =  ( G `
 U. ran  f
) )
8685eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  U. ran  f  ->  ( ( G `  a )  e.  A  <->  ( G `  U. ran  f )  e.  A
) )
8786rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  f  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A  ->  ( G `  U. ran  f )  e.  A
) )
8882, 84, 87sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
( G `  U. ran  f )  e.  A
)
89 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ph )
9027ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  y  e.  On )
9190, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  y  C_  On )
92 ffvelrn 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f : w --> y  /\  u  e.  w )  ->  ( f `  u
)  e.  y )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  y )
9491, 93sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  On )
9559ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ran  f  C_  y )
9695, 91sstrd 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ran  f  C_  On )
97 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  f  e. 
_V
9897rnex 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ran  f  e.  _V
9998ssonunii 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ran  f  C_  On  ->  U.
ran  f  e.  On )
10096, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  U. ran  f  e.  On )
10167ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  f  Fn  w )
102 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  u  e.  w )
103 fnfvelrn 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f  Fn  w  /\  u  e.  w )  ->  ( f `  u
)  e.  ran  f
)
104101, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  ran  f )
105 elssuni 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( f `  u )  e.  ran  f  -> 
( f `  u
)  C_  U. ran  f
)
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  C_  U. ran  f )
10728, 29, 30, 31ttukeylem5 8685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( (
f `  u )  e.  On  /\  U. ran  f  e.  On  /\  (
f `  u )  C_ 
U. ran  f )
)  ->  ( G `  ( f `  u
) )  C_  ( G `  U. ran  f
) )
10889, 94, 100, 106, 107syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( G `  ( f `  u
) )  C_  ( G `  U. ran  f
) )
109108sseld 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( u  e.  ( G `  (
f `  u )
)  ->  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
110109anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  f :
w --> y )  /\  u  e.  w )  ->  ( u  e.  ( G `  ( f `
 u ) )  ->  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
111110ralimdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  f :
w --> y )  -> 
( A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
112111expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `  u
) ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
113112impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
115 dfss3 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w 
C_  ( G `  U. ran  f )  <->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
116114, 115sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  C_  ( G `  U. ran  f ) )
11728, 29, 30ttukeylem2 8682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  U. ran  f
)  e.  A  /\  w  C_  ( G `  U. ran  f ) ) )  ->  w  e.  A )
11856, 88, 116, 117syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  e.  A )
119 0ss 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (/)  C_  B
12028, 29, 30ttukeylem2 8682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  A  /\  (/)  C_  B
) )  ->  (/)  e.  A
)
121119, 120mpanr2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (/)  e.  A
)
12229, 121mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
123122ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  (/)  e.  A )
12455, 118, 123pm2.61ne 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  w  e.  A
)
125124expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `  u
) ) )  ->  w  e.  A )
)
126125exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( E. f ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) )  ->  w  e.  A ) )
12754, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  A )
128127ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  (
w  e.  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  ->  w  e.  A
) )
129128ssrdv 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  A )
13028, 29, 30ttukeylem1 8681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U. ( G
" y )  e.  A  <->  ( ~P U. ( G " y )  i^i  Fin )  C_  A ) )
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  ( U. ( G " y
)  e.  A  <->  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )  C_  A ) )
132129, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  U. ( G " y )  e.  A )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  U. ( G " y
)  e.  A )
13434, 133ifclda 3824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  e.  A )
135 uneq2 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( F `  U. y ) }  =  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) )  ->  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
136135eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( F `  U. y ) }  =  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) )  ->  ( (
( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A  <->  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
) )
137 un0 3665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  U. y
)  u.  (/) )  =  ( G `  U. y )
138 uneq2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( ( G `
 U. y )  u.  (/) )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
139137, 138syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( G `  U. y )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
140139eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( ( G `
 U. y )  e.  A  <->  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
) )
141 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  -.  y  =  U. y
)  /\  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A
)  ->  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A
)
142 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
143142uniex 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. y  e.  _V
144143sucid 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  suc  U. y
145 eloni 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
146 orduniorsuc 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
14727, 145, 1463syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  (
y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
148147orcanai 904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
y  =  suc  U. y )
149144, 148syl5eleqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  ->  U. y  e.  y
)
150 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  ->  A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A )
151 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
152151eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  a )  e.  A  <->  ( G `  U. y
)  e.  A ) )
153152rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( G `  a
)  e.  A  -> 
( G `  U. y )  e.  A
) )
154149, 150, 153sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
( G `  U. y )  e.  A
)
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  -.  y  =  U. y
)  /\  -.  (
( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A )  -> 
( G `  U. y )  e.  A
)
156136, 140, 141, 155ifbothda 3827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
)
157134, 156ifclda 3824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  e.  A )
15833, 157eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )
159158expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )
16024, 159sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( G `  y )  e.  A
) )
161160ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
162161com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  y  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
163162a2i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( ph  ->  ( y  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
16416, 163sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  ( ph  ->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( ph  ->  ( y  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
165164a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ph  ->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) )  ->  ( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) ) )
16610, 15, 165tfis3 6471 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( ph  ->  ( C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  C )  e.  A
) ) )
167166impd 431 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A ) )
1685, 167mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ifcif 3794   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U.cuni 4094   U_ciun 4174    e. cmpt 4353   Ord word 4721   Oncon0 4722   suc csuc 4724   dom cdm 4843   ran crn 4844   "cima 4846   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  recscrecs 6834   Fincfn 7313   cardccrd 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-om 6480  df-recs 6835  df-1o 6923  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-fin 7317  df-card 8112
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