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Theorem ttukeylem5 8349
Description: Lemma for ttukey 8354. The  G function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, D    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    D( z)

Proof of Theorem ttukeylem5
Dummy variables  a 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3330 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  a
) )
2 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
32sseq2d 3336 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
41, 3imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) ) )
54imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) ) )
6 sseq2 3330 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  D
) )
7 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( G `  y )  =  ( G `  D ) )
87sseq2d 3336 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) )
96, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
11 r19.21v 2753 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a
) ) )  <->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) )
12 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  C  e.  On )
13 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  y  e.  On )
14 onsseleq 4582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
16 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  <-> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
17 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  (
( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  <->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
18 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
1918tfr1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  Fn  On
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  G  Fn  On )
21 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  e.  On )
22 onss 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  C_  On )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  C  e.  y )
25 fnfvima 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  On  /\  y  C_  On  /\  C  e.  y )  ->  ( G `  C )  e.  ( G " y
) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  e.  ( G
" y ) )
27 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  C )  e.  ( G "
y )  ->  ( G `  C )  C_ 
U. ( G "
y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  U. ( G " y ) )
29 n0i 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
30 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3124, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3228, 31sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  y  =  U. y
)  ->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) )
34 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3534uniex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  _V
3635sucid 4620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. y  e.  suc  U. y
37 eloni 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
38 orduniorsuc 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
3921, 37, 383syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
4039orcanai 880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  y  =  suc  U. y )
4136, 40syl5eleqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  U. y  e.  y )
42 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
4324adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  e.  y )
44 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  C  C_ 
U. y )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  C_ 
U. y )
46 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( C  C_  a  <->  C 
C_  U. y ) )
47 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
4847sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  C )  C_  ( G `  a )  <->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  U. y ) ) )
4946, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  <->  ( C  C_  U. y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5049rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  U. y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5141, 42, 45, 50syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) )
52 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 U. y ) 
C_  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )
5351, 52syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
5416, 17, 33, 53ifbothda 3729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
55 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  ph )
56 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
57 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
58 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5956, 57, 58, 18ttukeylem3 8347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6055, 21, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  y
)  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6154, 60sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )
6261expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  e.  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
63 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  =  ( G `  y ) )
64 eqimss 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  C )  =  ( G `  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  =  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
6762, 66jaod 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  (
( C  e.  y  \/  C  =  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) )
6815, 67sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) ) )
6968ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) )
7069expcom 425 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) ) )
7170a2d 24 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
7211, 71syl5bi 209 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
735, 10, 72tfis3 4796 . . 3  |-  ( D  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D
) ) ) )
7473exp3acom3r 1376 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  On  ->  ( D  e.  On  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
75743imp2 1168 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  recscrecs 6591   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  ttukeylem6  8350  ttukeylem7  8351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592
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