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Theorem ttukeylem5 8882
Description: Lemma for ttukey 8887. The  G function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, D    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    D( z)

Proof of Theorem ttukeylem5
Dummy variables  a 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3519 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  a
) )
2 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
32sseq2d 3525 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) ) )
54imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) ) )
6 sseq2 3519 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  D
) )
7 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( G `  y )  =  ( G `  D ) )
87sseq2d 3525 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
11 r19.21v 2862 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a
) ) )  <->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  C  e.  On )
13 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  y  e.  On )
14 onsseleq 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
16 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  <-> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
17 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  (
( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  <->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
18 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
1918tfr1 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  Fn  On
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  G  Fn  On )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  e.  On )
22 onss 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  C_  On )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  C  e.  y )
25 fnfvima 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  On  /\  y  C_  On  /\  C  e.  y )  ->  ( G `  C )  e.  ( G " y
) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  e.  ( G
" y ) )
27 elssuni 4268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  C )  e.  ( G "
y )  ->  ( G `  C )  C_ 
U. ( G "
y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  U. ( G " y ) )
29 n0i 3783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
30 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3124, 29, 303syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3228, 31sseqtr4d 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  y  =  U. y
)  ->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) )
34 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3534uniex 6571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  _V
3635sucid 4950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. y  e.  suc  U. y
37 eloni 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
38 orduniorsuc 6636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
3921, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
4039orcanai 906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  y  =  suc  U. y )
4136, 40syl5eleqr 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  U. y  e.  y )
42 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
4324adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  e.  y )
44 elssuni 4268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  C  C_ 
U. y )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  C_ 
U. y )
46 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( C  C_  a  <->  C 
C_  U. y ) )
47 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
4847sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  C )  C_  ( G `  a )  <->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  U. y ) ) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  <->  ( C  C_  U. y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5049rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  U. y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5141, 42, 45, 50syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) )
52 ssun1 3660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 U. y ) 
C_  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )
5351, 52syl6ss 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
5416, 17, 33, 53ifbothda 3967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
55 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  ph )
56 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
57 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
58 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5956, 57, 58, 18ttukeylem3 8880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6055, 21, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  y
)  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6154, 60sseqtr4d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )
6261expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  e.  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
63 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  =  ( G `  y ) )
64 eqimss 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  C )  =  ( G `  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  =  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
6762, 66jaod 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  (
( C  e.  y  \/  C  =  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) )
6815, 67sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) ) )
6968ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) )
7069expcom 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) ) )
7170a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
7211, 71syl5bi 217 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
735, 10, 72tfis3 6663 . . 3  |-  ( D  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D
) ) ) )
7473expdcom 439 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  On  ->  ( D  e.  On  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
75743imp2 1206 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498   Ord word 4870   Oncon0 4871   suc csuc 4873   dom cdm 4992   ran crn 4993   "cima 4995    Fn wfn 5574   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  recscrecs 7031   Fincfn 7506   cardccrd 8305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-recs 7032
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