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Theorem ttukeylem5 8682
Description: Lemma for ttukey 8687. The  G function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, D    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    D( z)

Proof of Theorem ttukeylem5
Dummy variables  a 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3378 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  a
) )
2 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
32sseq2d 3384 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) ) )
54imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) ) )
6 sseq2 3378 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  D
) )
7 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( G `  y )  =  ( G `  D ) )
87sseq2d 3384 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
11 r19.21v 2803 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a
) ) )  <->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  C  e.  On )
13 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  y  e.  On )
14 onsseleq 4760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
16 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  <-> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
17 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  (
( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  <->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
18 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
1918tfr1 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  Fn  On
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  G  Fn  On )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  e.  On )
22 onss 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  C_  On )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  C  e.  y )
25 fnfvima 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  On  /\  y  C_  On  /\  C  e.  y )  ->  ( G `  C )  e.  ( G " y
) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  e.  ( G
" y ) )
27 elssuni 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  C )  e.  ( G "
y )  ->  ( G `  C )  C_ 
U. ( G "
y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  U. ( G " y ) )
29 n0i 3642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
30 iffalse 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3124, 29, 303syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3228, 31sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  y  =  U. y
)  ->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) )
34 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3534uniex 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  _V
3635sucid 4798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. y  e.  suc  U. y
37 eloni 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
38 orduniorsuc 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
3921, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
4039orcanai 904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  y  =  suc  U. y )
4136, 40syl5eleqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  U. y  e.  y )
42 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
4324adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  e.  y )
44 elssuni 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  C  C_ 
U. y )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  C_ 
U. y )
46 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( C  C_  a  <->  C 
C_  U. y ) )
47 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
4847sseq2d 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  C )  C_  ( G `  a )  <->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  U. y ) ) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  <->  ( C  C_  U. y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5049rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  U. y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5141, 42, 45, 50syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) )
52 ssun1 3519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 U. y ) 
C_  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )
5351, 52syl6ss 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
5416, 17, 33, 53ifbothda 3824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
55 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  ph )
56 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
57 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
58 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5956, 57, 58, 18ttukeylem3 8680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6055, 21, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  y
)  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6154, 60sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )
6261expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  e.  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
63 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  =  ( G `  y ) )
64 eqimss 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  C )  =  ( G `  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  =  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
6762, 66jaod 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  (
( C  e.  y  \/  C  =  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) )
6815, 67sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) ) )
6968ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) )
7069expcom 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) ) )
7170a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
7211, 71syl5bi 217 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
735, 10, 72tfis3 6468 . . 3  |-  ( D  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D
) ) ) )
7473expdcom 439 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  On  ->  ( D  e.  On  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
75743imp2 1202 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091    e. cmpt 4350   Ord word 4718   Oncon0 4719   suc csuc 4721   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  recscrecs 6831   Fincfn 7310   cardccrd 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-recs 6832
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