MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Unicode version

Theorem ttukeylem4 8924
Description: Lemma for ttukey 8930. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Distinct variable groups:    x, z, G    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 5463 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
62, 3, 4, 5ttukeylem3 8923 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  On )  ->  ( G `  (/) )  =  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
71, 6mpan2 669 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  if ( (/)  =  U. (/)
,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `
 U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u. 
{ ( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
8 uni0 4218 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
98eqcomi 2415 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
109iftruei 3892 . . 3  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )
11 eqid 2402 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
1211iftruei 3892 . . 3  |-  if (
(/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B
1310, 12eqtri 2431 . 2  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  B
147, 13syl6eq 2459 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   ~Pcpw 3955   {csn 3972   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826   Oncon0 5410   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  recscrecs 7074   Fincfn 7554   cardccrd 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-wrecs 7013  df-recs 7075
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  8927
  Copyright terms: Public domain W3C validator