MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Unicode version

Theorem ttukeylem4 8796
Description: Lemma for ttukey 8802. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Distinct variable groups:    x, z, G    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 4883 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
62, 3, 4, 5ttukeylem3 8795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  On )  ->  ( G `  (/) )  =  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
71, 6mpan2 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  if ( (/)  =  U. (/)
,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `
 U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u. 
{ ( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
8 uni0 4229 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
98eqcomi 2467 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
109iftruei 3909 . . 3  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
1211iftruei 3909 . . 3  |-  if (
(/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B
1310, 12eqtri 2483 . 2  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  B
147, 13syl6eq 2511 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202    |-> cmpt 4461   Oncon0 4830   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  recscrecs 6944   Fincfn 7423   cardccrd 8220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-recs 6945
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  8799
  Copyright terms: Public domain W3C validator