MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Unicode version

Theorem ttukeylem4 8669
Description: Lemma for ttukey 8675. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Distinct variable groups:    x, z, G    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 4759 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
62, 3, 4, 5ttukeylem3 8668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  On )  ->  ( G `  (/) )  =  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
71, 6mpan2 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  if ( (/)  =  U. (/)
,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `
 U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u. 
{ ( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
8 uni0 4106 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
98eqcomi 2437 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
109iftruei 3786 . . 3  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )
11 eqid 2433 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
1211iftruei 3786 . . 3  |-  if (
(/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B
1310, 12eqtri 2453 . 2  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  B
147, 13syl6eq 2481 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1360    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079    e. cmpt 4338   Oncon0 4706   dom cdm 4827   ran crn 4828   "cima 4830   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  recscrecs 6817   Fincfn 7298   cardccrd 8093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-recs 6818
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  8672
  Copyright terms: Public domain W3C validator