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Theorem ttukeylem3 8680
Description: Lemma for ttukey 8687. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z    x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
21tfr2 6857 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) ) )
32adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
4 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
z  =  ( G  |`  C ) )
65dmeqd 5042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  dom  ( G  |`  C ) )
71tfr1 6856 . . . . . . . . 9  |-  G  Fn  On
8 onss 6402 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  C  C_  On )
10 fnssres 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
12 fndm 5510 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
146, 13eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  C
)
1514unieqd 4101 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. dom  z  =  U. C )
1614, 15eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  U. dom  z  <->  C  =  U. C ) )
1714eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  (/)  <->  C  =  (/) ) )
185rneqd 5067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ran  ( G  |`  C ) )
19 df-ima 4853 . . . . . . . 8  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
2018, 19syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ( G " C ) )
2120unieqd 4101 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. ran  z  =  U. ( G " C ) )
2217, 21ifbieq2d 3814 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z )  =  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) )
235, 15fveq12d 5697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( z `  U. dom  z )  =  ( ( G  |`  C ) `
 U. C ) )
2415fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( F `  U. dom  z )  =  ( F `  U. C
) )
2524sneqd 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  { ( F `  U. dom  z ) }  =  { ( F `
 U. C ) } )
2623, 25uneq12d 3511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  =  ( ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
2726eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A  <->  ( (
( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
28 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  (/)  =  (/) )
2927, 25, 28ifbieq12d 3816 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
3023, 29uneq12d 3511 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
3116, 22, 30ifbieq12d 3816 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
32 onuni 6404 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  On )
3332ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  On )
34 sucidg 4797 . . . . . . . . 9  |-  ( U. C  e.  On  ->  U. C  e.  suc  U. C )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
36 eloni 4729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  Ord  C )
38 orduniorsuc 6441 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
4039orcanai 904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  C  =  suc  U. C
)
4135, 40eleqtrrd 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  C
)
42 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
4443uneq1d 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  =  ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
4544eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A  <->  ( ( G `  U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
4645ifbid 3811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
4743, 46uneq12d 3511 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  =  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
4847ifeq2da 3820 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
4931, 48eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
50 fnfun 5508 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
517, 50ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  G
52 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  C  e.  On )
53 resfunexg 5943 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
5451, 52, 53sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
55 ttukeylem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
56 elex 2981 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
58 funimaexg 5495 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G " C )  e. 
_V )
5951, 58mpan 670 . . . . . 6  |-  ( C  e.  On  ->  ( G " C )  e. 
_V )
60 uniexg 6377 . . . . . 6  |-  ( ( G " C )  e.  _V  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
6159, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  On  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
62 ifcl 3831 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  U. ( G " C
)  e.  _V )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V )
6357, 61, 62syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e. 
_V )
64 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( G `
 U. C )  e.  _V
65 snex 4533 . . . . . 6  |-  { ( F `  U. C
) }  e.  _V
66 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
6765, 66ifex 3858 . . . . 5  |-  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  e.  _V
6864, 67unex 6378 . . . 4  |-  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V
69 ifcl 3831 . . . 4  |-  ( ( if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V  /\  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `
 U. C )  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
7063, 68, 69sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
714, 49, 54, 70fvmptd 5779 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
723, 71eqtrd 2475 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091    e. cmpt 4350   Ord word 4718   Oncon0 4719   suc csuc 4721   dom cdm 4840   ran crn 4841    |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  recscrecs 6831   Fincfn 7310   cardccrd 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-recs 6832
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