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Theorem ttukeylem3 8954
Description: Lemma for ttukey 8961. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z    x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
21tfr2 7133 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) ) )
32adantl 468 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
4 eqidd 2424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
5 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
z  =  ( G  |`  C ) )
65dmeqd 5062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  dom  ( G  |`  C ) )
71tfr1 7132 . . . . . . . . 9  |-  G  Fn  On
8 onss 6637 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
98ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  C  C_  On )
10 fnssres 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
117, 9, 10sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
12 fndm 5699 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
146, 13eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  C
)
1514unieqd 4235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. dom  z  =  U. C )
1614, 15eqeq12d 2445 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  U. dom  z  <->  C  =  U. C ) )
1714eqeq1d 2425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  (/)  <->  C  =  (/) ) )
185rneqd 5087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ran  ( G  |`  C ) )
19 df-ima 4872 . . . . . . . 8  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
2018, 19syl6eqr 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ( G " C ) )
2120unieqd 4235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. ran  z  =  U. ( G " C ) )
2217, 21ifbieq2d 3942 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z )  =  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) )
235, 15fveq12d 5893 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( z `  U. dom  z )  =  ( ( G  |`  C ) `
 U. C ) )
2415fveq2d 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( F `  U. dom  z )  =  ( F `  U. C
) )
2524sneqd 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  { ( F `  U. dom  z ) }  =  { ( F `
 U. C ) } )
2623, 25uneq12d 3627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  =  ( ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
2726eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A  <->  ( (
( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
28 eqidd 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  (/)  =  (/) )
2927, 25, 28ifbieq12d 3944 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
3023, 29uneq12d 3627 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
3116, 22, 30ifbieq12d 3944 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
32 onuni 6640 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  On )
3332ad3antlr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  On )
34 sucidg 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( U. C  e.  On  ->  U. C  e.  suc  U. C )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
36 eloni 5458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
3736ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  Ord  C )
38 orduniorsuc 6677 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
4039orcanai 922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  C  =  suc  U. C
)
4135, 40eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  C
)
42 fvres 5901 . . . . . . 7  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
4341, 42syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
4443uneq1d 3625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  =  ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
4544eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A  <->  ( ( G `  U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
4645ifbid 3939 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
4743, 46uneq12d 3627 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  =  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
4847ifeq2da 3948 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
4931, 48eqtrd 2464 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
50 fnfun 5697 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
517, 50ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  G
52 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  C  e.  On )
53 resfunexg 6151 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
5451, 52, 53sylancr 668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
55 ttukeylem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
56 elex 3094 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
5755, 56syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
58 funimaexg 5684 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G " C )  e. 
_V )
5951, 58mpan 675 . . . . . 6  |-  ( C  e.  On  ->  ( G " C )  e. 
_V )
60 uniexg 6608 . . . . . 6  |-  ( ( G " C )  e.  _V  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
6159, 60syl 17 . . . . 5  |-  ( C  e.  On  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
62 ifcl 3959 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  U. ( G " C
)  e.  _V )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V )
6357, 61, 62syl2an 480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e. 
_V )
64 fvex 5897 . . . . 5  |-  ( G `
 U. C )  e.  _V
65 snex 4668 . . . . . 6  |-  { ( F `  U. C
) }  e.  _V
66 0ex 4562 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
6765, 66ifex 3985 . . . . 5  |-  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  e.  _V
6864, 67unex 6609 . . . 4  |-  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V
69 ifcl 3959 . . . 4  |-  ( ( if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V  /\  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `
 U. C )  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
7063, 68, 69sylancl 667 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
714, 49, 54, 70fvmptd 5976 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
723, 71eqtrd 2464 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1873   _Vcvv 3085    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3917   ~Pcpw 3987   {csn 4004   U.cuni 4225    |-> cmpt 4488   dom cdm 4859   ran crn 4860    |` cres 4861   "cima 4862   Ord word 5447   Oncon0 5448   suc csuc 5450   Fun wfun 5601    Fn wfn 5602   -1-1-onto->wf1o 5606   ` cfv 5607  recscrecs 7106   Fincfn 7586   cardccrd 8383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-wrecs 7045  df-recs 7107
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  8955  ttukeylem5  8956  ttukeylem6  8957  ttukeylem7  8958
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