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Theorem ttukey2g 8685
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8687 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of  A so that it also contains some given  B  e.  A as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3483 . . . 4  |-  ( U. A  \  B )  C_  U. A
2 ssnum 8209 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  ( U. A  \  B )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  \  B )  e. 
dom  card )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( U. A  \  B
)  e.  dom  card )
4 isnum3 8124 . . . . 5  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ~~  ( U. A  \  B
) )
5 bren 7319 . . . . 5  |-  ( (
card `  ( U. A  \  B ) ) 
~~  ( U. A  \  B )  <->  E. f 
f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
7 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
8 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  B  e.  A )
9 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
10 dmeq 5040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  dom  w  =  dom  z )
1110unieqd 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. dom  w  =  U. dom  z
)
1210, 11eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  U. dom  w 
<->  dom  z  =  U. dom  z ) )
1310eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  (/)  <->  dom  z  =  (/) ) )
14 rneq 5065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ran  w  =  ran  z )
1514unieqd 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. ran  w  =  U. ran  z
)
1613, 15ifbieq2d 3814 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w )  =  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
1817, 11fveq12d 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  U. dom  w
)  =  ( z `
 U. dom  z
) )
1911fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  U. dom  w
)  =  ( f `
 U. dom  z
) )
2019sneqd 3889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  { ( f `  U. dom  w ) }  =  { ( f `  U. dom  z ) } )
2118, 20uneq12d 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  {
( f `  U. dom  w ) } )  =  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } ) )
2221eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( w `  U. dom  w )  u. 
{ ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A  <->  ( (
z `  U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ) )
2322, 20ifbieq1d 3812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )
2418, 23uneq12d 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) )  =  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )
2512, 16, 24ifbieq12d 3816 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
2625cbvmptv 4383 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
27 recseq 6833 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  -> recs ( (
w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |- recs ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
297, 8, 9, 28ttukeylem7 8684 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
30293expib 1190 . . . . 5  |-  ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  (
( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
3130exlimiv 1688 . . . 4  |-  ( E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
)  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
326, 31sylbi 195 . . 3  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  -> 
( ( B  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
333, 32syl 16 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
34333impib 1185 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328    C. wpss 3329   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  recscrecs 6831    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   cardccrd 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-om 6477  df-recs 6832  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314  df-card 8109
This theorem is referenced by:  ttukeyg  8686
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