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Theorem ttukey2g 8896
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8898 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of  A so that it also contains some given  B  e.  A as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3631 . . . 4  |-  ( U. A  \  B )  C_  U. A
2 ssnum 8420 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  ( U. A  \  B )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  \  B )  e. 
dom  card )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( U. A  \  B
)  e.  dom  card )
4 isnum3 8335 . . . . 5  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ~~  ( U. A  \  B
) )
5 bren 7525 . . . . 5  |-  ( (
card `  ( U. A  \  B ) ) 
~~  ( U. A  \  B )  <->  E. f 
f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
7 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
8 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  B  e.  A )
9 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
10 dmeq 5203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  dom  w  =  dom  z )
1110unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. dom  w  =  U. dom  z
)
1210, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  U. dom  w 
<->  dom  z  =  U. dom  z ) )
1310eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  (/)  <->  dom  z  =  (/) ) )
14 rneq 5228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ran  w  =  ran  z )
1514unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. ran  w  =  U. ran  z
)
1613, 15ifbieq2d 3964 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w )  =  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
1817, 11fveq12d 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  U. dom  w
)  =  ( z `
 U. dom  z
) )
1911fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  U. dom  w
)  =  ( f `
 U. dom  z
) )
2019sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  { ( f `  U. dom  w ) }  =  { ( f `  U. dom  z ) } )
2118, 20uneq12d 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  {
( f `  U. dom  w ) } )  =  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } ) )
2221eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( w `  U. dom  w )  u. 
{ ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A  <->  ( (
z `  U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ) )
2322, 20ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )
2418, 23uneq12d 3659 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) )  =  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )
2512, 16, 24ifbieq12d 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
2625cbvmptv 4538 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
27 recseq 7043 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  -> recs ( (
w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |- recs ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
297, 8, 9, 28ttukeylem7 8895 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
30293expib 1199 . . . . 5  |-  ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  (
( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
3130exlimiv 1698 . . . 4  |-  ( E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
)  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
326, 31sylbi 195 . . 3  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  -> 
( ( B  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
333, 32syl 16 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
34333impib 1194 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  recscrecs 7041    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   cardccrd 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-om 6685  df-recs 7042  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-card 8320
This theorem is referenced by:  ttukeyg  8897
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