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Theorem ttukey2g 8946
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8948 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of  A so that it also contains some given  B  e.  A as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3560 . . . 4  |-  ( U. A  \  B )  C_  U. A
2 ssnum 8470 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  ( U. A  \  B )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  \  B )  e. 
dom  card )
31, 2mpan2 677 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( U. A  \  B
)  e.  dom  card )
4 isnum3 8388 . . . . 5  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ~~  ( U. A  \  B
) )
5 bren 7578 . . . . 5  |-  ( (
card `  ( U. A  \  B ) ) 
~~  ( U. A  \  B )  <->  E. f 
f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
64, 5bitri 253 . . . 4  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
7 simp1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
8 simp2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  B  e.  A )
9 simp3 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
10 dmeq 5035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  dom  w  =  dom  z )
1110unieqd 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. dom  w  =  U. dom  z
)
1210, 11eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  U. dom  w 
<->  dom  z  =  U. dom  z ) )
1310eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  (/)  <->  dom  z  =  (/) ) )
14 rneq 5060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ran  w  =  ran  z )
1514unieqd 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. ran  w  =  U. ran  z
)
1613, 15ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w )  =  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
1817, 11fveq12d 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  U. dom  w
)  =  ( z `
 U. dom  z
) )
1911fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  U. dom  w
)  =  ( f `
 U. dom  z
) )
2019sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  { ( f `  U. dom  w ) }  =  { ( f `  U. dom  z ) } )
2118, 20uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  {
( f `  U. dom  w ) } )  =  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } ) )
2221eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( w `  U. dom  w )  u. 
{ ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A  <->  ( (
z `  U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ) )
2322, 20ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )
2418, 23uneq12d 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) )  =  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )
2512, 16, 24ifbieq12d 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
2625cbvmptv 4495 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
27 recseq 7092 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  -> recs ( (
w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |- recs ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
297, 8, 9, 28ttukeylem7 8945 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
30293expib 1211 . . . . 5  |-  ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  (
( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
3130exlimiv 1776 . . . 4  |-  ( E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
)  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
326, 31sylbi 199 . . 3  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  -> 
( ( B  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
333, 32syl 17 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
34333impib 1206 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404    C. wpss 3405   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  recscrecs 7089    ~~ cen 7566   Fincfn 7569   cardccrd 8369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-card 8373
This theorem is referenced by:  ttukeyg  8947
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