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Theorem ttukey2g 8681
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8683 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of  A so that it also contains some given  B  e.  A as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3480 . . . 4  |-  ( U. A  \  B )  C_  U. A
2 ssnum 8205 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  ( U. A  \  B )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  \  B )  e. 
dom  card )
31, 2mpan2 666 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( U. A  \  B
)  e.  dom  card )
4 isnum3 8120 . . . . 5  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ~~  ( U. A  \  B
) )
5 bren 7315 . . . . 5  |-  ( (
card `  ( U. A  \  B ) ) 
~~  ( U. A  \  B )  <->  E. f 
f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
7 simp1 983 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
8 simp2 984 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  B  e.  A )
9 simp3 985 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
10 dmeq 5036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  dom  w  =  dom  z )
1110unieqd 4098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. dom  w  =  U. dom  z
)
1210, 11eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  U. dom  w 
<->  dom  z  =  U. dom  z ) )
1310eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  (/)  <->  dom  z  =  (/) ) )
14 rneq 5061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ran  w  =  ran  z )
1514unieqd 4098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. ran  w  =  U. ran  z
)
1613, 15ifbieq2d 3811 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w )  =  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
1817, 11fveq12d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  U. dom  w
)  =  ( z `
 U. dom  z
) )
1911fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  U. dom  w
)  =  ( f `
 U. dom  z
) )
2019sneqd 3886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  { ( f `  U. dom  w ) }  =  { ( f `  U. dom  z ) } )
2118, 20uneq12d 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  {
( f `  U. dom  w ) } )  =  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } ) )
2221eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( w `  U. dom  w )  u. 
{ ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A  <->  ( (
z `  U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ) )
2322, 20ifbieq1d 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )
2418, 23uneq12d 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) )  =  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )
2512, 16, 24ifbieq12d 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
2625cbvmptv 4380 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
27 recseq 6829 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  -> recs ( (
w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |- recs ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
297, 8, 9, 28ttukeylem7 8680 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
30293expib 1185 . . . . 5  |-  ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  (
( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
3130exlimiv 1693 . . . 4  |-  ( E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
)  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
326, 31sylbi 195 . . 3  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  -> 
( ( B  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
333, 32syl 16 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
34333impib 1180 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325    C. wpss 3326   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  recscrecs 6827    ~~ cen 7303   Fincfn 7306   cardccrd 8101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-om 6476  df-recs 6828  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-card 8105
This theorem is referenced by:  ttukeyg  8682
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