MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukey Structured version   Unicode version

Theorem ttukey 8930
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma, an Axiom of Choice equivalent. If  A is a nonempty collection of finite character, then  A has a maximal element with respect to inclusion. Here "finite character" means that  x  e.  A iff every finite subset of  x is in  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ttukey.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ttukey  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ttukey
StepHypRef Expression
1 ttukey.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 6578 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8882 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  U. A  e.  dom  card
5 ttukeyg 8929 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
64, 5mp3an1 1313 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414    C. wpss 3415   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   dom cdm 4823   Fincfn 7554   cardccrd 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-ac2 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-card 8352  df-ac 8529
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator