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Theorem ttgval 23870
Description: Define a function to augment a complex Hilbert space with betweenness and a line definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgval.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ttgval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
ttgval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
ttgval  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z    x, B, y, z    k, H, x, y, z    x, V, y, z    x,  .- , y, z    x,  .x. , y,
z
Allowed substitution hints:    B( k)    .x. ( k)    G( x, y, z, k)    I( x, y, z, k)    .- ( k)    V( k)

Proof of Theorem ttgval
Dummy variables  a 
b  c  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5  |-  G  =  (toTG `  H )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  (toTG `  H )
)
3 elex 3122 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  H  e.  _V )
4 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  H
) )
5 ttgval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  H
)
64, 5syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  B )
7 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  =  ( -g `  H
) )
8 ttgval.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .-  =  ( -g `  H )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  = 
.-  )
109oveqd 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
z ( -g `  w
) x )  =  ( z  .-  x
) )
11 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  H
) )
12 ttgval.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .s `  H )
1311, 12syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
14 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  k  =  k )
159oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  (
y ( -g `  w
) x )  =  ( y  .-  x
) )
1613, 14, 15oveq123d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) )
1710, 16eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  (
( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
1817rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) ) )
196, 18rabeqbidv 3108 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
206, 6, 19mpt2eq123dv 6342 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) )
2120csbeq1d 3442 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
22 oveq1 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
w sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. )  =  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) )
23 rabeq 3107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  w )  =  B  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
246, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
256, 6, 24mpt2eq123dv 6342 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) )
2625opeq2d 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
2722, 26oveq12d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( w sSet  <. (Itv ` 
ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
2827csbeq2dv 3835 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
2921, 28eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
30 df-ttg 23869 . . . . . 6  |- toTG  =  ( w  e.  _V  |->  [_ ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w )  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
31 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  e.  _V
3231csbex 4580 . . . . . 6  |-  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt 5949 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
343, 33syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
35 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  e.  _V
365, 35eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
3736, 36mpt2ex 6860 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
40 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  x ) )
41 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
b  .-  a )  =  ( b  .-  x ) )
4241oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
k  .x.  ( b  .-  a ) )  =  ( k  .x.  (
b  .-  x )
) )
4340, 42eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4443rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4544rabbidv 3105 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) ) } )
46 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
b  .-  x )  =  ( y  .-  x ) )
4746oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  .x.  ( b  .-  x ) )  =  ( k  .x.  (
y  .-  x )
) )
4847eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
4948rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5049rabbidv 3105 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
51 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( z  .-  x ) )
5251eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  z  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5352rexbidv 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5453cbvrabv 3112 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) }
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5650, 55eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5745, 56cbvmpt2v 6360 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } )
5839, 57syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
6059, 57syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
6160opeq2d 4220 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.  =  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. )
6261oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
)  =  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) )
6360oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6463eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z  e.  ( x i y )  <-> 
z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6560oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z i y )  =  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6665eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  ( z i y )  <-> 
x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6760oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i z )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
6867eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( y  e.  ( x i z )  <-> 
y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) )
6964, 66, 683orbi123d 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
7069rabbidv 3105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
71703ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  i  =  (
a  e.  B , 
b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) ) } ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
7271mpt2eq3dva 6344 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) )
7372opeq2d 4220 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
7462, 73oveq12d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7558, 74syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7638, 75csbied 3462 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
772, 34, 763eqtrd 2512 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7877fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) ) )
79 itvid 23582 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
80 1nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
81 6nn 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  NN
8280, 81decnncl 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- ; 1 6  e.  NN
8382nnrei 10544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  e.  RR
84 6nn0 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
85 7nn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  NN
86 6lt7 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  <  7
8780, 84, 85, 86declt 10996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  < ; 1 7
8883, 87ltneii 9696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  =/= ; 1 7
89 itvndx 23580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
90 lngndx 23581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
9189, 90neeq12i 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Itv
`  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )  <-> ; 1 6  =/= ; 1 7 )
9288, 91mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Itv `  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )
9379, 92setsnid 14531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
9478, 93syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) ) )
95 ttgval.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  (Itv `  G )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  (Itv `  G )
)
9779setsid 14530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9838, 97mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9994, 96, 983eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )
10099oveqd 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I y )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
101100eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10299oveqd 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
z I y )  =  ( z ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
103102eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10499oveqd 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I z )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
105104eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) )
106101, 103, 1053orbi123d 1298 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
107106rabbidv 3105 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  V  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
1081073ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
109108mpt2eq3dva 6344 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
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( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } ) )
110109opeq2d 4220 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
111110oveq2d 6299 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
11277, 111eqtr4d 2511 . 2  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
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) )
113112, 99jca 532 1  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435   <.cop 4033   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    |-> cmpt2 6285   0cc0 9491   1c1 9492   6c6 10588   7c7 10589  ;cdc 10975   [,]cicc 11531   ndxcnx 14486   sSet csts 14487   Basecbs 14489   .scvsca 14558   -gcsg 15729  Itvcitv 23576  LineGclng 23577  toTGcttg 23868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-dec 10976  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-sets 14495  df-itv 23578  df-lng 23579  df-ttg 23869
This theorem is referenced by:  ttglem  23871  ttgitvval  23877
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