MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgval Structured version   Unicode version

Theorem ttgval 24904
Description: Define a function to augment a complex Hilbert space with betweenness and a line definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgval.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ttgval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
ttgval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
ttgval  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z    x, B, y, z    k, H, x, y, z    x, V, y, z    x,  .- , y, z    x,  .x. , y,
z
Allowed substitution hints:    B( k)    .x. ( k)    G( x, y, z, k)    I( x, y, z, k)    .- ( k)    V( k)

Proof of Theorem ttgval
Dummy variables  a 
b  c  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5  |-  G  =  (toTG `  H )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  (toTG `  H )
)
3 elex 3089 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  H  e.  _V )
4 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  H
) )
5 ttgval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  H
)
64, 5syl6eqr 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  B )
7 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  =  ( -g `  H
) )
8 ttgval.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .-  =  ( -g `  H )
97, 8syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  = 
.-  )
109oveqd 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
z ( -g `  w
) x )  =  ( z  .-  x
) )
11 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  H
) )
12 ttgval.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .s `  H )
1311, 12syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
14 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  k  =  k )
159oveqd 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  (
y ( -g `  w
) x )  =  ( y  .-  x
) )
1613, 14, 15oveq123d 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) )
1710, 16eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  (
( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
1817rexbidv 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) ) )
196, 18rabeqbidv 3075 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
206, 6, 19mpt2eq123dv 6368 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) )
2120csbeq1d 3402 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
22 oveq1 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
w sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. )  =  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) )
23 rabeq 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  w )  =  B  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
246, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
256, 6, 24mpt2eq123dv 6368 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) )
2625opeq2d 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
2722, 26oveq12d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( w sSet  <. (Itv ` 
ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
2827csbeq2dv 3811 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
2921, 28eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
30 df-ttg 24903 . . . . . 6  |- toTG  =  ( w  e.  _V  |->  [_ ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w )  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
31 ovex 6334 . . . . . . 7  |-  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  e.  _V
3231csbex 4559 . . . . . 6  |-  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt 5965 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
343, 33syl 17 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
35 fvex 5892 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  e.  _V
365, 35eqeltri 2503 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
3736, 36mpt2ex 6885 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )
39 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
40 oveq2 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  x ) )
41 oveq2 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
b  .-  a )  =  ( b  .-  x ) )
4241oveq2d 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
k  .x.  ( b  .-  a ) )  =  ( k  .x.  (
b  .-  x )
) )
4340, 42eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4443rexbidv 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4544rabbidv 3071 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) ) } )
46 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
b  .-  x )  =  ( y  .-  x ) )
4746oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  .x.  ( b  .-  x ) )  =  ( k  .x.  (
y  .-  x )
) )
4847eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
4948rexbidv 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5049rabbidv 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
51 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( z  .-  x ) )
5251eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5352rexbidv 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5453cbvrabv 3079 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) }
5550, 54syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5645, 55cbvmpt2v 6386 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } )
5739, 56syl6eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
58 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
5958, 56syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
6059opeq2d 4194 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.  =  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. )
6160oveq2d 6322 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
)  =  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) )
6259oveqd 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6362eleq2d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z  e.  ( x i y )  <-> 
z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6459oveqd 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z i y )  =  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6564eleq2d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  ( z i y )  <-> 
x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6659oveqd 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i z )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
6766eleq2d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( y  e.  ( x i z )  <-> 
y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) )
6863, 65, 673orbi123d 1334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
6968rabbidv 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
7069mpt2eq3dv 6372 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) )
7170opeq2d 4194 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
7261, 71oveq12d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7357, 72syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7438, 73csbied 3422 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
752, 34, 743eqtrd 2467 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7675fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) ) )
77 itvid 24489 . . . . . . . . . . . . 13  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
78 1nn0 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
79 6nn 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN
8078, 79decnncl 11072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  e.  NN
8180nnrei 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  e.  RR
82 6nn0 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  NN0
83 7nn 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  7  e.  NN
84 6lt7 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  7
8578, 82, 83, 84declt 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  < ; 1 7
8681, 85ltneii 9755 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  =/= ; 1 7
87 itvndx 24487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
88 lngndx 24488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
8987, 88neeq12i 2709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Itv
`  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )  <-> ; 1 6  =/= ; 1 7 )
9086, 89mpbir 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Itv `  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )
9177, 90setsnid 15165 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
9276, 91syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) ) )
93 ttgval.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  (Itv `  G )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  (Itv `  G )
)
9577setsid 15164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9637, 95mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9792, 94, 963eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )
9897oveqd 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I y )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
9998eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10097oveqd 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
z I y )  =  ( z ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
101100eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10297oveqd 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I z )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
103102eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) )
10499, 101, 1033orbi123d 1334 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  V  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
105104rabbidv 3071 . . . . . 6  |-  ( H  e.  V  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
106105mpt2eq3dv 6372 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } ) )
107106opeq2d 4194 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
108107oveq2d 6322 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
10975, 108eqtr4d 2466 . 2  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.
) )
110109, 97jca 534 1  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   [_csb 3395   <.cop 4004   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    |-> cmpt2 6308   0cc0 9547   1c1 9548   6c6 10671   7c7 10672  ;cdc 11059   [,]cicc 11646   ndxcnx 15118   sSet csts 15119   Basecbs 15121   .scvsca 15194   -gcsg 16671  Itvcitv 24483  LineGclng 24484  toTGcttg 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-dec 11060  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-sets 15127  df-itv 24485  df-lng 24486  df-ttg 24903
This theorem is referenced by:  ttglem  24905  ttgitvval  24911
  Copyright terms: Public domain W3C validator