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Theorem ttgval 24305
Description: Define a function to augment a complex Hilbert space with betweenness and a line definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgval.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ttgval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
ttgval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
ttgval  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z    x, B, y, z    k, H, x, y, z    x, V, y, z    x,  .- , y, z    x,  .x. , y,
z
Allowed substitution hints:    B( k)    .x. ( k)    G( x, y, z, k)    I( x, y, z, k)    .- ( k)    V( k)

Proof of Theorem ttgval
Dummy variables  a 
b  c  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5  |-  G  =  (toTG `  H )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  (toTG `  H )
)
3 elex 3118 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  H  e.  _V )
4 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  H
) )
5 ttgval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  H
)
64, 5syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  B )
7 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  =  ( -g `  H
) )
8 ttgval.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .-  =  ( -g `  H )
97, 8syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  = 
.-  )
109oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
z ( -g `  w
) x )  =  ( z  .-  x
) )
11 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  H
) )
12 ttgval.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .s `  H )
1311, 12syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
14 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  k  =  k )
159oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  (
y ( -g `  w
) x )  =  ( y  .-  x
) )
1613, 14, 15oveq123d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) )
1710, 16eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  (
( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
1817rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) ) )
196, 18rabeqbidv 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
206, 6, 19mpt2eq123dv 6358 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) )
2120csbeq1d 3437 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
22 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
w sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. )  =  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) )
23 rabeq 3103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  w )  =  B  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
246, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
256, 6, 24mpt2eq123dv 6358 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) )
2625opeq2d 4226 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
2722, 26oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( w sSet  <. (Itv ` 
ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
2827csbeq2dv 3843 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
2921, 28eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
30 df-ttg 24304 . . . . . 6  |- toTG  =  ( w  e.  _V  |->  [_ ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w )  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
31 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  e.  _V
3231csbex 4590 . . . . . 6  |-  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
343, 33syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
35 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  e.  _V
365, 35eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
3736, 36mpt2ex 6876 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
40 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  x ) )
41 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
b  .-  a )  =  ( b  .-  x ) )
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
k  .x.  ( b  .-  a ) )  =  ( k  .x.  (
b  .-  x )
) )
4340, 42eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4443rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4544rabbidv 3101 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) ) } )
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
b  .-  x )  =  ( y  .-  x ) )
4746oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  .x.  ( b  .-  x ) )  =  ( k  .x.  (
y  .-  x )
) )
4847eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
4948rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5049rabbidv 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
51 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( z  .-  x ) )
5251eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5352rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5453cbvrabv 3108 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) }
5550, 54syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5645, 55cbvmpt2v 6376 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } )
5739, 56syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
5958, 56syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
6059opeq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.  =  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. )
6160oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
)  =  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) )
6259oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6362eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z  e.  ( x i y )  <-> 
z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6459oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z i y )  =  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6564eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  ( z i y )  <-> 
x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6659oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i z )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
6766eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( y  e.  ( x i z )  <-> 
y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) )
6863, 65, 673orbi123d 1298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
6968rabbidv 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
7069mpt2eq3dv 6362 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) )
7170opeq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
7261, 71oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7357, 72syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7438, 73csbied 3457 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
752, 34, 743eqtrd 2502 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7675fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) ) )
77 itvid 23964 . . . . . . . . . . . . 13  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
78 1nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
79 6nn 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN
8078, 79decnncl 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  e.  NN
8180nnrei 10565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  e.  RR
82 6nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  NN0
83 7nn 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  7  e.  NN
84 6lt7 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  7
8578, 82, 83, 84declt 11021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  < ; 1 7
8681, 85ltneii 9714 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 6  =/= ; 1 7
87 itvndx 23962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
88 lngndx 23963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
8987, 88neeq12i 2746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Itv
`  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )  <-> ; 1 6  =/= ; 1 7 )
9086, 89mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Itv `  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )
9177, 90setsnid 14688 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
9276, 91syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) ) )
93 ttgval.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  (Itv `  G )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  (Itv `  G )
)
9577setsid 14687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9637, 95mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9792, 94, 963eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )
9897oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I y )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
9998eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10097oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
z I y )  =  ( z ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
101100eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10297oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I z )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
103102eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) )
10499, 101, 1033orbi123d 1298 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  V  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
105104rabbidv 3101 . . . . . 6  |-  ( H  e.  V  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
106105mpt2eq3dv 6362 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
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( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } ) )
107106opeq2d 4226 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
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( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
108107oveq2d 6312 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
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>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
10975, 108eqtr4d 2501 . 2  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
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) )
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(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   [_csb 3430   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   0cc0 9509   1c1 9510   6c6 10610   7c7 10611  ;cdc 11000   [,]cicc 11557   ndxcnx 14641   sSet csts 14642   Basecbs 14644   .scvsca 14716   -gcsg 16182  Itvcitv 23958  LineGclng 23959  toTGcttg 24303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-dec 11001  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-sets 14650  df-itv 23960  df-lng 23961  df-ttg 24304
This theorem is referenced by:  ttglem  24306  ttgitvval  24312
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