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Theorem ttgval 23121
Description: Define a function to augment a complex Hilbert space with betweenness and a line definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgval.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ttgval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
ttgval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
ttgval  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z    x, B, y, z    k, H, x, y, z    x, V, y, z    x,  .- , y, z    x,  .x. , y,
z
Allowed substitution hints:    B( k)    .x. ( k)    G( x, y, z, k)    I( x, y, z, k)    .- ( k)    V( k)

Proof of Theorem ttgval
Dummy variables  a 
b  c  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5  |-  G  =  (toTG `  H )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  (toTG `  H )
)
3 elex 2981 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  H  e.  _V )
4 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  H
) )
5 ttgval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  H
)
64, 5syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( Base `  w )  =  B )
7 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  =  ( -g `  H
) )
8 ttgval.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .-  =  ( -g `  H )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( -g `  w )  = 
.-  )
109oveqd 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
z ( -g `  w
) x )  =  ( z  .-  x
) )
11 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  H
) )
12 ttgval.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .s `  H )
1311, 12syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
14 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  k  =  k )
159oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  H  ->  (
y ( -g `  w
) x )  =  ( y  .-  x
) )
1613, 14, 15oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  H  ->  (
k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) )
1710, 16eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  (
( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
1817rexbidv 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z ( -g `  w ) x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w ) x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) ) )
196, 18rabeqbidv 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
206, 6, 19mpt2eq123dv 6148 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) )
2120csbeq1d 3295 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
22 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
w sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. )  =  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) )
23 rabeq 2966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  w )  =  B  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
246, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
256, 6, 24mpt2eq123dv 6148 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) )
2625opeq2d 4066 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
2722, 26oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( w sSet  <. (Itv ` 
ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
2827csbeq2dv 3687 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
2921, 28eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  [_ (
x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  =  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
30 df-ttg 23120 . . . . . 6  |- toTG  =  ( w  e.  _V  |->  [_ ( x  e.  ( Base `  w ) ,  y  e.  ( Base `  w )  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z (
-g `  w )
x )  =  ( k ( .s `  w ) ( y ( -g `  w
) x ) ) } )  /  i ]_ ( ( w sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  w
) ,  y  e.  ( Base `  w
)  |->  { z  e.  ( Base `  w
)  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. ) )
31 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>. )  e.  _V
3231csbex 4425 . . . . . 6  |-  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt 5774 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
343, 33syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  (toTG `  H )  =  [_ ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )
)
35 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  e.  _V
365, 35eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
3736, 36mpt2ex 6650 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
40 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  x ) )
41 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
b  .-  a )  =  ( b  .-  x ) )
4241oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
k  .x.  ( b  .-  a ) )  =  ( k  .x.  (
b  .-  x )
) )
4340, 42eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4443rexbidv 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  x ) ) ) )
4544rabbidv 2964 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) ) } )
46 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  y  ->  (
b  .-  x )  =  ( y  .-  x ) )
4746oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  y  ->  (
k  .x.  ( b  .-  x ) )  =  ( k  .x.  (
y  .-  x )
) )
4847eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  y  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
4948rexbidv 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5049rabbidv 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
51 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( z  .-  x ) )
5251eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  z  ->  (
( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5352rexbidv 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  ( E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) )  <->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) ) )
5453cbvrabv 2971 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) }
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5650, 55eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  x )  =  ( k  .x.  ( b  .-  x
) ) }  =  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )
5745, 56cbvmpt2v 6166 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } )
5839, 57syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b  .-  a
) ) } ) )
6059, 57syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
6160opeq2d 4066 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.  =  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. )
6261oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  i >.
)  =  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) )
6360oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6463eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z  e.  ( x i y )  <-> 
z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6560oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( z i y )  =  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
6665eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  ( z i y )  <-> 
x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) ) )
6760oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x i z )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
6867eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( y  e.  ( x i z )  <-> 
y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) )
6964, 66, 683orbi123d 1288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
7069rabbidv 2964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
71703ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  i  =  (
a  e.  B , 
b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( c  .-  a
)  =  ( k 
.x.  ( b  .-  a ) ) } ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
7271mpt2eq3dva 6150 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) )
7372opeq2d 4066 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } )
>.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
7462, 73oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( a  e.  B ,  b  e.  B  |->  { c  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( c  .-  a )  =  ( k  .x.  ( b 
.-  a ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7558, 74syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  V  /\  i  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )  -> 
( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7638, 75csbied 3314 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  [_ (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  /  i ]_ ( ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  i
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
772, 34, 763eqtrd 2479 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
7877fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) ) )
79 itvid 22903 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
80 1nn0 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
81 6nn 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  NN
8280, 81decnncl 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- ; 1 6  e.  NN
8382nnrei 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  e.  RR
84 6nn0 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
85 7nn 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  NN
86 6lt7 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  <  7
8780, 84, 85, 86declt 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 1 6  < ; 1 7
8883, 87ltneii 9487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 6  =/= ; 1 7
89 itvndx 22901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
90 lngndx 22902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
9189, 90neeq12i 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Itv
`  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )  <-> ; 1 6  =/= ; 1 7 )
9288, 91mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Itv `  ndx )  =/=  (LineG ` 
ndx )
9379, 92setsnid 14216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) )  =  (Itv
`  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
9478, 93syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (Itv `  G )  =  (Itv
`  ( H sSet  <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) ) )
95 ttgval.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  (Itv `  G )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  (Itv `  G )
)
9779setsid 14215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9838, 97mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } )  =  (Itv `  ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) ) )
9994, 96, 983eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )
10099oveqd 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I y )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
101100eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10299oveqd 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
z I y )  =  ( z ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y ) )
103102eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y ) ) )
10499oveqd 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  V  ->  (
x I z )  =  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) )
105104eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  V  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) )
106101, 103, 1053orbi123d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  V  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) ) )
107106rabbidv 2964 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  V  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } )
1081073ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  V  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  =  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } )
109108mpt2eq3dva 6150 . . . . 5  |-  ( H  e.  V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) z ) ) } ) )
110109opeq2d 4066 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.  =  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) z ) ) } ) >. )
111110oveq2d 6107 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  (
( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } )
>. ) sSet  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >. )  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) y )  \/  x  e.  ( z ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) y )  \/  y  e.  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
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.-  x ) ) } ) z ) ) } ) >.
) )
11277, 111eqtr4d 2478 . 2  |-  ( H  e.  V  ->  G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
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.x.  ( y  .-  x ) ) } ) >. ) sSet  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  { z  e.  B  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) >.
) )
113112, 99jca 532 1  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  { z  e.  B  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   [_csb 3288   <.cop 3883   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   0cc0 9282   1c1 9283   6c6 10375   7c7 10376  ;cdc 10755   [,]cicc 11303   ndxcnx 14171   sSet csts 14172   Basecbs 14174   .scvsca 14242   -gcsg 15413  Itvcitv 22897  LineGclng 22898  toTGcttg 23119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-dec 10756  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-sets 14180  df-itv 22899  df-lng 22900  df-ttg 23120
This theorem is referenced by:  ttglem  23122  ttgitvval  23128
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