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Theorem ttgitvval 23063
Description: Betweenness for a complex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgitvval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ttgitvval.b  |-  P  =  ( Base `  H
)
ttgitvval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgitvval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
Assertion
Ref Expression
ttgitvval  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X I Y )  =  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  X )  =  ( k  .x.  ( Y  .-  X ) ) } )
Distinct variable groups:    z, k,  .-    z,  .x.    k, H, z    P, k, z    k, V, z   
k, X, z    k, Y, z
Allowed substitution hints:    .x. ( k)    G( z, k)    I( z, k)

Proof of Theorem ttgitvval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5  |-  G  =  (toTG `  H )
2 ttgitvval.b . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  H
)
3 ttgitvval.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  H )
4 ttgitvval.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  H )
5 ttgitvval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
61, 2, 3, 4, 5ttgval 23056 . . . 4  |-  ( H  e.  V  ->  ( G  =  ( ( H sSet  <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  P ,  y  e.  P  |->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) >. ) sSet  <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  P ,  y  e.  P  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
>. )  /\  I  =  ( x  e.  P ,  y  e.  P  |->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) } ) ) )
76simprd 460 . . 3  |-  ( H  e.  V  ->  I  =  ( x  e.  P ,  y  e.  P  |->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) ) } ) )
873ad2ant1 1004 . 2  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  I  =  ( x  e.  P ,  y  e.  P  |->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y  .-  x
) ) } ) )
9 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  x  =  X )
109oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( z  .-  x
)  =  ( z 
.-  X ) )
11 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
y  =  Y )
1211, 9oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( y  .-  x
)  =  ( Y 
.-  X ) )
1312oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( k  .x.  (
y  .-  x )
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) )
1410, 13eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) )  <-> 
( z  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) ) )
1514rexbidv 2734 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  x )  =  ( k  .x.  ( y 
.-  x ) )  <->  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( z  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) ) )
1615rabbidv 2962 . 2  |-  ( ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P
)  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  x
)  =  ( k 
.x.  ( y  .-  x ) ) }  =  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( z  .-  X )  =  ( k  .x.  ( Y 
.-  X ) ) } )
17 simp2 984 . 2  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  P )
18 simp3 985 . 2  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  P )
19 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  e.  _V
202, 19eqeltri 2511 . . . 4  |-  P  e. 
_V
2120rabex 4440 . . 3  |-  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  X )  =  ( k  .x.  ( Y  .-  X ) ) }  e.  _V
2221a1i 11 . 2  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) }  e.  _V )
238, 16, 17, 18, 22ovmpt2d 6217 1  |-  ( ( H  e.  V  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X I Y )  =  { z  e.  P  |  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( z  .-  X )  =  ( k  .x.  ( Y  .-  X ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 959    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   <.cop 3880   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   0cc0 9278   1c1 9279   [,]cicc 11299   ndxcnx 14167   sSet csts 14168   Basecbs 14170   .scvsca 14238   -gcsg 15409  Itvcitv 22856  LineGclng 22857  toTGcttg 23054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-dec 10752  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-sets 14176  df-itv 22858  df-lng 22859  df-ttg 23055
This theorem is referenced by:  ttgelitv  23064
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