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Theorem ttgcontlem1 24020
Description: Lemma for % ttgcont (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n  |-  G  =  (toTG `  H )
ttgitvval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ttgitvval.b  |-  P  =  ( Base `  H
)
ttgitvval.m  |-  .-  =  ( -g `  H )
ttgitvval.s  |-  .x.  =  ( .s `  H )
ttgelitv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
ttgelitv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
ttgbtwnid.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  H ) )
ttgbtwnid.2  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  R )
ttgitvval.p  |-  .+  =  ( +g  `  H )
ttgcontlem1.h  |-  ( ph  ->  H  e. CVec )
ttgcontlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ttgcontlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  P )
ttgcontlem1.o  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
ttgcontlem1.p  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
ttgcontlem1.q  |-  ( ph  ->  K  =/=  1 )
ttgcontlem1.r  |-  ( ph  ->  L  =/=  M )
ttgcontlem1.s  |-  ( ph  ->  L  <_  ( M  /  K ) )
ttgcontlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 [,] 1 ) )
ttgcontlem1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 [,] 1 ) )
ttgcontlem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 [,] L ) )
ttgcontlem1.y  |-  ( ph  ->  ( X  .-  A
)  =  ( K 
.x.  ( Y  .-  A ) ) )
ttgcontlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  .-  A
)  =  ( M 
.x.  ( N  .-  A ) ) )
ttgcontlem1.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( A 
.+  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttgcontlem1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem ttgcontlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 11679 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2 ttgcontlem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 [,] 1 ) )
31, 2sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4 ttgcontlem1.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 [,] 1 ) )
51, 4sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
63, 5remulcld 9636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  K
)  e.  RR )
7 0re 9608 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8 iccssre 11618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0 [,] L
)  C_  RR )
97, 3, 8sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] L
)  C_  RR )
10 ttgcontlem1.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 [,] L ) )
119, 10sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1211, 5remulcld 9636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  K
)  e.  RR )
136, 12resubcld 9999 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  e.  RR )
14 1red 9623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1511, 14remulcld 9636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  e.  RR )
1615, 12resubcld 9999 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
)  e.  RR )
1711recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
18 1cnd 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
195recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
2017, 18, 19subdid 10024 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  K ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )
2118, 19subcld 9942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  CC )
22 ttgcontlem1.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 ttgcontlem1.q . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =/=  1 )
2423necomd 2738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  =/=  K )
2518, 19, 24subne0d 9951 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  =/=  0 )
2617, 21, 22, 25mulne0d 10213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  K ) )  =/=  0 )
2720, 26eqnetrrd 2761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
)  =/=  0 )
2813, 16, 27redivcld 10384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  e.  RR )
29 0xr 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
313rexrd 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
32 iccgelb 11593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  L  e.  RR*  /\  M  e.  ( 0 [,] L
) )  ->  0  <_  M )
3330, 31, 10, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3411, 33, 22ne0gt0d 9733 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3511, 34elrpd 11266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
3614rexrd 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
37 iccleub 11592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  K  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  K  <_  1 )
3830, 36, 4, 37syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  1 )
395, 14ltlend 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  <->  ( K  <_  1  /\  1  =/=  K ) ) )
4038, 24, 39mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
41 difrp 11265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  <->  ( 1  -  K )  e.  RR+ ) )
425, 14, 41syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  <->  ( 1  -  K )  e.  RR+ ) )
4340, 42mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR+ )
4435, 43rpmulcld 11284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  K ) )  e.  RR+ )
4520, 44eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
)  e.  RR+ )
463, 11resubcld 9999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
47 iccleub 11592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  L  e.  RR*  /\  M  e.  ( 0 [,] L
) )  ->  M  <_  L )
4830, 31, 10, 47syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  L )
493, 11subge0d 10154 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
5048, 49mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( L  -  M ) )
51 iccgelb 11593 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  K  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  0  <_  K )
5230, 36, 4, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
5346, 5, 50, 52mulge0d 10141 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( L  -  M )  x.  K ) )
543recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
5554, 17, 19subdird 10025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  x.  K
)  =  ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) ) )
5653, 55breqtrd 4477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) ) )
5713, 45, 56divge0d 11304 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) ) ) )
58 ttgcontlem1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  <_  ( M  /  K ) )
59 ttgcontlem1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
605, 52, 59ne0gt0d 9733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  K )
615, 60elrpd 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
623, 11, 61lemuldivd 11313 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  K )  <_  M  <->  L  <_  ( M  /  K ) ) )
6358, 62mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  x.  K
)  <_  M )
6417mulid1d 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
6563, 64breqtrrd 4479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  x.  K
)  <_  ( M  x.  1 ) )
666, 15, 12, 65lesub1dd 10180 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  <_  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )
6717, 18mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  e.  CC )
6817, 19mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  K
)  e.  CC )
6967, 68subcld 9942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
)  e.  CC )
7069mulid1d 9625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) )  x.  1 )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )
7166, 70breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  <_  ( (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) )  x.  1 ) )
7213, 14, 45ledivmuld 11317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) )  / 
( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
) )  <_  1  <->  ( ( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  <_  ( ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) )  x.  1 ) ) )
7371, 72mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  <_  1 )
74 1re 9607 . . . . 5  |-  1  e.  RR
757, 74elicc2i 11602 . . . 4  |-  ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  /\  ( ( ( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) ) )  <_ 
1 ) )
7628, 57, 73, 75syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
77 ttgcontlem1.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e. CVec )
7877cvsclm 21473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e. CMod )
79 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  R )
8079, 2sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  R )
81 0elunit 11650 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
82 iccss2 11607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  L  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 [,] L )  C_  (
0 [,] 1 ) )
8381, 2, 82sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] L
)  C_  ( 0 [,] 1 ) )
8483, 79sstrd 3519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] L
)  C_  R )
8584, 10sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  R )
86 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  H )  =  (Scalar `  H )
87 ttgbtwnid.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  H ) )
8886, 87clmsubcl 21451 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e. CMod  /\  L  e.  R  /\  M  e.  R )  ->  ( L  -  M )  e.  R )
8978, 80, 85, 88syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  -  M
)  e.  R )
9086, 87cvsdivcl 21476 . . . . . 6  |-  ( ( H  e. CVec  /\  (
( L  -  M
)  e.  R  /\  M  e.  R  /\  M  =/=  0 ) )  ->  ( ( L  -  M )  /  M )  e.  R
)
9177, 89, 85, 22, 90syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  /  M
)  e.  R )
9279, 4sseldd 3510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  R )
93 1elunit 11651 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
9493a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9579, 94sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  R )
9686, 87clmsubcl 21451 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e. CMod  /\  1  e.  R  /\  K  e.  R )  ->  (
1  -  K )  e.  R )
9778, 95, 92, 96syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  R )
9886, 87cvsdivcl 21476 . . . . . 6  |-  ( ( H  e. CVec  /\  ( K  e.  R  /\  ( 1  -  K
)  e.  R  /\  ( 1  -  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( K  /  ( 1  -  K ) )  e.  R )
9977, 92, 97, 25, 98syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  /  (
1  -  K ) )  e.  R )
100 clmgrp 21434 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CMod  ->  H  e.  Grp )
10178, 100syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
102 ttgelitv.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
103 ttgelitv.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
104 ttgitvval.b . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  H
)
105 ttgitvval.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  H )
106104, 105grpsubcl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  Y  e.  P  /\  X  e.  P )  ->  ( Y  .-  X
)  e.  P )
107101, 102, 103, 106syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  X
)  e.  P )
108 ttgitvval.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  H )
109104, 86, 108, 87clmvsass 21453 . . . . 5  |-  ( ( H  e. CMod  /\  (
( ( L  -  M )  /  M
)  e.  R  /\  ( K  /  (
1  -  K ) )  e.  R  /\  ( Y  .-  X )  e.  P ) )  ->  ( ( ( ( L  -  M
)  /  M )  x.  ( K  / 
( 1  -  K
) ) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( ( L  -  M
)  /  M ) 
.x.  ( ( K  /  ( 1  -  K ) )  .x.  ( Y  .-  X ) ) ) )
11078, 91, 99, 107, 109syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  -  M )  /  M )  x.  ( K  /  (
1  -  K ) ) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( ( L  -  M )  /  M )  .x.  ( ( K  / 
( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  X ) ) ) )
11146recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
112111, 17, 19, 21, 22, 25divmuldivd 10373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  -  M )  /  M )  x.  ( K  /  ( 1  -  K ) ) )  =  ( ( ( L  -  M )  x.  K )  / 
( M  x.  (
1  -  K ) ) ) )
11355, 20oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  -  M )  x.  K )  /  ( M  x.  ( 1  -  K ) ) )  =  ( ( ( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) ) ) )
114112, 113eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  -  M )  /  M )  x.  ( K  /  ( 1  -  K ) ) )  =  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) )  / 
( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
) ) )
115114oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L  -  M )  /  M )  x.  ( K  /  (
1  -  K ) ) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( ( ( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) ) )  .x.  ( Y  .-  X ) ) )
116 ttgcontlem1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
117104, 105grpsubcl 15989 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  X  e.  P  /\  A  e.  P )  ->  ( X  .-  A
)  e.  P )
118101, 103, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  A
)  e.  P )
119 ttgcontlem1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .-  A
)  =  ( K 
.x.  ( Y  .-  A ) ) )
120119oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  K )  .x.  ( X  .-  A ) )  =  ( ( 1  -  K )  .x.  ( K  .x.  ( Y 
.-  A ) ) ) )
12119, 21mulcomd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  x.  (
1  -  K ) )  =  ( ( 1  -  K )  x.  K ) )
122121oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  .x.  ( Y  .-  A ) ) )
123104, 105grpsubcl 15989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  Y  e.  P  /\  A  e.  P )  ->  ( Y  .-  A
)  e.  P )
124101, 102, 116, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  A
)  e.  P )
125104, 86, 108, 87clmvsass 21453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e. CMod  /\  ( K  e.  R  /\  ( 1  -  K
)  e.  R  /\  ( Y  .-  A )  e.  P ) )  ->  ( ( K  x.  ( 1  -  K ) )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( K 
.x.  ( ( 1  -  K )  .x.  ( Y  .-  A ) ) ) )
12678, 92, 97, 124, 125syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( K  .x.  ( ( 1  -  K )  .x.  ( Y  .-  A ) ) ) )
127104, 86, 108, 87clmvsass 21453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e. CMod  /\  (
( 1  -  K
)  e.  R  /\  K  e.  R  /\  ( Y  .-  A )  e.  P ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( 1  -  K ) 
.x.  ( K  .x.  ( Y  .-  A ) ) ) )
12878, 97, 92, 124, 127syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( 1  -  K )  .x.  ( K  .x.  ( Y 
.-  A ) ) ) )
129122, 126, 1283eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  .x.  (
( 1  -  K
)  .x.  ( Y  .-  A ) ) )  =  ( ( 1  -  K )  .x.  ( K  .x.  ( Y 
.-  A ) ) ) )
130 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  (Scalar `  H )
)  =  ( -g `  (Scalar `  H )
)
131 clmlmod 21433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e. CMod  ->  H  e.  LMod )
13278, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  e.  LMod )
133104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 95, 92, 124lmodsubdir 17437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1 (
-g `  (Scalar `  H
) ) K ) 
.x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( 1  .x.  ( Y  .-  A
) )  .-  ( K  .x.  ( Y  .-  A ) ) ) )
13486, 87clmsub 21446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e. CMod  /\  1  e.  R  /\  K  e.  R )  ->  (
1  -  K )  =  ( 1 (
-g `  (Scalar `  H
) ) K ) )
13578, 95, 92, 134syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  =  ( 1 ( -g `  (Scalar `  H ) ) K ) )
136135oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  K )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( 1 ( -g `  (Scalar `  H ) ) K )  .x.  ( Y 
.-  A ) ) )
137104, 108clmvs1 21455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  e. CMod  /\  ( Y  .-  A )  e.  P )  ->  (
1  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( Y  .-  A
) )
13878, 124, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( Y  .-  A ) )
139138eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  A
)  =  ( 1 
.x.  ( Y  .-  A ) ) )
140139, 119oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .-  A )  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( ( 1 
.x.  ( Y  .-  A ) )  .-  ( K  .x.  ( Y 
.-  A ) ) ) )
141133, 136, 1403eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  K )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( ( Y 
.-  A )  .-  ( X  .-  A ) ) )
142104, 105grpnnncan2 16006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( Y  e.  P  /\  X  e.  P  /\  A  e.  P
) )  ->  (
( Y  .-  A
)  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( Y  .-  X
) )
143101, 102, 103, 116, 142syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .-  A )  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( Y  .-  X ) )
144141, 143eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  K )  .x.  ( Y  .-  A ) )  =  ( Y  .-  X ) )
145144oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  .x.  (
( 1  -  K
)  .x.  ( Y  .-  A ) ) )  =  ( K  .x.  ( Y  .-  X ) ) )
146120, 129, 1453eqtr2rd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( 1  -  K )  .x.  ( X  .-  A ) ) )
147104, 108, 86, 87, 77, 92, 97, 107, 118, 59, 146cvsmuleqdivd 21477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  X
)  =  ( ( ( 1  -  K
)  /  K ) 
.x.  ( X  .-  A ) ) )
148104, 108, 86, 87, 77, 97, 92, 107, 118, 25, 59, 147cvsdiveqd 21478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  / 
( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( X  .-  A ) )
149148, 118eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  / 
( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  e.  P )
150 ttgcontlem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( A 
.+  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) ) )
151 ttgcontlem1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  P )
152104, 105grpsubcl 15989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  N  e.  P  /\  A  e.  P )  ->  ( N  .-  A
)  e.  P )
153101, 151, 116, 152syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  .-  A
)  e.  P )
154104, 86, 108, 87lmodvscl 17398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  LMod  /\  L  e.  R  /\  ( N  .-  A )  e.  P )  ->  ( L  .x.  ( N  .-  A ) )  e.  P )
155132, 80, 153, 154syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  .x.  ( N  .-  A ) )  e.  P )
156 ttgitvval.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  H )
157104, 156grpcl 15934 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  A  e.  P  /\  ( L  .x.  ( N 
.-  A ) )  e.  P )  -> 
( A  .+  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) )  e.  P )
158101, 116, 155, 157syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .+  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) )  e.  P )
159150, 158eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
160104, 105grpsubcl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  B  e.  P  /\  X  e.  P )  ->  ( B  .-  X
)  e.  P )
161101, 159, 103, 160syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  .-  X
)  e.  P )
162 ttgcontlem1.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  =/=  M )
16354, 17, 162subne0d 9951 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  -  M
)  =/=  0 )
164 ttgcontlem1.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .-  A
)  =  ( M 
.x.  ( N  .-  A ) ) )
165164oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  .x.  ( X  .-  A ) )  =  ( ( L  -  M )  .x.  ( M  .x.  ( N 
.-  A ) ) ) )
16617, 111mulcomd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( L  -  M )
)  =  ( ( L  -  M )  x.  M ) )
167166oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( L  -  M
) )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( ( L  -  M )  x.  M )  .x.  ( N  .-  A ) ) )
168104, 86, 108, 87clmvsass 21453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e. CMod  /\  ( M  e.  R  /\  ( L  -  M
)  e.  R  /\  ( N  .-  A )  e.  P ) )  ->  ( ( M  x.  ( L  -  M ) )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( M 
.x.  ( ( L  -  M )  .x.  ( N  .-  A ) ) ) )
16978, 85, 89, 153, 168syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( L  -  M
) )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( M  .x.  ( ( L  -  M )  .x.  ( N  .-  A ) ) ) )
170104, 86, 108, 87clmvsass 21453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e. CMod  /\  (
( L  -  M
)  e.  R  /\  M  e.  R  /\  ( N  .-  A )  e.  P ) )  ->  ( ( ( L  -  M )  x.  M )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( L  -  M ) 
.x.  ( M  .x.  ( N  .-  A ) ) ) )
17178, 89, 85, 153, 170syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  -  M )  x.  M )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( L  -  M )  .x.  ( M  .x.  ( N 
.-  A ) ) ) )
172167, 169, 1713eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  .x.  (
( L  -  M
)  .x.  ( N  .-  A ) ) )  =  ( ( L  -  M )  .x.  ( M  .x.  ( N 
.-  A ) ) ) )
173104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 80, 85, 153lmodsubdir 17437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L (
-g `  (Scalar `  H
) ) M ) 
.x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( L  .x.  ( N  .-  A ) )  .-  ( M 
.x.  ( N  .-  A ) ) ) )
17486, 87clmsub 21446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e. CMod  /\  L  e.  R  /\  M  e.  R )  ->  ( L  -  M )  =  ( L (
-g `  (Scalar `  H
) ) M ) )
17578, 80, 85, 174syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  -  M
)  =  ( L ( -g `  (Scalar `  H ) ) M ) )
176175oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( L ( -g `  (Scalar `  H ) ) M )  .x.  ( N 
.-  A ) ) )
177150oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  .-  A
)  =  ( ( A  .+  ( L 
.x.  ( N  .-  A ) ) ) 
.-  A ) )
178 lmodabl 17426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  LMod  ->  H  e. 
Abel )
179132, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Abel )
180104, 156, 105ablpncan2 16697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  e.  Abel  /\  A  e.  P  /\  ( L  .x.  ( N  .-  A ) )  e.  P )  ->  (
( A  .+  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) ) 
.-  A )  =  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) )
181179, 116, 155, 180syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .+  ( L  .x.  ( N 
.-  A ) ) )  .-  A )  =  ( L  .x.  ( N  .-  A ) ) )
182177, 181eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  .-  A
)  =  ( L 
.x.  ( N  .-  A ) ) )
183182, 164oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  .-  A )  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( ( L 
.x.  ( N  .-  A ) )  .-  ( M  .x.  ( N 
.-  A ) ) ) )
184173, 176, 1833eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( ( B 
.-  A )  .-  ( X  .-  A ) ) )
185104, 105grpnnncan2 16006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( B  e.  P  /\  X  e.  P  /\  A  e.  P
) )  ->  (
( B  .-  A
)  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( B  .-  X
) )
186101, 159, 103, 116, 185syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  .-  A )  .-  ( X  .-  A ) )  =  ( B  .-  X ) )
187184, 186eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  M )  .x.  ( N  .-  A ) )  =  ( B  .-  X ) )
188187oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  .x.  (
( L  -  M
)  .x.  ( N  .-  A ) ) )  =  ( M  .x.  ( B  .-  X ) ) )
189165, 172, 1883eqtr2rd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  .x.  ( B  .-  X ) )  =  ( ( L  -  M )  .x.  ( X  .-  A ) ) )
190104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 161, 118, 22, 189cvsmuleqdivd 21477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  X
)  =  ( ( ( L  -  M
)  /  M ) 
.x.  ( X  .-  A ) ) )
191104, 108, 86, 87, 77, 89, 85, 161, 118, 163, 22, 190cvsdiveqd 21478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
( L  -  M
) )  .x.  ( B  .-  X ) )  =  ( X  .-  A ) )
192148, 191eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  / 
( 1  -  K
) )  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( M  /  ( L  -  M ) )  .x.  ( B  .-  X ) ) )
193104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 149, 161, 22, 163, 192cvsdiveqd 21478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  -  M )  /  M )  .x.  (
( K  /  (
1  -  K ) )  .x.  ( Y 
.-  X ) ) )  =  ( B 
.-  X ) )
194110, 115, 1933eqtr3rd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .-  X
)  =  ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K )
)  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) ) 
.x.  ( Y  .-  X ) ) )
195 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) )  / 
( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
) )  ->  (
k  .x.  ( Y  .-  X ) )  =  ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) )  / 
( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
) )  .x.  ( Y  .-  X ) ) )
196195eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( k  =  ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K ) )  / 
( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K )
) )  ->  (
( B  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) )  <->  ( B  .-  X )  =  ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  .x.  ( Y 
.-  X ) ) ) )
197196rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( ( ( ( L  x.  K )  -  ( M  x.  K
) )  /  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( B  .-  X )  =  ( ( ( ( L  x.  K
)  -  ( M  x.  K ) )  /  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  K
) ) )  .x.  ( Y  .-  X ) ) )  ->  E. k  e.  ( 0 [,] 1
) ( B  .-  X )  =  ( k  .x.  ( Y 
.-  X ) ) )
19876, 194, 197syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 0 [,] 1 ) ( B  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) )
199 ttgval.n . . 3  |-  G  =  (toTG `  H )
200 ttgitvval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
201199, 200, 104, 105, 108, 103, 102, 77, 159ttgelitv 24018 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X I Y )  <->  E. k  e.  (
0 [,] 1 ) ( B  .-  X
)  =  ( k 
.x.  ( Y  .-  X ) ) ) )
202198, 201mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   RR+crp 11232   [,]cicc 11544   Basecbs 14506   +g cplusg 14571  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   Grpcgrp 15924   -gcsg 15926   Abelcabl 16670   LModclmod 17381  CModcclm 21428  CVecccvs 21470  Itvcitv 23696  toTGcttg 24008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-icc 11548  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-drng 17267  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lvec 17618  df-cnfld 18289  df-clm 21429  df-cvs 21471  df-itv 23698  df-lng 23699  df-ttg 24009
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