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Theorem tsrss 15414
Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrss  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )

Proof of Theorem tsrss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psss 15405 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
2 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
3 dmss 5060 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R )
4 ssralv 3437 . . . . . 6  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )
6 ssralv 3437 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x ) ) )
72, 3, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
87ralimi 2812 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
10 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
11 dmss 5060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  ( A  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  dom  ( A  X.  A
)
13 dmxpid 5080 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
1412, 13sseqtri 3409 . . . . . . . 8  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  A
1514sseli 3373 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  ->  x  e.  A )
1614sseli 3373 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
17 brinxp 4922 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
18 brinxp 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
1918ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
2017, 19orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2115, 16, 20syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2221ralbidva 2752 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
( A. y  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2322ralbiia 2768 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
249, 23sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
251, 24anim12i 566 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
/\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
26 eqid 2443 . . 3  |-  dom  R  =  dom  R
2726istsr2 15409 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel 
<->  ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
28 eqid 2443 . . 3  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
2928istsr2 15409 . 2  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  TosetRel 
<->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) ) )
3025, 27, 293imtr4i 266 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2736    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   dom cdm 4861   PosetRelcps 15389    TosetRel ctsr 15390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ps 15391  df-tsr 15392
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