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Theorem tsrss 15979
Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrss  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )

Proof of Theorem tsrss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psss 15970 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
2 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
3 dmss 5212 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R )
4 ssralv 3560 . . . . . 6  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )
6 ssralv 3560 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x ) ) )
72, 3, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
87ralimi 2850 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
10 inss2 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
11 dmss 5212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  ( A  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  dom  ( A  X.  A
)
13 dmxpid 5232 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
1412, 13sseqtri 3531 . . . . . . . 8  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  A
1514sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  ->  x  e.  A )
1614sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
17 brinxp 5071 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
18 brinxp 5071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
1918ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
2017, 19orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2115, 16, 20syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2221ralbidva 2893 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
( A. y  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2322ralbiia 2887 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
249, 23sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
251, 24anim12i 566 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
/\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
26 eqid 2457 . . 3  |-  dom  R  =  dom  R
2726istsr2 15974 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel 
<->  ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
28 eqid 2457 . . 3  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
2928istsr2 15974 . 2  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  TosetRel 
<->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) ) )
3025, 27, 293imtr4i 266 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1819   A.wral 2807    i^i cin 3470    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008   PosetRelcps 15954    TosetRel ctsr 15955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ps 15956  df-tsr 15957
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