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Theorem tsrss 16420
Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrss  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )

Proof of Theorem tsrss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psss 16411 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
2 inss1 3688 . . . . . 6  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
3 dmss 5054 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R )
4 ssralv 3531 . . . . . 6  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )
6 ssralv 3531 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x ) ) )
72, 3, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
87ralimi 2825 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
95, 8syl 17 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
10 inss2 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
11 dmss 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  ( A  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  dom  ( A  X.  A
)
13 dmxpid 5074 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
1412, 13sseqtri 3502 . . . . . . . 8  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  A
1514sseli 3466 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  ->  x  e.  A )
1614sseli 3466 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
17 brinxp 4917 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
18 brinxp 4917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
1918ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
2017, 19orbi12d 714 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2115, 16, 20syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2221ralbidva 2868 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
( A. y  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2322ralbiia 2862 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
249, 23sylib 199 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
251, 24anim12i 568 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
/\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
26 eqid 2429 . . 3  |-  dom  R  =  dom  R
2726istsr2 16415 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel 
<->  ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
28 eqid 2429 . . 3  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
2928istsr2 16415 . 2  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  TosetRel 
<->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) ) )
3025, 27, 293imtr4i 269 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782    i^i cin 3441    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   dom cdm 4854   PosetRelcps 16395    TosetRel ctsr 16396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ps 16397  df-tsr 16398
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