MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsrdir Structured version   Unicode version

Theorem tsrdir 15725
Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrdir  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )

Proof of Theorem tsrdir
StepHypRef Expression
1 tsrps 15708 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  PosetRel )
2 psrel 15690 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  Rel  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  Rel  A )
4 psref2 15691 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  =  (  _I  |`  U. U. A
) )
5 inss1 3718 . . . . 5  |-  ( A  i^i  `' A ) 
C_  A
64, 5syl6eqssr 3555 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
83, 7jca 532 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
) )
9 pstr2 15692 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
11 psdmrn 15694 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
121, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
1312simpld 459 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  dom  A  =  U. U. A )
1413, 13xpeq12d 5024 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  =  ( U. U. A  X.  U. U. A ) )
15 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  dom  A  =  dom  A
1615istsr 15704 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel 
<->  ( A  e.  PosetRel  /\  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) ) )
1716simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) )
18 relcoi2 5535 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A
)  o.  A )  =  A )
193, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  =  A )
20 cnvresid 5658 . . . . . . . . 9  |-  `' (  _I  |`  U. U. A
)  =  (  _I  |`  U. U. A )
21 cnvss 5175 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  A  ->  `' (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
227, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' (  _I  |`  U. U. A ) 
C_  `' A )
2320, 22syl5eqssr 3549 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
24 coss1 5158 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  `' A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
2619, 25eqsstr3d 3539 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  C_  ( `' A  o.  A
) )
27 relcnv 5374 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' A
28 relcoi1 5536 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A
30 relcnvfld 5538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
A  ->  U. U. A  =  U. U. `' A
)
313, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  U. U. A  = 
U. U. `' A )
3231reseq2d 5273 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  =  (  _I  |`  U. U. `' A ) )
3332, 7eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A
)
34 coss2 5159 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3629, 35syl5eqssr 3549 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' A  C_  ( `' A  o.  A
) )
3726, 36unssd 3680 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  `' A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3817, 37sstrd 3514 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3914, 38eqsstr3d 3539 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
4010, 39jca 532 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
) )
41 eqid 2467 . . 3  |-  U. U. A  =  U. U. A
4241isdir 15719 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)  /\  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A )  C_  ( `' A  o.  A
) ) ) ) )
438, 40, 42mpbir2and 920 1  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245    _I cid 4790    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   PosetRelcps 15685    TosetRel ctsr 15686   DirRelcdir 15715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-dir 15717
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator