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Theorem tsrdir 16435
Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrdir  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )

Proof of Theorem tsrdir
StepHypRef Expression
1 tsrps 16418 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  PosetRel )
2 psrel 16400 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  Rel  A )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  Rel  A )
4 psref2 16401 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  =  (  _I  |`  U. U. A
) )
5 inss1 3688 . . . . 5  |-  ( A  i^i  `' A ) 
C_  A
64, 5syl6eqssr 3521 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
71, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
83, 7jca 534 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
) )
9 pstr2 16402 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
101, 9syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
11 psdmrn 16404 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
121, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
1312simpld 460 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  dom  A  =  U. U. A )
1413sqxpeqd 4880 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  =  ( U. U. A  X.  U. U. A ) )
15 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  dom  A  =  dom  A
1615istsr 16414 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel 
<->  ( A  e.  PosetRel  /\  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) ) )
1716simprbi 465 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) )
18 relcoi2 5383 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A
)  o.  A )  =  A )
193, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  =  A )
20 cnvresid 5671 . . . . . . . . 9  |-  `' (  _I  |`  U. U. A
)  =  (  _I  |`  U. U. A )
21 cnvss 5027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  A  ->  `' (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
227, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' (  _I  |`  U. U. A ) 
C_  `' A )
2320, 22syl5eqssr 3515 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
24 coss1 5010 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  `' A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
2619, 25eqsstr3d 3505 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  C_  ( `' A  o.  A
) )
27 relcnv 5227 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' A
28 relcoi1 5384 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A
30 relcnvfld 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
A  ->  U. U. A  =  U. U. `' A
)
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  U. U. A  = 
U. U. `' A )
3231reseq2d 5125 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  =  (  _I  |`  U. U. `' A ) )
3332, 7eqsstr3d 3505 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A
)
34 coss2 5011 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3533, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3629, 35syl5eqssr 3515 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' A  C_  ( `' A  o.  A
) )
3726, 36unssd 3648 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  `' A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3817, 37sstrd 3480 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3914, 38eqsstr3d 3505 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
4010, 39jca 534 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
) )
41 eqid 2429 . . 3  |-  U. U. A  =  U. U. A
4241isdir 16429 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)  /\  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A )  C_  ( `' A  o.  A
) ) ) ) )
438, 40, 42mpbir2and 930 1  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   U.cuni 4222    _I cid 4764    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   Rel wrel 4859   PosetRelcps 16395    TosetRel ctsr 16396   DirRelcdir 16425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-fun 5603  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-dir 16427
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