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Theorem tsrdir 15429
Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrdir  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )

Proof of Theorem tsrdir
StepHypRef Expression
1 tsrps 15412 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  PosetRel )
2 psrel 15394 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  Rel  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  Rel  A )
4 psref2 15395 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  =  (  _I  |`  U. U. A
) )
5 inss1 3591 . . . . 5  |-  ( A  i^i  `' A ) 
C_  A
64, 5syl6eqssr 3428 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
83, 7jca 532 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
) )
9 pstr2 15396 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
11 psdmrn 15398 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
121, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
1312simpld 459 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  dom  A  =  U. U. A )
1413, 13xpeq12d 4886 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  =  ( U. U. A  X.  U. U. A ) )
15 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  dom  A  =  dom  A
1615istsr 15408 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel 
<->  ( A  e.  PosetRel  /\  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) ) )
1716simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) )
18 relcoi2 5386 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A
)  o.  A )  =  A )
193, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  =  A )
20 cnvresid 5509 . . . . . . . . 9  |-  `' (  _I  |`  U. U. A
)  =  (  _I  |`  U. U. A )
21 cnvss 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  A  ->  `' (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
227, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' (  _I  |`  U. U. A ) 
C_  `' A )
2320, 22syl5eqssr 3422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
24 coss1 5016 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  `' A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
2619, 25eqsstr3d 3412 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  C_  ( `' A  o.  A
) )
27 relcnv 5227 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' A
28 relcoi1 5387 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A
30 relcnvfld 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
A  ->  U. U. A  =  U. U. `' A
)
313, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  U. U. A  = 
U. U. `' A )
3231reseq2d 5131 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  =  (  _I  |`  U. U. `' A ) )
3332, 7eqsstr3d 3412 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A
)
34 coss2 5017 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3629, 35syl5eqssr 3422 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' A  C_  ( `' A  o.  A
) )
3726, 36unssd 3553 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  `' A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3817, 37sstrd 3387 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3914, 38eqsstr3d 3412 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
4010, 39jca 532 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
) )
41 eqid 2443 . . 3  |-  U. U. A  =  U. U. A
4241isdir 15423 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)  /\  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A )  C_  ( `' A  o.  A
) ) ) ) )
438, 40, 42mpbir2and 913 1  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   U.cuni 4112    _I cid 4652    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863    o. ccom 4865   Rel wrel 4866   PosetRelcps 15389    TosetRel ctsr 15390   DirRelcdir 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-fun 5441  df-ps 15391  df-tsr 15392  df-dir 15421
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