Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Unicode version

Theorem tsmsxplem2 20524
 Description: Lemma for tsmsxp 20525. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b
tsmsxp.g CMnd
tsmsxp.2
tsmsxp.a
tsmsxp.c
tsmsxp.f
tsmsxp.h
tsmsxp.1 tsums
tsmsxp.j
tsmsxp.z
tsmsxp.p
tsmsxp.m
tsmsxp.l
tsmsxp.3
tsmsxp.k
tsmsxp.4
tsmsxp.n
tsmsxp.s
tsmsxp.x g
tsmsxp.5 g
tsmsxp.6 g
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5
2 tgpgrp 20445 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 tsmsxp.g . . . 4 CMnd
5 isabl 16675 . . . 4 CMnd
63, 4, 5sylanbrc 664 . . 3
7 tsmsxp.b . . . 4
8 tsmsxp.z . . . 4
9 tsmsxp.k . . . . . 6
10 elfpw 7834 . . . . . . 7
1110simprbi 464 . . . . . 6
129, 11syl 16 . . . . 5
13 tsmsxp.n . . . . . 6
14 elfpw 7834 . . . . . . 7
1514simprbi 464 . . . . . 6
1613, 15syl 16 . . . . 5
17 xpfi 7803 . . . . 5
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
19 tsmsxp.f . . . . 5
2010simplbi 460 . . . . . . 7
219, 20syl 16 . . . . . 6
2214simplbi 460 . . . . . . 7
2313, 22syl 16 . . . . . 6
24 xpss12 5114 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5
26 fssres 5757 . . . . 5
2719, 25, 26syl2anc 661 . . . 4
28 tsmsxp.3 . . . . 5
2927, 18, 28fdmfifsupp 7851 . . . 4 finSupp
307, 8, 4, 18, 27, 29gsumcl 16796 . . 3 g
31 tsmsxp.h . . . . 5
32 fssres 5757 . . . . 5
3331, 21, 32syl2anc 661 . . . 4
3433, 12, 28fdmfifsupp 7851 . . . 4 finSupp
357, 8, 4, 12, 33, 34gsumcl 16796 . . 3 g
36 tsmsxp.p . . . 4
37 tsmsxp.m . . . 4
387, 36, 37ablpncan3 16700 . . 3 g g g g g g
396, 30, 35, 38syl12anc 1226 . 2 g g g g
40 tsmsxp.5 . . 3 g
414adantr 465 . . . . . . . 8 CMnd
42 snfi 7608 . . . . . . . . 9
4316adantr 465 . . . . . . . . 9
44 xpfi 7803 . . . . . . . . 9
4542, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . 8
4619adantr 465 . . . . . . . . 9
4721sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
4847snssd 4178 . . . . . . . . . 10
4923adantr 465 . . . . . . . . . 10
50 xpss12 5114 . . . . . . . . . 10
5148, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9
52 fssres 5757 . . . . . . . . 9
5346, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . 8
54 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11
558, 54eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10
5655a1i 11 . . . . . . . . 9
5753, 45, 56fdmfifsupp 7851 . . . . . . . 8 finSupp
587, 8, 41, 45, 53, 57gsumcl 16796 . . . . . . 7 g
59 eqid 2467 . . . . . . 7 g g
6058, 59fmptd 6056 . . . . . 6 g
61 ovex 6320 . . . . . . . 8 g
6261a1i 11 . . . . . . 7 g
6359, 12, 62, 28fsuppmptdm 7852 . . . . . 6 g finSupp
647, 8, 37, 6, 12, 33, 60, 34, 63gsumsub 16847 . . . . 5 g g g g g
65 fvex 5882 . . . . . . . 8
6665a1i 11 . . . . . . 7
6731, 21feqresmpt 5928 . . . . . . 7
68 eqidd 2468 . . . . . . 7 g g
6912, 66, 62, 67, 68offval2 6551 . . . . . 6 g g
7069oveq2d 6311 . . . . 5 g g g g
71 cmnmnd 16686 . . . . . . . . . . . 12 CMnd
7241, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11
73 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
7446adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7547adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7649sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . 14
7774, 75, 76fovrnd 6442 . . . . . . . . . . . . 13
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12
80 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . 14
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8278, 43, 81, 56fsuppmptdm 7852 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
837, 8, 41, 43, 79, 82gsumcl 16796 . . . . . . . . . . 11 g
84 elsn 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 ovres 6437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8684, 85sylanbr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
8986, 88eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14
9089mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . . . 13
9190oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12 g g
927, 91gsumsn 16854 . . . . . . . . . . 11 g g g g
9372, 73, 83, 92syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 g g g
9442a1i 11 . . . . . . . . . . 11
957, 8, 41, 94, 43, 53, 57gsumxp 16877 . . . . . . . . . 10 g g g
96 ovres 6437 . . . . . . . . . . . . 13
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . 12
9897mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . 11
9998oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10 g g
10093, 95, 993eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9 g g
101100mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8 g g
102101oveq2d 6311 . . . . . . 7 g g g g
1037, 8, 4, 12, 16, 27, 29gsumxp 16877 . . . . . . 7 g g g
104102, 103eqtr4d 2511 . . . . . 6 g g g
105104oveq2d 6311 . . . . 5 g g g g g
10664, 70, 1053eqtr3d 2516 . . . 4 g g g g
107 tsmsxp.x . . . . . . . 8 g
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11
109 sneq 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
110109xpeq1d 5028 . . . . . . . . . . . . 13
111110reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . 12
112111oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11 g g
113108, 112oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10 g g
114113eleq1d 2536 . . . . . . . . 9 g g
115114rspccva 3218 . . . . . . . 8 g g
116107, 115sylan 471 . . . . . . 7 g
117 eqid 2467 . . . . . . 7 g g
118116, 117fmptd 6056 . . . . . 6 g
119 tsmsxp.l . . . . . . 7
120 elmapg 7445 . . . . . . 7 g g
121119, 12, 120syl2anc 661 . . . . . 6 g g
122118, 121mpbird 232 . . . . 5 g
123 tsmsxp.6 . . . . 5 g
124 oveq2 6303 . . . . . . 7 g g g g
125124eleq1d 2536 . . . . . 6 g g g g
126125rspcv 3215 . . . . 5 g g g g
127122, 123, 126sylc 60 . . . 4 g g
128106, 127eqeltrrd 2556 . . 3 g g
129 tsmsxp.4 . . 3
130 oveq1 6302 . . . . 5 g g
131130eleq1d 2536 . . . 4 g g
132 oveq2 6303 . . . . 5 g g g g g g
133132eleq1d 2536 . . . 4 g g g g g g
134131, 133rspc2va 3229 . . 3 g g g g g g
13540, 128, 129, 134syl21anc 1227 . 2 g g g
13639, 135eqeltrrd 2556 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  cpw 4016  csn 4033   cmpt 4511   cxp 5003   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cof 6533   cmap 7432  cfn 7528  cbs 14507   cplusg 14572  ctopn 14694  c0g 14712   g cgsu 14713  cmnd 15793  cgrp 15925  csg 15927  CMndccmn 16671  cabl 16672  ctgp 20438   tsums ctsu 20492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-tgp 20440 This theorem is referenced by:  tsmsxp  20525
 Copyright terms: Public domain W3C validator