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Theorem tsmsxplem2 20782
Description: Lemma for tsmsxp 20783. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsxp.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsxp.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmsxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
tsmsxp.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
tsmsxp.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmsxp.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmsxp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsxp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmsxp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmsxp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
tsmsxp.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
tsmsxp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
tsmsxp.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
tsmsxp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
tsmsxp.s  |-  ( ph  ->  D  C_  ( K  X.  N ) )
tsmsxp.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
tsmsxp.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
tsmsxp.6  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Distinct variable groups:    g, k,  .0.    c, d, g, j, k, x, G    B, g, k    D, g, j, k, x    g, L, j, x    A, g, j, k    K, c, d, g, j, k, x    S, c    H, d, g, j, k, x    N, c, d, g, x    U, c, d    .- , d,
g, j, x    C, g, j, k    T, c, d, g    .+ , c,
d, g    F, c,
d, g, j, k, x    ph, g, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c, d)    A( x, c, d)    B( x, j, c, d)    C( x, c, d)    D( c, d)    .+ ( x, j, k)    S( x, g, j, k, d)    T( x, j, k)    U( x, g, j, k)    H( c)    J( x, g, j, k, c, d)    L( k, c, d)    .- ( k, c)    N( j, k)    V( x, g, j, k, c, d)    W( x, g, j, k, c, d)    .0. ( x, j, c, d)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgpgrp 20703 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 tsmsxp.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 isabl 16929 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
7 tsmsxp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 tsmsxp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsxp.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elfpw 7840 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( K  C_  A  /\  K  e. 
Fin ) )
1110simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  e.  Fin )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
13 tsmsxp.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
14 elfpw 7840 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( N  C_  C  /\  N  e. 
Fin ) )
1514simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  e.  Fin )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
17 xpfi 7809 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
19 tsmsxp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
2010simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  C_  A )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  A )
2214simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  C_  C )
2313, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  C_  C )
24 xpss12 5117 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  A  /\  N  C_  C )  -> 
( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2521, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2619, 25fssresd 5758 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) : ( K  X.  N ) --> B )
27 tsmsxp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
2826, 18, 27fdmfifsupp 7857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 17050 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B )
30 tsmsxp.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
3130, 21fssresd 5758 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) : K --> B )
3231, 12, 27fdmfifsupp 7857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) finSupp  .0.  )
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 17050 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B )
34 tsmsxp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
35 tsmsxp.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
367, 34, 35ablpncan3 16954 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B  /\  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B ) )  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
376, 29, 33, 36syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
38 tsmsxp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
394adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e. CMnd )
40 snfi 7615 . . . . . . . . 9  |-  { y }  e.  Fin
4116adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  e.  Fin )
42 xpfi 7809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4340, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4419adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
4521sselda 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  A )
4645snssd 4177 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  C_  A )
4723adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  C_  C )
48 xpss12 5117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  C_  A  /\  N  C_  C
)  ->  ( {
y }  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )
5044, 49fssresd 5758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N
) --> B )
51 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
528, 51eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  .0.  e.  _V )
5450, 43, 53fdmfifsupp 7857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 17050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  B )
56 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
5755, 56fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) : K --> B )
58 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) )  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  _V )
6056, 12, 59, 27fsuppmptdm 7858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) finSupp  .0.  )
617, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 60gsumsub 17101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
62 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 y )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( H `  y )  e.  _V )
6430, 21feqresmpt 5927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K )  =  ( y  e.  K  |->  ( H `  y ) ) )
65 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) ) )
6612, 63, 59, 64, 65offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )
6766oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
68 cmnmnd 16940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
6939, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e.  Mnd )
70 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  K )
7144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
7245adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  y  e.  A )
7347sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  z  e.  C )
7471, 72, 73fovrnd 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  B )
75 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )
7674, 75fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) : N --> B )
77 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z )  e. 
_V
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  _V )
7975, 41, 78, 53fsuppmptdm 7858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) finSupp  .0.  )
807, 8, 39, 41, 76, 79gsumcl 17050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )
81 elsn 4046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { y }  <-> 
w  =  y )
82 ovres 6441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  { y }  /\  z  e.  N )  ->  (
w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
8381, 82sylanbr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
84 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w F z )  =  ( y F z ) )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w F z )  =  ( y F z ) )
8683, 85eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( y F z ) )
8786mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
897, 88gsumsn 17108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  K  /\  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9069, 70, 80, 89syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  e.  Fin )
927, 8, 39, 91, 41, 50, 54gsumxp 17131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( w  e.  { y } 
|->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) ) )
93 ovres 6441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  N )  ->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9493adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9594mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
9695oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9790, 92, 963eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N ) ) z ) ) ) )
9897mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) )
9998oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
1007, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 17131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
10199, 100eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )
102101oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
10361, 67, 1023eqtr3d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
104 tsmsxp.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
105 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
106 sneq 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
107106xpeq1d 5031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( { x }  X.  N )  =  ( { y }  X.  N ) )
108107reseq2d 5283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )
109108oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
110105, 109oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
x }  X.  N
) ) ) )  =  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
111110eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L ) )
112111rspccva 3209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  /\  y  e.  K )  ->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
113104, 112sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) )  e.  L )
114 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
115113, 114fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L )
116 tsmsxp.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
117116, 9elmapd 7452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
118115, 117mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K ) )
119 tsmsxp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
120 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  g )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
121120eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  g )  e.  T  <->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
122121rspcv 3206 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  -> 
( A. g  e.  ( L  ^m  K
) ( G  gsumg  g )  e.  T  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
123118, 119, 122sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T )
124103, 123eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)
125 tsmsxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
126 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( c  .+  d
)  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d ) )
127126eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( ( c  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  e.  U ) )
128 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  =  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) ) )
129128eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U ) )
130127, 129rspc2va 3220 . . 3  |-  ( ( ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  e.  S  /\  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)  /\  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d )  e.  U
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13138, 124, 125, 130syl21anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13237, 131eqeltrrd 2546 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   TopOpenctopn 14839   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182  CMndccmn 16925   Abelcabl 16926   TopGrpctgp 20696   tsums ctsu 20750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-tgp 20698
This theorem is referenced by:  tsmsxp  20783
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