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Theorem tsmsxplem2 21154
Description: Lemma for tsmsxp 21155. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsxp.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsxp.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmsxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
tsmsxp.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
tsmsxp.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmsxp.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmsxp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsxp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmsxp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmsxp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
tsmsxp.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
tsmsxp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
tsmsxp.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
tsmsxp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
tsmsxp.s  |-  ( ph  ->  D  C_  ( K  X.  N ) )
tsmsxp.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
tsmsxp.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
tsmsxp.6  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Distinct variable groups:    g, k,  .0.    c, d, g, j, k, x, G    B, g, k    D, g, j, k, x    g, L, j, x    A, g, j, k    K, c, d, g, j, k, x    S, c    H, d, g, j, k, x    N, c, d, g, x    U, c, d    .- , d,
g, j, x    C, g, j, k    T, c, d, g    .+ , c,
d, g    F, c,
d, g, j, k, x    ph, g, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c, d)    A( x, c, d)    B( x, j, c, d)    C( x, c, d)    D( c, d)    .+ ( x, j, k)    S( x, g, j, k, d)    T( x, j, k)    U( x, g, j, k)    H( c)    J( x, g, j, k, c, d)    L( k, c, d)    .- ( k, c)    N( j, k)    V( x, g, j, k, c, d)    W( x, g, j, k, c, d)    .0. ( x, j, c, d)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgpgrp 21079 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 tsmsxp.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 isabl 17421 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
63, 4, 5sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
7 tsmsxp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 tsmsxp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsxp.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elfpw 7878 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( K  C_  A  /\  K  e. 
Fin ) )
1110simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  e.  Fin )
129, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
13 tsmsxp.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
14 elfpw 7878 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( N  C_  C  /\  N  e. 
Fin ) )
1514simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  e.  Fin )
1613, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
17 xpfi 7844 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
1812, 16, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
19 tsmsxp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
2010simplbi 461 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  C_  A )
219, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  A )
2214simplbi 461 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  C_  C )
2313, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  C_  C )
24 xpss12 4955 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  A  /\  N  C_  C )  -> 
( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2521, 23, 24syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2619, 25fssresd 5763 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) : ( K  X.  N ) --> B )
27 tsmsxp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
2826, 18, 27fdmfifsupp 7895 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 17536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B )
30 tsmsxp.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
3130, 21fssresd 5763 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) : K --> B )
3231, 12, 27fdmfifsupp 7895 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) finSupp  .0.  )
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 17536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B )
34 tsmsxp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
35 tsmsxp.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
367, 34, 35ablpncan3 17446 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B  /\  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B ) )  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
376, 29, 33, 36syl12anc 1262 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
38 tsmsxp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
394adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e. CMnd )
40 snfi 7653 . . . . . . . . 9  |-  { y }  e.  Fin
4116adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  e.  Fin )
42 xpfi 7844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4340, 41, 42sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4419adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
4521sselda 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  A )
4645snssd 4142 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  C_  A )
4723adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  C_  C )
48 xpss12 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  C_  A  /\  N  C_  C
)  ->  ( {
y }  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
4946, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )
5044, 49fssresd 5763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N
) --> B )
51 fvex 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
528, 51eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  .0.  e.  _V )
5450, 43, 53fdmfifsupp 7895 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 17536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  B )
56 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
5755, 56fmptd 6057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) : K --> B )
58 ovex 6329 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) )  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  _V )
6056, 12, 59, 27fsuppmptdm 7896 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) finSupp  .0.  )
617, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 60gsumsub 17568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
62 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 y )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( H `  y )  e.  _V )
6430, 21feqresmpt 5931 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K )  =  ( y  e.  K  |->  ( H `  y ) ) )
65 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) ) )
6612, 63, 59, 64, 65offval2 6558 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )
6766oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
68 cmnmnd 17432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
6939, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e.  Mnd )
70 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  K )
7144adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
7245adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  y  e.  A )
7347sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  z  e.  C )
7471, 72, 73fovrnd 6451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  B )
75 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )
7674, 75fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) : N --> B )
77 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z )  e. 
_V
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  _V )
7975, 41, 78, 53fsuppmptdm 7896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) finSupp  .0.  )
807, 8, 39, 41, 76, 79gsumcl 17536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )
81 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { y }  <-> 
w  =  y )
82 ovres 6446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  { y }  /\  z  e.  N )  ->  (
w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
8381, 82sylanbr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
84 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w F z )  =  ( y F z ) )
8584adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w F z )  =  ( y F z ) )
8683, 85eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( y F z ) )
8786mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
8887oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
897, 88gsumsn 17574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  K  /\  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9069, 70, 80, 89syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  e.  Fin )
927, 8, 39, 91, 41, 50, 54gsumxp 17595 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( w  e.  { y } 
|->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) ) )
93 ovres 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  N )  ->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9493adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9594mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
9695oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9790, 92, 963eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N ) ) z ) ) ) )
9897mpteq2dva 4507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) )
9998oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
1007, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 17595 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
10199, 100eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )
102101oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
10361, 67, 1023eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
104 tsmsxp.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
105 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
106 sneq 4006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
107106xpeq1d 4872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( { x }  X.  N )  =  ( { y }  X.  N ) )
108107reseq2d 5120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )
109108oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
110105, 109oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
x }  X.  N
) ) ) )  =  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
111110eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L ) )
112111rspccva 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  /\  y  e.  K )  ->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
113104, 112sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) )  e.  L )
114 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
115113, 114fmptd 6057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L )
116 tsmsxp.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
117116, 9elmapd 7490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
118115, 117mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K ) )
119 tsmsxp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
120 oveq2 6309 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  g )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
121120eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  g )  e.  T  <->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
122121rspcv 3178 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  -> 
( A. g  e.  ( L  ^m  K
) ( G  gsumg  g )  e.  T  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
123118, 119, 122sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T )
124103, 123eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)
125 tsmsxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
126 oveq1 6308 . . . . 5  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( c  .+  d
)  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d ) )
127126eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( ( c  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  e.  U ) )
128 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  =  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) ) )
129128eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U ) )
130127, 129rspc2va 3192 . . 3  |-  ( ( ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  e.  S  /\  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)  /\  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d )  e.  U
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13138, 124, 125, 130syl21anc 1263 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13237, 131eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   TopOpenctopn 15307   0gc0g 15325    gsumg cgsu 15326   Mndcmnd 16522   Grpcgrp 16656   -gcsg 16658  CMndccmn 17417   Abelcabl 17418   TopGrpctgp 21072   tsums ctsu 21126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-mhm 16569  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-ghm 16868  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-tgp 21074
This theorem is referenced by:  tsmsxp  21155
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