Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Unicode version

Theorem tsmsxplem2 21154
 Description: Lemma for tsmsxp 21155. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b
tsmsxp.g CMnd
tsmsxp.2
tsmsxp.a
tsmsxp.c
tsmsxp.f
tsmsxp.h
tsmsxp.1 tsums
tsmsxp.j
tsmsxp.z
tsmsxp.p
tsmsxp.m
tsmsxp.l
tsmsxp.3
tsmsxp.k
tsmsxp.4
tsmsxp.n
tsmsxp.s
tsmsxp.x g
tsmsxp.5 g
tsmsxp.6 g
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5
2 tgpgrp 21079 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 tsmsxp.g . . . 4 CMnd
5 isabl 17421 . . . 4 CMnd
63, 4, 5sylanbrc 668 . . 3
7 tsmsxp.b . . . 4
8 tsmsxp.z . . . 4
9 tsmsxp.k . . . . . 6
10 elfpw 7878 . . . . . . 7
1110simprbi 465 . . . . . 6
129, 11syl 17 . . . . 5
13 tsmsxp.n . . . . . 6
14 elfpw 7878 . . . . . . 7
1514simprbi 465 . . . . . 6
1613, 15syl 17 . . . . 5
17 xpfi 7844 . . . . 5
1812, 16, 17syl2anc 665 . . . 4
19 tsmsxp.f . . . . 5
2010simplbi 461 . . . . . . 7
219, 20syl 17 . . . . . 6
2214simplbi 461 . . . . . . 7
2313, 22syl 17 . . . . . 6
24 xpss12 4955 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 665 . . . . 5
2619, 25fssresd 5763 . . . 4
27 tsmsxp.3 . . . . 5
2826, 18, 27fdmfifsupp 7895 . . . 4 finSupp
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 17536 . . 3 g
30 tsmsxp.h . . . . 5
3130, 21fssresd 5763 . . . 4
3231, 12, 27fdmfifsupp 7895 . . . 4 finSupp
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 17536 . . 3 g
34 tsmsxp.p . . . 4
35 tsmsxp.m . . . 4
367, 34, 35ablpncan3 17446 . . 3 g g g g g g
376, 29, 33, 36syl12anc 1262 . 2 g g g g
38 tsmsxp.5 . . 3 g
394adantr 466 . . . . . . . 8 CMnd
40 snfi 7653 . . . . . . . . 9
4116adantr 466 . . . . . . . . 9
42 xpfi 7844 . . . . . . . . 9
4340, 41, 42sylancr 667 . . . . . . . 8
4419adantr 466 . . . . . . . . 9
4521sselda 3464 . . . . . . . . . . 11
4645snssd 4142 . . . . . . . . . 10
4723adantr 466 . . . . . . . . . 10
48 xpss12 4955 . . . . . . . . . 10
4946, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . . 9
5044, 49fssresd 5763 . . . . . . . 8
51 fvex 5887 . . . . . . . . . . 11
528, 51eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10
5352a1i 11 . . . . . . . . 9
5450, 43, 53fdmfifsupp 7895 . . . . . . . 8 finSupp
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 17536 . . . . . . 7 g
56 eqid 2422 . . . . . . 7 g g
5755, 56fmptd 6057 . . . . . 6 g
58 ovex 6329 . . . . . . . 8 g
5958a1i 11 . . . . . . 7 g
6056, 12, 59, 27fsuppmptdm 7896 . . . . . 6 g finSupp
617, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 60gsumsub 17568 . . . . 5 g g g g g
62 fvex 5887 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7
6430, 21feqresmpt 5931 . . . . . . 7
65 eqidd 2423 . . . . . . 7 g g
6612, 63, 59, 64, 65offval2 6558 . . . . . 6 g g
6766oveq2d 6317 . . . . 5 g g g g
68 cmnmnd 17432 . . . . . . . . . . . 12 CMnd
6939, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11
70 simpr 462 . . . . . . . . . . 11
7144adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7245adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7347sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14
7471, 72, 73fovrnd 6451 . . . . . . . . . . . . 13
75 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12
77 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . 14
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7975, 41, 78, 53fsuppmptdm 7896 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
807, 8, 39, 41, 76, 79gsumcl 17536 . . . . . . . . . . 11 g
81 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 ovres 6446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8381, 82sylanbr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14
8786mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . 13
8887oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12 g g
897, 88gsumsn 17574 . . . . . . . . . . 11 g g g g
9069, 70, 80, 89syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10 g g g
9140a1i 11 . . . . . . . . . . 11
927, 8, 39, 91, 41, 50, 54gsumxp 17595 . . . . . . . . . 10 g g g
93 ovres 6446 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantll 718 . . . . . . . . . . . 12
9594mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . 11
9695oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10 g g
9790, 92, 963eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9 g g
9897mpteq2dva 4507 . . . . . . . 8 g g
9998oveq2d 6317 . . . . . . 7 g g g g
1007, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 17595 . . . . . . 7 g g g
10199, 100eqtr4d 2466 . . . . . 6 g g g
102101oveq2d 6317 . . . . 5 g g g g g
10361, 67, 1023eqtr3d 2471 . . . 4 g g g g
104 tsmsxp.x . . . . . . . 8 g
105 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11
106 sneq 4006 . . . . . . . . . . . . . 14
107106xpeq1d 4872 . . . . . . . . . . . . 13
108107reseq2d 5120 . . . . . . . . . . . 12
109108oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11 g g
110105, 109oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10 g g
111110eleq1d 2491 . . . . . . . . 9 g g
112111rspccva 3181 . . . . . . . 8 g g
113104, 112sylan 473 . . . . . . 7 g
114 eqid 2422 . . . . . . 7 g g
115113, 114fmptd 6057 . . . . . 6 g
116 tsmsxp.l . . . . . . 7
117116, 9elmapd 7490 . . . . . 6 g g
118115, 117mpbird 235 . . . . 5 g
119 tsmsxp.6 . . . . 5 g
120 oveq2 6309 . . . . . . 7 g g g g
121120eleq1d 2491 . . . . . 6 g g g g
122121rspcv 3178 . . . . 5 g g g g
123118, 119, 122sylc 62 . . . 4 g g
124103, 123eqeltrrd 2511 . . 3 g g
125 tsmsxp.4 . . 3
126 oveq1 6308 . . . . 5 g g
127126eleq1d 2491 . . . 4 g g
128 oveq2 6309 . . . . 5 g g g g g g
129128eleq1d 2491 . . . 4 g g g g g g
130127, 129rspc2va 3192 . . 3 g g g g g g
13138, 124, 125, 130syl21anc 1263 . 2 g g g
13237, 131eqeltrrd 2511 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  cvv 3081   cin 3435   wss 3436  cpw 3979  csn 3996   cmpt 4479   cxp 4847   cres 4851  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301   cof 6539   cmap 7476  cfn 7573  cbs 15108   cplusg 15177  ctopn 15307  c0g 15325   g cgsu 15326  cmnd 16522  cgrp 16656  csg 16658  CMndccmn 17417  cabl 17418  ctgp 21072   tsums ctsu 21126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-mhm 16569  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-ghm 16868  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-tgp 21074 This theorem is referenced by:  tsmsxp  21155
 Copyright terms: Public domain W3C validator