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Theorem tsmsxplem2 19570
Description: Lemma for tsmsxp 19571. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsxp.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsxp.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmsxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
tsmsxp.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
tsmsxp.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmsxp.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmsxp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsxp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmsxp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmsxp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
tsmsxp.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
tsmsxp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
tsmsxp.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
tsmsxp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
tsmsxp.s  |-  ( ph  ->  D  C_  ( K  X.  N ) )
tsmsxp.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
tsmsxp.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
tsmsxp.6  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Distinct variable groups:    g, k,  .0.    c, d, g, j, k, x, G    B, g, k    D, g, j, k, x    g, L, j, x    A, g, j, k    K, c, d, g, j, k, x    S, c    H, d, g, j, k, x    N, c, d, g, x    U, c, d    .- , d,
g, j, x    C, g, j, k    T, c, d, g    .+ , c,
d, g    F, c,
d, g, j, k, x    ph, g, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c, d)    A( x, c, d)    B( x, j, c, d)    C( x, c, d)    D( c, d)    .+ ( x, j, k)    S( x, g, j, k, d)    T( x, j, k)    U( x, g, j, k)    H( c)    J( x, g, j, k, c, d)    L( k, c, d)    .- ( k, c)    N( j, k)    V( x, g, j, k, c, d)    W( x, g, j, k, c, d)    .0. ( x, j, c, d)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgpgrp 19491 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 tsmsxp.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 isabl 16261 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
63, 4, 5sylanbrc 657 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
7 tsmsxp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 tsmsxp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsxp.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elfpw 7601 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( K  C_  A  /\  K  e. 
Fin ) )
1110simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  e.  Fin )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
13 tsmsxp.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
14 elfpw 7601 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( N  C_  C  /\  N  e. 
Fin ) )
1514simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  e.  Fin )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
17 xpfi 7571 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
1812, 16, 17syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
19 tsmsxp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
2010simplbi 457 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  C_  A )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  A )
2214simplbi 457 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  C_  C )
2313, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  C_  C )
24 xpss12 4932 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  A  /\  N  C_  C )  -> 
( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2521, 23, 24syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
26 fssres 5566 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  ( K  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )  ->  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) : ( K  X.  N ) --> B )
2719, 25, 26syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) : ( K  X.  N ) --> B )
28 tsmsxp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
2927, 18, 28fdmfifsupp 7618 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
307, 8, 4, 18, 27, 29gsumcl 16377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B )
31 tsmsxp.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
32 fssres 5566 . . . . 5  |-  ( ( H : A --> B  /\  K  C_  A )  -> 
( H  |`  K ) : K --> B )
3331, 21, 32syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) : K --> B )
3433, 12, 28fdmfifsupp 7618 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) finSupp  .0.  )
357, 8, 4, 12, 33, 34gsumcl 16377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B )
36 tsmsxp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
37 tsmsxp.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
387, 36, 37ablpncan3 16286 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B  /\  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B ) )  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
396, 30, 35, 38syl12anc 1209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
40 tsmsxp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
414adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e. CMnd )
42 snfi 7378 . . . . . . . . 9  |-  { y }  e.  Fin
4316adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  e.  Fin )
44 xpfi 7571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4542, 43, 44sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4619adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
4721sselda 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  A )
4847snssd 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  C_  A )
4923adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  C_  C )
50 xpss12 4932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  C_  A  /\  N  C_  C
)  ->  ( {
y }  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
5148, 49, 50syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )
52 fssres 5566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  ( { y }  X.  N ) 
C_  ( A  X.  C ) )  -> 
( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N ) --> B )
5346, 51, 52syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N
) --> B )
54 fvex 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
558, 54eqeltri 2503 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  .0.  e.  _V )
5753, 45, 56fdmfifsupp 7618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) finSupp  .0.  )
587, 8, 41, 45, 53, 57gsumcl 16377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  B )
59 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
6058, 59fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) : K --> B )
61 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  _V )
6359, 12, 62, 28fsuppmptdm 7619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) finSupp  .0.  )
647, 8, 37, 6, 12, 33, 60, 34, 63gsumsub 16423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
65 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 y )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( H `  y )  e.  _V )
6731, 21feqresmpt 5733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K )  =  ( y  e.  K  |->  ( H `  y ) ) )
68 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) ) )
6912, 66, 62, 67, 68offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  oF 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
71 cmnmnd 16272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
7241, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e.  Mnd )
73 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  K )
7446adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
7547adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  y  e.  A )
7649sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  z  e.  C )
7774, 75, 76fovrnd 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  B )
78 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )
7977, 78fmptd 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) : N --> B )
80 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z )  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  _V )
8278, 43, 81, 56fsuppmptdm 7619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) finSupp  .0.  )
837, 8, 41, 43, 79, 82gsumcl 16377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )
84 elsn 3879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { y }  <-> 
w  =  y )
85 ovres 6219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  { y }  /\  z  e.  N )  ->  (
w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
8684, 85sylanbr 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
87 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w F z )  =  ( y F z ) )
8887adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w F z )  =  ( y F z ) )
8986, 88eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( y F z ) )
9089mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
9190oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
927, 91gsumsn 16425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  K  /\  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9372, 73, 83, 92syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9442a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  e.  Fin )
957, 8, 41, 94, 43, 53, 57gsumxp 16442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( w  e.  { y } 
|->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) ) )
96 ovres 6219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  N )  ->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9796adantll 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9897mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
9998oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
10093, 95, 993eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N ) ) z ) ) ) )
101100mpteq2dva 4366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) )
102101oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
1037, 8, 4, 12, 16, 27, 29gsumxp 16442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
104102, 103eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )
105104oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
10664, 70, 1053eqtr3d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
107 tsmsxp.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
108 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
109 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
110109xpeq1d 4850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( { x }  X.  N )  =  ( { y }  X.  N ) )
111110reseq2d 5097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )
112111oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
113108, 112oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
x }  X.  N
) ) ) )  =  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
114113eleq1d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L ) )
115114rspccva 3061 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  /\  y  e.  K )  ->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
116107, 115sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) )  e.  L )
117 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
118116, 117fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L )
119 tsmsxp.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
120 elmapg 7215 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  J  /\  K  e.  Fin )  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
121119, 12, 120syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
122118, 121mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K ) )
123 tsmsxp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
124 oveq2 6088 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  g )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
125124eleq1d 2499 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  g )  e.  T  <->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
126125rspcv 3058 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  -> 
( A. g  e.  ( L  ^m  K
) ( G  gsumg  g )  e.  T  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
127122, 123, 126sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T )
128106, 127eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)
129 tsmsxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
130 oveq1 6087 . . . . 5  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( c  .+  d
)  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d ) )
131130eleq1d 2499 . . . 4  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( ( c  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  e.  U ) )
132 oveq2 6088 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  =  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) ) )
133132eleq1d 2499 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U ) )
134131, 133rspc2va 3069 . . 3  |-  ( ( ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  e.  S  /\  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)  /\  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d )  e.  U
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13540, 128, 129, 134syl21anc 1210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13639, 135eqeltrrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865    e. cmpt 4338    X. cxp 4825    |` cres 4829   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   TopOpenctopn 14343   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Mndcmnd 15392   Grpcgrp 15393   -gcsg 15396  CMndccmn 16257   Abelcabel 16258   TopGrpctgp 19484   tsums ctsu 19538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-tgp 19486
This theorem is referenced by:  tsmsxp  19571
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