Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsval2 Structured version   Unicode version

Theorem tsmsval2 20753
 Description: Definition of the topological group sum(s) of a collection of values in the group with index set . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsval.b
tsmsval.j
tsmsval.s
tsmsval.l
tsmsval.g
tsmsval2.f
tsmsval2.a
Assertion
Ref Expression
tsmsval2 tsums g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem tsmsval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tsms 20750 . . 3 tsums g
21a1i 11 . 2 tsums g
3 vex 3112 . . . . . . 7
43dmex 6732 . . . . . 6
54pwex 4639 . . . . 5
65inex1 4597 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 simplrl 761 . . . . . . 7
98fveq2d 5876 . . . . . 6
10 tsmsval.j . . . . . 6
119, 10syl6eqr 2516 . . . . 5
12 id 22 . . . . . . 7
13 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
1413dmeqd 5215 . . . . . . . . . . 11
15 tsmsval2.a . . . . . . . . . . . 12
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1714, 16eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
1817pweqd 4020 . . . . . . . . 9
1918ineq1d 3695 . . . . . . . 8
20 tsmsval.s . . . . . . . 8
2119, 20syl6eqr 2516 . . . . . . 7
2212, 21sylan9eqr 2520 . . . . . 6
23 rabeq 3103 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9
2522, 24mpteq12dv 4535 . . . . . . . 8
2625rneqd 5240 . . . . . . 7
27 tsmsval.l . . . . . . 7
2826, 27syl6eqr 2516 . . . . . 6
2922, 28oveq12d 6314 . . . . 5
3011, 29oveq12d 6314 . . . 4
31 simplrr 762 . . . . . . 7
3231reseq1d 5282 . . . . . 6
338, 32oveq12d 6314 . . . . 5 g g
3422, 33mpteq12dv 4535 . . . 4 g g
3530, 34fveq12d 5878 . . 3 g g
367, 35csbied 3457 . 2 g g
37 tsmsval.g . . 3
38 elex 3118 . . 3
3937, 38syl 16 . 2
40 tsmsval2.f . . 3
41 elex 3118 . . 3
4240, 41syl 16 . 2
43 fvex 5882 . . 3 g
4443a1i 11 . 2 g
452, 36, 39, 42, 44ovmpt2d 6429 1 tsums g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109  csb 3430   cin 3470   wss 3471  cpw 4015   cmpt 4515   cdm 5008   crn 5009   cres 5010  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cfn 7535  cbs 14643  ctopn 14838   g cgsu 14857  cfg 18533   cflf 20561   tsums ctsu 20749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-tsms 20750 This theorem is referenced by:  tsmsval  20754  tsmspropd  20755
 Copyright terms: Public domain W3C validator