Theorem tsmssubm 21206

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssubm.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssubm.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmssubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
tsmssubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
tsmssubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	|- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 |- H = ( G ↾s S )
3	2	submbas 16651	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( Base ` H ) )
5	4	eleq2d 2525	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
6	5	anbi1d 716	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
7		elin 3629	. . . . 5 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) )
8		ancom 456	. . . . 5 |- ( ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
9	7, 8	bitri 257	. . . 4 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
10		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
11	10	submss 16646	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
13	12	sselda 3444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
14		eqid 2462	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
15		eqid 2462	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
16		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TopSp )
18		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
19		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> S )
20	19, 12	fssd 5761	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` G ) )
21	10, 14, 15, 16, 17, 18, 20	eltsms 21196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
22	21	baibd 925	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
23	13, 22	syldan 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
24		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
25	24	inex1 4558	. . . . . . . 8 |- ( u i^i S ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ u e. ( TopOpen ` G ) ) -> ( u i^i S ) e. _V )
27	2, 14	resstopn 20251	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) = ( TopOpen ` H )
28	27	eleq2i 2532	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> v e. ( TopOpen ` H ) )
29		fvex 5898	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` G ) e. _V
30		elrest 15375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. _V /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
31	29, 1, 30	sylancr 674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
32	31	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
33	28, 32	syl5bbr 267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( TopOpen ` H ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
34		eleq2 2529	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( x e. v <-> x e. ( u i^i S ) ) )
35		elin 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i S ) <-> ( x e. u /\ x e. S ) )
36	35	rbaib 922	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
37	36	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
38	34, 37	sylan9bbr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( x e. v <-> x e. u ) )
39		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) ) )
40		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
41		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
42	2	submmnd 16650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H e. Mnd )
44	2	subcmn 17526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. CMnd /\ H e. Mnd ) -> H e. CMnd )
45	16, 43, 44	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CMnd )
46	45	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> H e. CMnd )
47		elfpw 7902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
48	47	simprbi 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
49	48	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
50	19	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> S )
51	47	simplbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
52	51	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
53	50, 52	fssresd 5773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> S )
54	4	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S = ( Base ` H ) )
55	54	feq3d 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
56	53, 55	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) )
57		fvex 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` H ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` H ) e. _V )
59	53, 49, 58	fdmfifsupp 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` H ) )
60	40, 41, 46, 49, 56, 59	gsumcl 17598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( Base ` H ) )
61	60, 54	eleqtrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S )
62		elin 3629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u /\ ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
63	62	rbaib 922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
64	61, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
65	1	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
66	49, 65, 53, 2	gsumsubm 16669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( H gsumg ( F |` y ) ) )
67	66	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
68	64, 67	bitr4d 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
69	39, 68	sylan9bbr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
70	69	an32s 818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
71	70	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
72	71	ralbidva 2836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
73	72	rexbidv 2913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
74	38, 73	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
75	26, 33, 74	ralxfr2d 4630	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
76	23, 75	bitr4d 264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) )
77	76	pm5.32da 651	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
78	9, 77	syl5bb 265	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
79		eqid 2462	. . . 4 |- ( TopOpen ` H ) = ( TopOpen ` H )
80		resstps 20252	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopSp /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
81	17, 1, 80	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
82	2, 81	syl5eqel 2544	. . . 4 |- ( ph -> H e. TopSp )
83	4	feq3d 5738	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
84	19, 83	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` H ) )
85	40, 79, 15, 45, 82, 18, 84	eltsms 21196	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
86	6, 78, 85	3bitr4rd 294	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) ) )
87	86	eqrdv 2460	1 |- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   i^i cin 3415   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   Basecbs 15170   ↾_s cress 15171   ↾_t crest 15368   TopOpenctopn 15369   0gc0g 15387   gsum_g cgsu 15388   Mndcmnd 16584  SubMndcsubmnd 16630  CMndccmn 17479   TopSpctps 19968   tsums ctsu 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-tset 15258  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-ntr 20084  df-nei 20163  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tsms 21190

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