Theorem tsmssubm 19716

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssubm.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssubm.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmssubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
tsmssubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
tsmssubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	|- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 |- H = ( G ↾s S )
3	2	submbas 15483	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
4	1, 3	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( Base ` H ) )
5	4	eleq2d 2510	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
6	5	anbi1d 704	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
7		elin 3539	. . . . 5 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) )
8		ancom 450	. . . . 5 |- ( ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
9	7, 8	bitri 249	. . . 4 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
10		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
11	10	submss 15478	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	1, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
13	12	sselda 3356	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
14		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
15		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
16		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TopSp )
18		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
19		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> S )
20		fss 5567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> S /\ S C_ ( Base ` G ) ) -> F : A --> ( Base ` G ) )
21	19, 12, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` G ) )
22	10, 14, 15, 16, 17, 18, 21	eltsms 19703	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
23	22	baibd 900	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
24	13, 23	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
25		vex 2975	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
26	25	inex1 4433	. . . . . . . 8 |- ( u i^i S ) e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ u e. ( TopOpen ` G ) ) -> ( u i^i S ) e. _V )
28	2, 14	resstopn 18790	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) = ( TopOpen ` H )
29	28	eleq2i 2507	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> v e. ( TopOpen ` H ) )
30		fvex 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` G ) e. _V
31		elrest 14366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. _V /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
32	30, 1, 31	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
33	32	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
34	29, 33	syl5bbr 259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( TopOpen ` H ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
35		eleq2 2504	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( x e. v <-> x e. ( u i^i S ) ) )
36		elin 3539	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i S ) <-> ( x e. u /\ x e. S ) )
37	36	rbaib 898	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
38	37	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
39	35, 38	sylan9bbr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( x e. v <-> x e. u ) )
40		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) ) )
41		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
42		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	2	submmnd 15482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
44	1, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H e. Mnd )
45	2	subcmn 16321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. CMnd /\ H e. Mnd ) -> H e. CMnd )
46	16, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CMnd )
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> H e. CMnd )
48		elfpw 7613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
49	48	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
51	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> S )
52	48	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
54		fssres 5578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : A --> S /\ y C_ A ) -> ( F |` y ) : y --> S )
55	51, 53, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> S )
56	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S = ( Base ` H ) )
57		feq3 5544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S = ( Base ` H ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
59	55, 58	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) )
60		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` H ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` H ) e. _V )
62	55, 50, 61	fdmfifsupp 7630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` H ) )
63	41, 42, 47, 50, 59, 62	gsumcl 16397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( Base ` H ) )
64	63, 56	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S )
65		elin 3539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u /\ ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
66	65	rbaib 898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
68	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
69	50, 68, 55, 2	gsumsubm 15508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( H gsumg ( F |` y ) ) )
70	69	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
71	67, 70	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
72	40, 71	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
73	72	an32s 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
74	73	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
75	74	ralbidva 2731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
76	75	rexbidv 2736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
77	39, 76	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
78	27, 34, 77	ralxfr2d 4508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
79	24, 78	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) )
80	79	pm5.32da 641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
81	9, 80	syl5bb 257	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
82		eqid 2443	. . . 4 |- ( TopOpen ` H ) = ( TopOpen ` H )
83		resstps 18791	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopSp /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
84	17, 1, 83	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
85	2, 84	syl5eqel 2527	. . . 4 |- ( ph -> H e. TopSp )
86		feq3 5544	. . . . . 6 |- ( S = ( Base ` H ) -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
87	4, 86	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
88	19, 87	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` H ) )
89	41, 82, 15, 46, 85, 18, 88	eltsms 19703	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
90	6, 81, 89	3bitr4rd 286	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) ) )
91	90	eqrdv 2441	1 |- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   |` cres 4842   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   Basecbs 14174   ↾_s cress 14175   ↾_t crest 14359   TopOpenctopn 14360   0gc0g 14378   gsum_g cgsu 14379   Mndcmnd 15409  SubMndcsubmnd 15463  CMndccmn 16277   TopSpctps 18501   tsums ctsu 19696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697

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