Theorem tsmssubm 20770

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssubm.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssubm.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmssubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
tsmssubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
tsmssubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	|- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 |- H = ( G ↾s S )
3	2	submbas 16113	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
4	1, 3	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( Base ` H ) )
5	4	eleq2d 2527	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
6	5	anbi1d 704	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
7		elin 3683	. . . . 5 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) )
8		ancom 450	. . . . 5 |- ( ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
9	7, 8	bitri 249	. . . 4 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
10		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
11	10	submss 16108	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	1, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
13	12	sselda 3499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
14		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
15		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
16		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TopSp )
18		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
19		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> S )
20	19, 12	fssd 5746	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` G ) )
21	10, 14, 15, 16, 17, 18, 20	eltsms 20757	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
22	21	baibd 909	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
23	13, 22	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
24		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
25	24	inex1 4597	. . . . . . . 8 |- ( u i^i S ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ u e. ( TopOpen ` G ) ) -> ( u i^i S ) e. _V )
27	2, 14	resstopn 19814	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) = ( TopOpen ` H )
28	27	eleq2i 2535	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> v e. ( TopOpen ` H ) )
29		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` G ) e. _V
30		elrest 14845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. _V /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
31	29, 1, 30	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
33	28, 32	syl5bbr 259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( TopOpen ` H ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
34		eleq2 2530	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( x e. v <-> x e. ( u i^i S ) ) )
35		elin 3683	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i S ) <-> ( x e. u /\ x e. S ) )
36	35	rbaib 906	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
38	34, 37	sylan9bbr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( x e. v <-> x e. u ) )
39		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) ) )
40		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
41		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
42	2	submmnd 16112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H e. Mnd )
44	2	subcmn 16972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. CMnd /\ H e. Mnd ) -> H e. CMnd )
45	16, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CMnd )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> H e. CMnd )
47		elfpw 7840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
48	47	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
50	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> S )
51	47	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
53	50, 52	fssresd 5758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> S )
54	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S = ( Base ` H ) )
55	54	feq3d 5725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
56	53, 55	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) )
57		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` H ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` H ) e. _V )
59	53, 49, 58	fdmfifsupp 7857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` H ) )
60	40, 41, 46, 49, 56, 59	gsumcl 17050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( Base ` H ) )
61	60, 54	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S )
62		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u /\ ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
63	62	rbaib 906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
64	61, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
65	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
66	49, 65, 53, 2	gsumsubm 16131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( H gsumg ( F |` y ) ) )
67	66	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
68	64, 67	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
69	39, 68	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
70	69	an32s 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
71	70	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
72	71	ralbidva 2893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
73	72	rexbidv 2968	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
74	38, 73	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
75	26, 33, 74	ralxfr2d 4672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
76	23, 75	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) )
77	76	pm5.32da 641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
78	9, 77	syl5bb 257	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
79		eqid 2457	. . . 4 |- ( TopOpen ` H ) = ( TopOpen ` H )
80		resstps 19815	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopSp /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
81	17, 1, 80	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
82	2, 81	syl5eqel 2549	. . . 4 |- ( ph -> H e. TopSp )
83	4	feq3d 5725	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
84	19, 83	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` H ) )
85	40, 79, 15, 45, 82, 18, 84	eltsms 20757	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
86	6, 78, 85	3bitr4rd 286	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) ) )
87	86	eqrdv 2454	1 |- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   ↾_t crest 14838   TopOpenctopn 14839   0gc0g 14857   gsum_g cgsu 14858   Mndcmnd 16046  SubMndcsubmnd 16092  CMndccmn 16925   TopSpctps 19524   tsums ctsu 20750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751

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