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Theorem tsmssubm 19716
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssubm.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssubm.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmssubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
tsmssubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
tsmssubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
tsmssubm  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
2 tsmssubm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Gs  S )
32submbas 15483 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  H ) )
54eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
65anbi1d 704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) )  <-> 
( x  e.  (
Base `  H )  /\  A. v  e.  (
TopOpen `  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) ) ) ) )
7 elin 3539 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  ( G tsums  F )  /\  x  e.  S
) )
8 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( G tsums 
F )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
97, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 15478 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
121, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312sselda 3356 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
14 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
15 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
16 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
17 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
18 tsmssubm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
19 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
20 fss 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> S  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  F : A --> ( Base `  G
) )
2119, 12, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  G ) )
2210, 14, 15, 16, 17, 18, 21eltsms 19703 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
2322baibd 900 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen
`  G ) ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
2413, 23syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
25 vex 2975 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2625inex1 4433 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  S )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  u  e.  ( TopOpen `  G )
)  ->  ( u  i^i  S )  e.  _V )
282, 14resstopn 18790 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  G )t  S )  =  ( TopOpen `  H
)
2928eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S )  <->  v  e.  ( TopOpen `  H )
)
30 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  G )  e.  _V
31 elrest 14366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  _V  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G
)t 
S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
3230, 1, 31sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S
)  <->  E. u  e.  (
TopOpen `  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( (
TopOpen `  G )t  S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen
`  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3429, 33syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( TopOpen `  H )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
35 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( u  i^i  S ) ) )
36 elin 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
S )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  S ) )
3736rbaib 898 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3935, 38sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( x  e.  v  <-> 
x  e.  u ) )
40 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S ) ) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
432submmnd 15482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
452subcmn 16321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
4616, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e. CMnd )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  H  e. CMnd )
48 elfpw 7613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
4948simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
5119ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> S )
5248simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
54 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> S  /\  y  C_  A )  -> 
( F  |`  y
) : y --> S )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> S )
564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
57 feq3 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> S  <->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> S  <-> 
( F  |`  y
) : y --> (
Base `  H )
) )
5955, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) )
60 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  H )  e. 
_V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( 0g `  H )  e. 
_V )
6255, 50, 61fdmfifsupp 7630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) finSupp  ( 0g `  H ) )
6341, 42, 47, 50, 59, 62gsumcl 16397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  (
Base `  H )
)
6463, 56eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S
)
65 elin 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u  /\  ( H 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  S ) )
6665rbaib 898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( u  i^i  S
)  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
681ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  (SubMnd `  G )
)
6950, 68, 55, 2gsumsubm 15508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  =  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
7069eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7167, 70bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7240, 71sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  v  =  ( u  i^i  S ) )  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7372an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7473imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7574ralbidva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7675rexbidv 2736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7739, 76imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7827, 34, 77ralxfr2d 4508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. v  e.  ( TopOpen
`  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7924, 78bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) )
8079pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
819, 80syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G tsums  F )  i^i  S )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
82 eqid 2443 . . . 4  |-  ( TopOpen `  H )  =  (
TopOpen `  H )
83 resstps 18791 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopSp  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( Gs  S
)  e.  TopSp )
8417, 1, 83syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Gs  S )  e.  TopSp )
852, 84syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  TopSp )
86 feq3 5544 . . . . . 6  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( F : A --> S  <->  F : A
--> ( Base `  H
) ) )
874, 86syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  H ) ) )
8819, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  H ) )
8941, 82, 15, 46, 85, 18, 88eltsms 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
906, 81, 893bitr4rd 286 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  x  e.  ( ( G tsums  F
)  i^i  S )
) )
9190eqrdv 2441 1  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860    |` cres 4842   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409  SubMndcsubmnd 15463  CMndccmn 16277   TopSpctps 18501   tsums ctsu 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697
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