Theorem tsmssubm 21143

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssubm.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssubm.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmssubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
tsmssubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
tsmssubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	|- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 |- H = ( G ↾s S )
3	2	submbas 16589	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( Base ` H ) )
5	4	eleq2d 2492	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
6	5	anbi1d 709	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
7		elin 3649	. . . . 5 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) )
8		ancom 451	. . . . 5 |- ( ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
9	7, 8	bitri 252	. . . 4 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
10		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
11	10	submss 16584	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
13	12	sselda 3464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
14		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
15		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
16		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TopSp )
18		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
19		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> S )
20	19, 12	fssd 5751	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` G ) )
21	10, 14, 15, 16, 17, 18, 20	eltsms 21133	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
22	21	baibd 917	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
23	13, 22	syldan 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
24		vex 3084	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
25	24	inex1 4561	. . . . . . . 8 |- ( u i^i S ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ u e. ( TopOpen ` G ) ) -> ( u i^i S ) e. _V )
27	2, 14	resstopn 20188	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) = ( TopOpen ` H )
28	27	eleq2i 2500	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> v e. ( TopOpen ` H ) )
29		fvex 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` G ) e. _V
30		elrest 15313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. _V /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
31	29, 1, 30	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
32	31	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
33	28, 32	syl5bbr 262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( TopOpen ` H ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
34		eleq2 2495	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( x e. v <-> x e. ( u i^i S ) ) )
35		elin 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i S ) <-> ( x e. u /\ x e. S ) )
36	35	rbaib 914	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
37	36	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
38	34, 37	sylan9bbr 705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( x e. v <-> x e. u ) )
39		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) ) )
40		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
41		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
42	2	submmnd 16588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H e. Mnd )
44	2	subcmn 17464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. CMnd /\ H e. Mnd ) -> H e. CMnd )
45	16, 43, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CMnd )
46	45	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> H e. CMnd )
47		elfpw 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
48	47	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
50	19	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> S )
51	47	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
52	51	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
53	50, 52	fssresd 5763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> S )
54	4	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S = ( Base ` H ) )
55	54	feq3d 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
56	53, 55	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) )
57		fvex 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` H ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` H ) e. _V )
59	53, 49, 58	fdmfifsupp 7895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` H ) )
60	40, 41, 46, 49, 56, 59	gsumcl 17536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( Base ` H ) )
61	60, 54	eleqtrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S )
62		elin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u /\ ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
63	62	rbaib 914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
64	61, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
65	1	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
66	49, 65, 53, 2	gsumsubm 16607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( H gsumg ( F |` y ) ) )
67	66	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
68	64, 67	bitr4d 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
69	39, 68	sylan9bbr 705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
70	69	an32s 811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
71	70	imbi2d 317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
72	71	ralbidva 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
73	72	rexbidv 2939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
74	38, 73	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
75	26, 33, 74	ralxfr2d 4633	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
76	23, 75	bitr4d 259	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) )
77	76	pm5.32da 645	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
78	9, 77	syl5bb 260	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
79		eqid 2422	. . . 4 |- ( TopOpen ` H ) = ( TopOpen ` H )
80		resstps 20189	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopSp /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
81	17, 1, 80	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
82	2, 81	syl5eqel 2514	. . . 4 |- ( ph -> H e. TopSp )
83	4	feq3d 5730	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
84	19, 83	mpbid 213	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` H ) )
85	40, 79, 15, 45, 82, 18, 84	eltsms 21133	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
86	6, 78, 85	3bitr4rd 289	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) ) )
87	86	eqrdv 2419	1 |- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   Basecbs 15108   ↾_s cress 15109   ↾_t crest 15306   TopOpenctopn 15307   0gc0g 15325   gsum_g cgsu 15326   Mndcmnd 16522  SubMndcsubmnd 16568  CMndccmn 17417   TopSpctps 19905   tsums ctsu 21126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-tset 15196  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-ntr 20021  df-nei 20100  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-tsms 21127

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