MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Unicode version

Theorem tsmssubm 20770
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssubm.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssubm.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmssubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
tsmssubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
tsmssubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
tsmssubm  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
2 tsmssubm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Gs  S )
32submbas 16113 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  H ) )
54eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
65anbi1d 704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) )  <-> 
( x  e.  (
Base `  H )  /\  A. v  e.  (
TopOpen `  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) ) ) ) )
7 elin 3683 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  ( G tsums  F )  /\  x  e.  S
) )
8 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( G tsums 
F )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
97, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
10 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 16108 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
121, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
14 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
15 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
16 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
17 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
18 tsmssubm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
19 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
2019, 12fssd 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  G ) )
2110, 14, 15, 16, 17, 18, 20eltsms 20757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
2221baibd 909 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen
`  G ) ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
2313, 22syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
24 vex 3112 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2524inex1 4597 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  S )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  u  e.  ( TopOpen `  G )
)  ->  ( u  i^i  S )  e.  _V )
272, 14resstopn 19814 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  G )t  S )  =  ( TopOpen `  H
)
2827eleq2i 2535 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S )  <->  v  e.  ( TopOpen `  H )
)
29 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  G )  e.  _V
30 elrest 14845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  _V  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G
)t 
S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
3129, 1, 30sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S
)  <->  E. u  e.  (
TopOpen `  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( (
TopOpen `  G )t  S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen
`  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3328, 32syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( TopOpen `  H )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
34 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( u  i^i  S ) ) )
35 elin 3683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
S )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  S ) )
3635rbaib 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3834, 37sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( x  e.  v  <-> 
x  e.  u ) )
39 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S ) ) )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
41 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
422submmnd 16112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
431, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
442subcmn 16972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
4516, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e. CMnd )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  H  e. CMnd )
47 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
4847simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
5019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> S )
5147simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
5350, 52fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> S )
544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
5554feq3d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> S  <-> 
( F  |`  y
) : y --> (
Base `  H )
) )
5653, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) )
57 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  H )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( 0g `  H )  e. 
_V )
5953, 49, 58fdmfifsupp 7857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) finSupp  ( 0g `  H ) )
6040, 41, 46, 49, 56, 59gsumcl 17050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  (
Base `  H )
)
6160, 54eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S
)
62 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u  /\  ( H 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  S ) )
6362rbaib 906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( u  i^i  S
)  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )
6461, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
651ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  (SubMnd `  G )
)
6649, 65, 53, 2gsumsubm 16131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  =  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
6766eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
6864, 67bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
6939, 68sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  v  =  ( u  i^i  S ) )  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7069an32s 804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7170imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7271ralbidva 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7372rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7438, 73imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7526, 33, 74ralxfr2d 4672 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. v  e.  ( TopOpen
`  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7623, 75bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) )
7776pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
789, 77syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G tsums  F )  i^i  S )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
79 eqid 2457 . . . 4  |-  ( TopOpen `  H )  =  (
TopOpen `  H )
80 resstps 19815 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopSp  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( Gs  S
)  e.  TopSp )
8117, 1, 80syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Gs  S )  e.  TopSp )
822, 81syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  TopSp )
834feq3d 5725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  H ) ) )
8419, 83mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  H ) )
8540, 79, 15, 45, 82, 18, 84eltsms 20757 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
866, 78, 853bitr4rd 286 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  x  e.  ( ( G tsums  F
)  i^i  S )
) )
8786eqrdv 2454 1  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  SubMndcsubmnd 16092  CMndccmn 16925   TopSpctps 19524   tsums ctsu 20750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator