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Theorem tsmssubm 21206
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssubm.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssubm.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmssubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
tsmssubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
tsmssubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
tsmssubm  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
2 tsmssubm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Gs  S )
32submbas 16651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
41, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  H ) )
54eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
65anbi1d 716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) )  <-> 
( x  e.  (
Base `  H )  /\  A. v  e.  (
TopOpen `  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) ) ) ) )
7 elin 3629 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  ( G tsums  F )  /\  x  e.  S
) )
8 ancom 456 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( G tsums 
F )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
97, 8bitri 257 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
10 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 16646 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
121, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312sselda 3444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
14 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
15 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
16 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
17 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
18 tsmssubm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
19 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
2019, 12fssd 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  G ) )
2110, 14, 15, 16, 17, 18, 20eltsms 21196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
2221baibd 925 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen
`  G ) ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
2313, 22syldan 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
24 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2524inex1 4558 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  S )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  u  e.  ( TopOpen `  G )
)  ->  ( u  i^i  S )  e.  _V )
272, 14resstopn 20251 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  G )t  S )  =  ( TopOpen `  H
)
2827eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S )  <->  v  e.  ( TopOpen `  H )
)
29 fvex 5898 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  G )  e.  _V
30 elrest 15375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  _V  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G
)t 
S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
3129, 1, 30sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S
)  <->  E. u  e.  (
TopOpen `  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3231adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( (
TopOpen `  G )t  S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen
`  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3328, 32syl5bbr 267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( TopOpen `  H )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
34 eleq2 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( u  i^i  S ) ) )
35 elin 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
S )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  S ) )
3635rbaib 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3736adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3834, 37sylan9bbr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( x  e.  v  <-> 
x  e.  u ) )
39 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S ) ) )
40 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
41 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
422submmnd 16650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
431, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
442subcmn 17526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
4516, 43, 44syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e. CMnd )
4645ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  H  e. CMnd )
47 elfpw 7902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
4847simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
4948adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
5019ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> S )
5147simplbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
5251adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
5350, 52fssresd 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> S )
544ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
5554feq3d 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> S  <-> 
( F  |`  y
) : y --> (
Base `  H )
) )
5653, 55mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) )
57 fvex 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  H )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( 0g `  H )  e. 
_V )
5953, 49, 58fdmfifsupp 7919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) finSupp  ( 0g `  H ) )
6040, 41, 46, 49, 56, 59gsumcl 17598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  (
Base `  H )
)
6160, 54eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S
)
62 elin 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u  /\  ( H 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  S ) )
6362rbaib 922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( u  i^i  S
)  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
651ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  (SubMnd `  G )
)
6649, 65, 53, 2gsumsubm 16669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  =  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
6766eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
6864, 67bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
6939, 68sylan9bbr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  v  =  ( u  i^i  S ) )  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7069an32s 818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7170imbi2d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7271ralbidva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7372rexbidv 2913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7438, 73imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7526, 33, 74ralxfr2d 4630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. v  e.  ( TopOpen
`  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7623, 75bitr4d 264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) )
7776pm5.32da 651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
789, 77syl5bb 265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G tsums  F )  i^i  S )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
79 eqid 2462 . . . 4  |-  ( TopOpen `  H )  =  (
TopOpen `  H )
80 resstps 20252 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopSp  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( Gs  S
)  e.  TopSp )
8117, 1, 80syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Gs  S )  e.  TopSp )
822, 81syl5eqel 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  TopSp )
834feq3d 5738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  H ) ) )
8419, 83mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  H ) )
8540, 79, 15, 45, 82, 18, 84eltsms 21196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
866, 78, 853bitr4rd 294 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  x  e.  ( ( G tsums  F
)  i^i  S )
) )
8786eqrdv 2460 1  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   Basecbs 15170   ↾s cress 15171   ↾t crest 15368   TopOpenctopn 15369   0gc0g 15387    gsumg cgsu 15388   Mndcmnd 16584  SubMndcsubmnd 16630  CMndccmn 17479   TopSpctps 19968   tsums ctsu 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-tset 15258  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-ntr 20084  df-nei 20163  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tsms 21190
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