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Theorem tsmssplit 20389
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmssplit.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssplit.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tsmssplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssplit.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
tsmssplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
tsmssplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
tsmssplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssplit  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 tsmssplit.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 tsmssplit.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssplit.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tsmssplit.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 tsmssplit.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76ffvelrnda 6019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
8 cmnmnd 16609 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
111, 10mndidcl 15752 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  B )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
147, 13ifcld 3982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
1614, 15fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
177, 13ifcld 3982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
1917, 18fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
20 tsmssplit.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
216feqmptd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
2221reseq1d 5270 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  C ) )
23 ssun1 3667 . . . . . . . . 9  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
24 tsmssplit.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
2523, 24syl5sseqr 3553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
26 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
2726mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `
 k ) )
28 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
29 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `  k ) ) )
3027, 28, 293eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3222, 31eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  C )
)
3332oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) ) )
34 tmdtps 20310 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  TopSp )
354, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
36 eldifn 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  -.  k  e.  C )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  -.  k  e.  C )
38 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  if (
k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4039, 5suppss2 6931 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  C
)
411, 10, 3, 35, 5, 16, 40tsmsres 20381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
4320, 42eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
44 tsmssplit.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
4521reseq1d 5270 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  D ) )
46 ssun2 3668 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4746, 24syl5sseqr 3553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
48 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
4948mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `
 k ) )
50 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
51 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `  k ) ) )
5249, 50, 513eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5347, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5445, 53eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  D )
)
5554oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) ) )
56 eldifn 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  D )  ->  -.  k  e.  D )
5756adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  -.  k  e.  D )
58 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  if (
k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
6059, 5suppss2 6931 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  D
)
611, 10, 3, 35, 5, 19, 60tsmsres 20381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
6255, 61eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
6344, 62eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 16, 19, 43, 63tsmsadd 20384 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  oF  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) ) )
6526adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
66 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
67 noel 3789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  k  e.  (/)
68 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  k  e.  (/) ) )
6967, 68mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D
) )
7066, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
72 elin 3687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7371, 72sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D
) )
74 imnan 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
)  <->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7573, 74sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
) )
7675imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  -.  k  e.  D )
7776, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
7865, 77oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
791, 2, 10mndrid 15755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k ) )
809, 79sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G
) )  =  ( F `  k ) )
817, 80syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8378, 82eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
8475con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  D  ->  -.  k  e.  C
) )
8584imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  -.  k  e.  C )
8685, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8748adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
8886, 87oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( F `  k ) ) )
891, 2, 10mndlid 15754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k )
)  =  ( F `
 k ) )
909, 89sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
917, 90syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9291adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9388, 92eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
9424eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  ( C  u.  D ) ) )
95 elun 3645 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( C  u.  D )  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D ) )
9694, 95syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D )
) )
9796biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  \/  k  e.  D )
)
9883, 93, 97mpjaodan 784 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
9998mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
10021, 99eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
101 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
102 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
1035, 14, 17, 101, 102offval2 6538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  oF  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
104100, 103eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  oF  .+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
105104oveq2d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  oF  .+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) ) )
10664, 105eleqtrrd 2558 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Mndcmnd 15722  CMndccmn 16594   TopSpctps 19164  TopMndctmd 20304   tsums ctsu 20359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-mnd 15728  df-plusf 15729  df-submnd 15778  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-ntr 19287  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-tmd 20306  df-tsms 20360
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