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Theorem tsmsres 20771
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsres.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsres.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsres.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsres.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsres.s  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
Assertion
Ref Expression
tsmsres  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  W )  C_  A
2 sspwb 4705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  W ) 
C_  A  <->  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A )
31, 2mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A
4 ssrin 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  C_  ~P A  ->  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
6 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
75, 6sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
8 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  A  /\  z  e. 
Fin ) )
98simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  C_  A )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  C_  A
)
11 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  A  ->  (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  C_  ( A  i^i  W ) )
138simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
15 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  W )  C_  z
16 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( z  i^i  W
)  C_  z )  ->  ( z  i^i  W
)  e.  Fin )
1714, 15, 16sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  Fin )
18 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( z  i^i  W )  e.  Fin ) )
1912, 17, 18sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
20 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) ) )
21 ssin 3716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  z  /\  a  C_  W )  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) )
2220, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
23 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) ) )
24 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  i^i  W )  C_  W
25 resabs1 5312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  W ) 
C_  W  ->  (
( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
2723, 26syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2827oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3130rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3219, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
33 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( a  C_  ( A  i^i  W
)  /\  a  e.  Fin ) )
3433simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  a  C_  ( A  i^i  W
) )
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  ( A  i^i  W ) )
36 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  W )  C_  W
3735, 36syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  W
)
3837biantrud 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
39 resres 5296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  z )  |`  W )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
4039oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
41 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
45 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
4746, 10fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  z ) : z --> B )
48 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
49 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
5045, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F  e.  _V )
52 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5342, 52eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
54 ressuppss 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
5551, 53, 54sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
56 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
5855, 57sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  W )
5953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  .0.  e.  _V )
6047, 14, 59fdmfifsupp 7857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  z ) finSupp  .0.  )
6141, 42, 44, 14, 47, 58, 60gsumres 17047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
6240, 61syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
6362eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )  e.  u ) )
6438, 63imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( a 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
6532, 64sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) ) )
6665ralrimdva 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
67 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
y  C_  z  <->  a  C_  z ) )
6867imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6968ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7069rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
717, 66, 70syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7271rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
73 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
7473simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
76 ssrin 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7873simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
80 inss1 3714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  W )  C_  y
81 ssfi 7759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( y  i^i  W
)  C_  y )  ->  ( y  i^i  W
)  e.  Fin )
8279, 80, 81sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  Fin )
83 elfpw 7840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( y  i^i  W )  e.  Fin ) )
8477, 82, 83sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )
8574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  A )
86 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( b  C_  ( A  i^i  W
)  /\  b  e.  Fin ) )
8786simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  C_  ( A  i^i  W
) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  ( A  i^i  W ) )
8988, 1syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  A )
9085, 89unssd 3676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  C_  A )
9186simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  Fin )
92 unfi 7805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( y  u.  b
)  e.  Fin )
9379, 91, 92syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  Fin )
94 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
y  u.  b ) 
C_  A  /\  (
y  u.  b )  e.  Fin ) )
9590, 93, 94sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
96 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  C_  ( y  u.  b
)
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  z  =  ( y  u.  b ) )
9896, 97syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  y  C_  z )
99 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
101 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )
102101oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) ) )
103102eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
104100, 103bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u ) )
105104rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  e.  u ) )
10695, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
10743ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  G  e. CMnd )
10893adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  e.  Fin )
10945ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  F : A
--> B )
11090adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  C_  A
)
111109, 110fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) : ( y  u.  b ) --> B )
11250, 53jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )
)
113112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V ) )
114 ressuppss 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( y  u.  b
) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
11656ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
117115, 116sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) ) supp  .0.  )  C_  W )
11853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  .0.  e.  _V )
119111, 108, 118fdmfifsupp 7857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) finSupp  .0.  )
12041, 42, 107, 108, 111, 117, 119gsumres 17047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) ) )
121 resres 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  ( (
y  u.  b )  i^i  W ) )
122 indir 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  u.  b )  i^i  W )  =  ( ( y  i^i 
W )  u.  (
b  i^i  W )
)
12388, 36syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  W )
124123adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  b  C_  W )
125 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b 
C_  W  <->  ( b  i^i  W )  =  b )
126124, 125sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( b  i^i  W )  =  b )
127126uneq2d 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  ( ( y  i^i  W
)  u.  b ) )
128 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  i^i  W )  C_  b
)
129 ssequn1 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  <->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
130128, 129sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
131127, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  b )
132122, 131syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  u.  b )  i^i  W )  =  b )
133132reseq2d 5283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( ( y  u.  b )  i^i  W
) )  =  ( F  |`  b )
)
134121, 133syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  b )
)
135124resabs1d 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  b )
)
136134, 135eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )
137136oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) ) )
138120, 137eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) ) )
139138eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
140139biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
141140expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
142141com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( (
y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
143106, 142syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  (
( y  i^i  W
)  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
144143ralrimdva 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
145 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( y  i^i  W )  C_  b
) )
146145imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
147146ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
148147rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  i^i  W
)  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
14984, 144, 148syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
150149rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
15172, 150impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
152151imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
153152ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
154153anbi2d 703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
155 eqid 2457 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
156 eqid 2457 . . . 4  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  =  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )
157 tsmsres.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
158 inex1g 4599 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  W )  e. 
_V )
15948, 158syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  W
)  e.  _V )
160 fssres 5757 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  i^i  W ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
16145, 1, 160sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
162 resres 5296 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )
163 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
164 fnresdm 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
16545, 163, 1643syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
166165reseq1d 5282 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  W ) )
167162, 166syl5eqr 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )  =  ( F  |`  W ) )
168167feq1d 5723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B  <-> 
( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B ) )
169161, 168mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B )
17041, 155, 156, 43, 157, 159, 169eltsms 20756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
171 eqid 2457 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
17241, 155, 171, 43, 157, 48, 45eltsms 20756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
173154, 170, 1723bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
174173eqrdv 2454 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   Fincfn 7535   Basecbs 14643   TopOpenctopn 14838   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857  CMndccmn 16924   TopSpctps 19523   tsums ctsu 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-top 19525  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-ntr 19647  df-nei 19725  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-tsms 20750
This theorem is referenced by:  tsmssplit  20779
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