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Theorem tsmsres 19740
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsres.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsres.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsres.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsres.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsres.s  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
Assertion
Ref Expression
tsmsres  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  W )  C_  A
2 sspwb 4562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  W ) 
C_  A  <->  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A )
31, 2mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A
4 ssrin 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  C_  ~P A  ->  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
6 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
75, 6sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
8 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  A  /\  z  e. 
Fin ) )
98simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  C_  A )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  C_  A
)
11 ssrin 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  A  ->  (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  C_  ( A  i^i  W ) )
138simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
15 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  W )  C_  z
16 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( z  i^i  W
)  C_  z )  ->  ( z  i^i  W
)  e.  Fin )
1714, 15, 16sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  Fin )
18 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( z  i^i  W )  e.  Fin ) )
1912, 17, 18sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
20 sseq2 3399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) ) )
21 ssin 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  z  /\  a  C_  W )  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) )
2220, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
23 reseq2 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) ) )
24 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  i^i  W )  C_  W
25 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  W ) 
C_  W  ->  (
( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
2723, 26syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2827oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
2928eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3130rspcv 3090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3219, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
33 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( a  C_  ( A  i^i  W
)  /\  a  e.  Fin ) )
3433simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  a  C_  ( A  i^i  W
) )
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  ( A  i^i  W ) )
36 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  W )  C_  W
3735, 36syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  W
)
3837biantrud 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
39 resres 5144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  z )  |`  W )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
4039oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
41 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
45 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
47 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  C_  A )  -> 
( F  |`  z
) : z --> B )
4846, 10, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  z ) : z --> B )
49 tsmsres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
50 fex 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
5145, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F  e.  _V )
53 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5442, 53eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
55 ressuppss 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
5652, 54, 55sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
57 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
5956, 58sstrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F  |`  z ) supp  .0.  )  C_  W )
6054a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  .0.  e.  _V )
6148, 14, 60fdmfifsupp 7651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  z ) finSupp  .0.  )
6241, 42, 44, 14, 48, 59, 61gsumres 16416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
6340, 62syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
6463eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )  e.  u ) )
6538, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( a 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
6632, 65sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) ) )
6766ralrimdva 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
68 sseq1 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
y  C_  z  <->  a  C_  z ) )
6968imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7069ralbidv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7170rspcev 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
727, 67, 71syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7372rexlimdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
74 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
7574simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
77 ssrin 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7974simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
81 inss1 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  W )  C_  y
82 ssfi 7554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( y  i^i  W
)  C_  y )  ->  ( y  i^i  W
)  e.  Fin )
8380, 81, 82sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  Fin )
84 elfpw 7634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( y  i^i  W )  e.  Fin ) )
8578, 83, 84sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )
8675ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  A )
87 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( b  C_  ( A  i^i  W
)  /\  b  e.  Fin ) )
8887simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  C_  ( A  i^i  W
) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  ( A  i^i  W ) )
9089, 1syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  A )
9186, 90unssd 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  C_  A )
9287simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  Fin )
93 unfi 7600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( y  u.  b
)  e.  Fin )
9480, 92, 93syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  Fin )
95 elfpw 7634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
y  u.  b ) 
C_  A  /\  (
y  u.  b )  e.  Fin ) )
9691, 94, 95sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
97 ssun1 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  C_  ( y  u.  b
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  z  =  ( y  u.  b ) )
9997, 98syl5sseqr 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  y  C_  z )
100 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
102 reseq2 5126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )
103102oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) ) )
104103eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
105101, 104bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u ) )
106105rspcv 3090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  e.  u ) )
10796, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
10843ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  G  e. CMnd )
10994adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  e.  Fin )
11045ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  F : A
--> B )
11191adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  C_  A
)
112 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( y  u.  b
)  C_  A )  ->  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) : ( y  u.  b ) --> B )
113110, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) : ( y  u.  b ) --> B )
11451, 54jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )
)
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V ) )
116 ressuppss 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( y  u.  b
) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
11857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
119117, 118sstrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) ) supp  .0.  )  C_  W )
12054a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  .0.  e.  _V )
121113, 109, 120fdmfifsupp 7651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) finSupp  .0.  )
12241, 42, 108, 109, 113, 119, 121gsumres 16416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) ) )
123 resres 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  ( (
y  u.  b )  i^i  W ) )
124 indir 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  u.  b )  i^i  W )  =  ( ( y  i^i 
W )  u.  (
b  i^i  W )
)
12589, 36syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  W )
126125adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  b  C_  W )
127 df-ss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b 
C_  W  <->  ( b  i^i  W )  =  b )
128126, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( b  i^i  W )  =  b )
129128uneq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  ( ( y  i^i  W
)  u.  b ) )
130 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  i^i  W )  C_  b
)
131 ssequn1 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  <->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
132130, 131sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
133129, 132eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  b )
134124, 133syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  u.  b )  i^i  W )  =  b )
135134reseq2d 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( ( y  u.  b )  i^i  W
) )  =  ( F  |`  b )
)
136123, 135syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  b )
)
137 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b 
C_  W  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  b )
)
138126, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  b )
)
139136, 138eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )
140139oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) ) )
141122, 140eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) ) )
142141eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
143142biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
144143expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
145144com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( (
y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
146107, 145syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  (
( y  i^i  W
)  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
147146ralrimdva 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
148 sseq1 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( y  i^i  W )  C_  b
) )
149148imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
150149ralbidv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
151150rspcev 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  i^i  W
)  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
15285, 147, 151syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
153152rexlimdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
15473, 153impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
155154imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
156155ralbidv 2756 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
157156anbi2d 703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
158 eqid 2443 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
159 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  =  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )
160 tsmsres.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
161 inex1g 4456 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  W )  e. 
_V )
16249, 161syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  W
)  e.  _V )
163 fssres 5599 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  i^i  W ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
16445, 1, 163sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
165 resres 5144 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )
166 ffn 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
167 fnresdm 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
16845, 166, 1673syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
169168reseq1d 5130 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  W ) )
170165, 169syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )  =  ( F  |`  W ) )
171170feq1d 5567 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B  <-> 
( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B ) )
172164, 171mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B )
17341, 158, 159, 43, 160, 162, 172eltsms 19725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
174 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
17541, 158, 174, 43, 160, 49, 45eltsms 19725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
176157, 173, 1753bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
177176eqrdv 2441 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881    |` cres 4863    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supp csupp 6711   Fincfn 7331   Basecbs 14195   TopOpenctopn 14381   0gc0g 14399    gsumg cgsu 14400  CMndccmn 16298   TopSpctps 18523   tsums ctsu 19718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mnd 15436  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-top 18525  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-ntr 18646  df-nei 18724  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-tsms 19719
This theorem is referenced by:  tsmssplit  19748
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