Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Unicode version

Theorem tsmsmhm 21091
 Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b
tsmsmhm.j
tsmsmhm.k
tsmsmhm.1 CMnd
tsmsmhm.2
tsmsmhm.3 CMnd
tsmsmhm.4
tsmsmhm.5 MndHom
tsmsmhm.6
tsmsmhm.a
tsmsmhm.f
tsmsmhm.x tsums
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm tsums

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4
2 tsmsmhm.b . . . . 5
3 tsmsmhm.j . . . . 5
42, 3istps 19882 . . . 4 TopOn
51, 4sylib 199 . . 3 TopOn
6 eqid 2429 . . . . 5
7 eqid 2429 . . . . 5
8 eqid 2429 . . . . 5
9 tsmsmhm.a . . . . 5
106, 7, 8, 9tsmsfbas 21073 . . . 4
11 fgcl 20824 . . . 4
1210, 11syl 17 . . 3
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 CMnd
14 tsmsmhm.f . . . . 5
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 21074 . . . 4 g
16 eqid 2429 . . . 4 g g
1715, 16fmptd 6061 . . 3 g
18 tsmsmhm.x . . . 4 tsums
192, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 21076 . . . 4 tsums g
2018, 19eleqtrd 2519 . . 3 g
21 tsmsmhm.6 . . . 4
222, 13, 1, 9, 14tsmscl 21080 . . . . . 6 tsums
2322, 18sseldd 3471 . . . . 5
24 toponuni 19873 . . . . . 6 TopOn
255, 24syl 17 . . . . 5
2623, 25eleqtrd 2519 . . . 4
27 eqid 2429 . . . . 5
2827cncnpi 20225 . . . 4
2921, 26, 28syl2anc 665 . . 3
30 flfcnp 20950 . . 3 TopOn g g g
315, 12, 17, 20, 29, 30syl32anc 1272 . 2 g
32 eqid 2429 . . . 4
33 tsmsmhm.k . . . 4
34 tsmsmhm.3 . . . 4 CMnd
35 tsmsmhm.4 . . . . . . 7
3632, 33istps 19882 . . . . . . 7 TopOn
3735, 36sylib 199 . . . . . 6 TopOn
38 cnf2 20196 . . . . . 6 TopOn TopOn
395, 37, 21, 38syl3anc 1264 . . . . 5
40 fco 5756 . . . . 5
4139, 14, 40syl2anc 665 . . . 4
4232, 33, 6, 8, 34, 9, 41tsmsval 21076 . . 3 tsums g
43 eqidd 2430 . . . . . 6 g g
4439feqmptd 5934 . . . . . 6
45 fveq2 5881 . . . . . 6 g g
4615, 43, 44, 45fmptco 6071 . . . . 5 g g
47 resco 5359 . . . . . . . 8
4847oveq2i 6316 . . . . . . 7 g g
49 eqid 2429 . . . . . . . 8
5013adantr 466 . . . . . . . 8 CMnd
5134adantr 466 . . . . . . . . 9 CMnd
52 cmnmnd 17380 . . . . . . . . 9 CMnd
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8
54 elfpw 7882 . . . . . . . . . 10
5554simprbi 465 . . . . . . . . 9
5655adantl 467 . . . . . . . 8
57 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 MndHom
5857adantr 466 . . . . . . . 8 MndHom
5954simplbi 461 . . . . . . . . 9
60 fssres 5766 . . . . . . . . 9
6114, 59, 60syl2an 479 . . . . . . . 8
62 fvex 5891 . . . . . . . . . 10
6362a1i 11 . . . . . . . . 9
6461, 56, 63fdmfifsupp 7899 . . . . . . . 8 finSupp
652, 49, 50, 53, 56, 58, 61, 64gsummhm 17506 . . . . . . 7 g g
6648, 65syl5eq 2482 . . . . . 6 g g
6766mpteq2dva 4512 . . . . 5 g g
6846, 67eqtr4d 2473 . . . 4 g g
6968fveq2d 5885 . . 3 g g
7042, 69eqtr4d 2473 . 2 tsums g
7131, 70eleqtrrd 2520 1 tsums
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   cin 3441   wss 3442  cpw 3985  cuni 4222   cmpt 4484   crn 4855   cres 4856   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7577  cbs 15084  ctopn 15279  c0g 15297   g cgsu 15298  cmnd 16486   MndHom cmhm 16531  CMndccmn 17365  cfbas 18893  cfg 18894  TopOnctopon 19849  ctps 19850   ccn 20171   ccnp 20172  cfil 20791   cflf 20881   tsums ctsu 21071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072 This theorem is referenced by:  tsmsinv  21093  esumcocn  28740
 Copyright terms: Public domain W3C validator