MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmslem1 Structured version   Unicode version

Theorem tsmslem1 21130
Description: The finite partial sums of a function  F are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmslem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmslem1.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
tsmslem1.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmslem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
tsmslem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tsmslem1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )

Proof of Theorem tsmslem1
StepHypRef Expression
1 tsmslem1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2422 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 tsmslem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
43adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
5 simpr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
6 tsmslem1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  F : A --> B )
8 tsmslem1.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
95, 8syl6eleq 2520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
10 elfpw 7879 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( X  C_  A  /\  X  e. 
Fin ) )
1110simplbi 461 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  C_  A )
129, 11syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  A )
137, 12fssresd 5764 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( F  |`  X ) : X --> B )
1410simprbi 465 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  e.  Fin )
159, 14syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  Fin )
16 fvex 5888 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
1813, 15, 17fdmfifsupp 7896 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( F  |`  X ) finSupp  ( 0g `  G ) )
191, 2, 4, 5, 13, 18gsumcl 17537 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979    |` cres 4852   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   Basecbs 15109   0gc0g 15326    gsumg cgsu 15327  CMndccmn 17418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-cntz 16959  df-cmn 17420
This theorem is referenced by:  eltsms  21134  haustsms  21137  tsmscls  21139  tsmsmhm  21147  tsmsadd  21148
  Copyright terms: Public domain W3C validator