MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsidOLD Structured version   Unicode version

Theorem tsmsidOLD 20823
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) Obsolete version of tsmsid 20820 as of 24-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsidOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsidOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsidOLD.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsidOLD.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsidOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsidOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsidOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
tsmsidOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsidOLD
StepHypRef Expression
1 tsmsidOLD.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsidOLD.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2400 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
42, 3istps 19619 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
6 topontop 19609 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
8 tsmsidOLD.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsidOLD.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
10 tsmsidOLD.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 tsmsidOLD.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
12 tsmsidOLD.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumclOLD 17140 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
1413snssd 4114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
15 toponuni 19610 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
165, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
1714, 16sseqtrd 3475 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen
`  G ) )
18 eqid 2400 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  G )  = 
U. ( TopOpen `  G
)
1918sscls 19739 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen `  G )
)  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
207, 17, 19syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
21 ovex 6260 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  F )  e.  _V
2221snss 4093 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
2320, 22sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsumOLD 20822 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  ( TopOpen `  G )
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) )
2523, 24eleqtrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    \ cdif 3408    C_ wss 3411   {csn 3969   U.cuni 4188   `'ccnv 4939   "cima 4943   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   Basecbs 14731   TopOpenctopn 14926   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945  CMndccmn 17012   Topctop 19576  TopOnctopon 19577   TopSpctps 19579   clsccl 19701   tsums ctsu 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-top 19581  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-tsms 20807
This theorem is referenced by:  haustsmsidOLD  20824
  Copyright terms: Public domain W3C validator