MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsidOLD Structured version   Unicode version

Theorem tsmsidOLD 19848
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) Obsolete version of tsmsid 19845 as of 24-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsidOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsidOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsidOLD.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsidOLD.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsidOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsidOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsidOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
tsmsidOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsidOLD
StepHypRef Expression
1 tsmsidOLD.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsidOLD.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
42, 3istps 18676 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
51, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
6 topontop 18666 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
8 tsmsidOLD.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsidOLD.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
10 tsmsidOLD.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 tsmsidOLD.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
12 tsmsidOLD.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumclOLD 16524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
1413snssd 4129 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
15 toponuni 18667 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
1714, 16sseqtrd 3503 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen
`  G ) )
18 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  G )  = 
U. ( TopOpen `  G
)
1918sscls 18795 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen `  G )
)  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
207, 17, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
21 ovex 6228 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  F )  e.  _V
2221snss 4110 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
2320, 22sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsumOLD 19847 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  ( TopOpen `  G )
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) )
2523, 24eleqtrrd 2545 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   U.cuni 4202   `'ccnv 4950   "cima 4954   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   Basecbs 14295   TopOpenctopn 14482   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501  CMndccmn 16401   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636   clsccl 18757   tsums ctsu 19831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-top 18638  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-tsms 19832
This theorem is referenced by:  haustsmsidOLD  19849
  Copyright terms: Public domain W3C validator