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Theorem tsmsgsumOLD 19687
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) Obsolete version of tsmsgsum 19684 as of 24-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsidOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsidOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsidOLD.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsidOLD.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsidOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsidOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsidOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
tsmsgsumOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsumOLD  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsumOLD
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsidOLD.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsidOLD.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsumOLD.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 18516 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 18507 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 cnvimass 5184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
13 tsmsidOLD.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A
)
1811, 17unssd 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  A )
199simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsidOLD.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
23 unfi 7571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )  ->  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
25 elfpw 7605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A  /\  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin ) )
2618, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssun1 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  z  =  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
2927, 28syl5sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  C_  z
)
30 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
32 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
3332oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
3433eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3531, 34bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u ) )
3635rspcv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3726, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
38 tsmsidOLD.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
39 tsmsidOLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
41 tsmsidOLD.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
44 ssun2 3515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
462, 38, 40, 42, 43, 45, 22gsumresOLD 16390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4746eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4837, 47sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4948rexlimdva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
50 elfpw 7605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A  /\  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
5116, 21, 50sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5339ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5513ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
56 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z )
5721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
582, 38, 53, 54, 55, 56, 57gsumresOLD 16390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
59 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6058, 59eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6160expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6261ralrimiva 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
63 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  z  <->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z
) )
6463imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6564ralbidv 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6665rspcev 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6752, 62, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6867expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6949, 68impbid 191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
70 disjsn 3931 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7170necon2abii 2661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7269, 71syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7372imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7473ralbidva 2726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
758, 74anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
76 eqid 2438 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
772, 3, 76, 39, 1, 41, 13eltsms 19678 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
78 topontop 18506 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
795, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
802, 38, 39, 41, 13, 21gsumclOLD 16391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8180snssd 4013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8281, 7sseqtrd 3387 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
83 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8483elcls2 18653 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8579, 82, 84syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8675, 77, 853bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8786eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   Basecbs 14166   TopOpenctopn 14352   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  CMndccmn 16268   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   TopSpctps 18476   clsccl 18597   tsums ctsu 19671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-top 18478  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-tsms 19672
This theorem is referenced by:  tsmsidOLD  19688
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