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Theorem tsmsgsum 20505
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 19306 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 19297 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 suppssdm 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A
)
1811, 17unssd 3685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  C_  A )
199simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F finSupp  .0.  )
2322fsuppimpd 7848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
24 unfi 7799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( F supp  .0.  )  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
26 elfpw 7834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  C_  A  /\  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  e. 
Fin ) )
2718, 25, 26sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssun1 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) )
3028, 29syl5sseqr 3558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  y  C_  z )
31 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
33 reseq2 5274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )
3433oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
3534eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3632, 35bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3736rspcv 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
3827, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
39 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
40 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
42 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
45 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) )
472, 39, 41, 43, 44, 46, 22gsumres 16794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4847eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4938, 48sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5049rexlimdva 2959 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5121fsuppimpd 7848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
52 elfpw 7834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( F supp  .0.  )  C_  A  /\  ( F supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5316, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5540ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
58 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( F supp  .0.  )  C_  z )
5921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F finSupp  .0.  )
602, 39, 55, 56, 57, 58, 59gsumres 16794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
61 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6260, 61eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6362expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F supp  .0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) )
6463ralrimiva 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
65 sseq1 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( y  C_  z 
<->  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )
6665imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6766ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6867rspcev 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6954, 64, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
7069expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7150, 70impbid 191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
72 disjsn 4094 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7372necon2abii 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7471, 73syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7574imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7675ralbidva 2903 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
778, 76anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
78 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
792, 3, 78, 40, 1, 42, 13eltsms 20499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
80 topontop 19296 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
815, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
822, 39, 40, 42, 13, 21gsumcl 16796 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8382snssd 4178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8483, 7sseqtrd 3545 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
85 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8685elcls2 19443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8781, 84, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8877, 79, 873bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8988eqrdv 2464 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   dom cdm 5005    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507   TopOpenctopn 14694   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713  CMndccmn 16671   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   TopSpctps 19266   clsccl 19387   tsums ctsu 20492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493
This theorem is referenced by:  tsmsid  20506  tgptsmscls  20520
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