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Theorem tsmsgsum 21202
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 20000 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 19991 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 suppssdm 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A )
1716ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A
)
1811, 17unssd 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  C_  A )
199simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
2221ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F finSupp  .0.  )
2322fsuppimpd 7916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
24 unfi 7864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( F supp  .0.  )  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
2520, 23, 24syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
26 elfpw 7902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  C_  A  /\  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  e. 
Fin ) )
2718, 25, 26sylanbrc 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssun1 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) )
3028, 29syl5sseqr 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  y  C_  z )
31 pm5.5 342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
33 reseq2 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )
3433oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
3534eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3632, 35bitrd 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3736rspcv 3158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
3827, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
39 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
40 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4140ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
42 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4342ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4413ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
45 ssun2 3610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) )
472, 39, 41, 43, 44, 46, 22gsumres 17596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4847eleq1d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4938, 48sylibd 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5049rexlimdva 2891 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5121fsuppimpd 7916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
52 elfpw 7902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( F supp  .0.  )  C_  A  /\  ( F supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5316, 51, 52sylanbrc 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5453adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5540ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5642ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5713ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
58 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( F supp  .0.  )  C_  z )
5921ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F finSupp  .0.  )
602, 39, 55, 56, 57, 58, 59gsumres 17596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
61 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6260, 61eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6362expr 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F supp  .0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) )
6463ralrimiva 2814 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
65 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( y  C_  z 
<->  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )
6665imbi1d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6766ralbidv 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6867rspcev 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6954, 64, 68syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
7069expr 624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7150, 70impbid 195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
72 disjsn 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7372necon2abii 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7471, 73syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7574imbi2d 322 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7675ralbidva 2836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
778, 76anbi12d 722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
78 eqid 2462 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
792, 3, 78, 40, 1, 42, 13eltsms 21196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
80 topontop 19990 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
815, 80syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
822, 39, 40, 42, 13, 21gsumcl 17598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8382snssd 4130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8483, 7sseqtrd 3480 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
85 eqid 2462 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8685elcls2 20139 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8781, 84, 86syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8877, 79, 873bitr4d 293 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8988eqrdv 2460 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   class class class wbr 4416   dom cdm 4853    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   supp csupp 6941   Fincfn 7595   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170   TopOpenctopn 15369   0gc0g 15387    gsumg cgsu 15388  CMndccmn 17479   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   TopSpctps 19968   clsccl 20082   tsums ctsu 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-top 19970  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tsms 21190
This theorem is referenced by:  tsmsid  21203  tgptsmscls  21213
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