Theorem tsmsgsum 20505

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
tsmsgsum.j	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	|- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables y z u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 19306	. . . . . . 7 |- ( G e. TopSp <-> J e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
6		toponuni 19297	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
7	5, 6	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. J )
8	7	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. U. J ) )
9		elfpw 7834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
10	9	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
12		suppssdm 6926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F supp .0. ) C_ dom F
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> B )
14		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = A )
16	12, 15	syl5sseq 3557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ A )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ A )
18	11, 17	unssd 3685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A )
19	9	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
21		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F finSupp .0. )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F finSupp .0. )
23	22	fsuppimpd 7848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
24		unfi 7799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
25	20, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
26		elfpw 7834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A /\ ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin ) )
27	18, 25, 26	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
28		ssun1 3672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> z = ( y u. ( F supp .0. ) ) )
30	28, 29	syl5sseqr 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> y C_ z )
31		pm5.5 336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ z -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
33		reseq2 5274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) )
34	33	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) )
35	34	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
36	32, 35	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
37	36	rspcv 3215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
38	27, 37	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
39		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` G )
40		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. CMnd )
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
42		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
44	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> B )
45		ssun2 3673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) ) )
47	2, 39, 41, 43, 44, 46, 22	gsumres 16794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
48	47	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
49	38, 48	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
50	49	rexlimdva 2959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
51	21	fsuppimpd 7848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. Fin )
52		elfpw 7834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ A /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) )
53	16, 51, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
55	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> G e. CMnd )
56	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> A e. V )
57	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F : A --> B )
58		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( F supp .0. ) C_ z )
59	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F finSupp .0. )
60	2, 39, 55, 56, 57, 58, 59	gsumres 16794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg F ) )
61		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg F ) e. u )
62	60, 61	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u )
63	62	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
64	63	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
65		sseq1 3530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( y C_ z <-> ( F supp .0. ) C_ z ) )
66	65	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
67	66	ralbidv 2906	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
68	67	rspcev 3219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
69	54, 64, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
70	69	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( G gsumg F ) e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
71	50, 70	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
72		disjsn 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) = (/) <-> -. ( G gsumg F ) e. u )
73	72	necon2abii 2733	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg F ) e. u <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) )
74	71, 73	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) )
75	74	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
76	75	ralbidva 2903	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
77	8, 76	anbi12d 710	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
78		eqid 2467	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
79	2, 3, 78, 40, 1, 42, 13	eltsms 20499	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
80		topontop 19296	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
81	5, 80	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
82	2, 39, 40, 42, 13, 21	gsumcl 16796	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
83	82	snssd 4178	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
84	83, 7	sseqtrd 3545	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. J )
85		eqid 2467	. . . . 5 |- U. J = U. J
86	85	elcls2 19443	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. J ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
87	81, 84, 86	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
88	77, 79, 87	3bitr4d 285	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) ) )
89	88	eqrdv 2464	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507   TopOpenctopn 14694   0gc0g 14712   gsum_g cgsu 14713  CMndccmn 16671   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   TopSpctps 19266   clsccl 19387   tsums ctsu 20492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493

This theorem is referenced by:  tsmsid  20506  tgptsmscls  20520