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Theorem tsmsgsum 19844
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 18676 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 18667 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 suppssdm 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A
)
1811, 17unssd 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  C_  A )
199simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F finSupp  .0.  )
2322fsuppimpd 7741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
24 unfi 7693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( F supp  .0.  )  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
26 elfpw 7727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  C_  A  /\  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  e. 
Fin ) )
2718, 25, 26sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) )
3028, 29syl5sseqr 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  y  C_  z )
31 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
33 reseq2 5216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )
3433oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
3534eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3632, 35bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3736rspcv 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
3827, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
39 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
40 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
42 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
45 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) )
472, 39, 41, 43, 44, 46, 22gsumres 16519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4847eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4938, 48sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5049rexlimdva 2947 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5121fsuppimpd 7741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
52 elfpw 7727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( F supp  .0.  )  C_  A  /\  ( F supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5316, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5540ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
58 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( F supp  .0.  )  C_  z )
5921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F finSupp  .0.  )
602, 39, 55, 56, 57, 58, 59gsumres 16519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
61 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6260, 61eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6362expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F supp  .0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) )
6463ralrimiva 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
65 sseq1 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( y  C_  z 
<->  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )
6665imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6766ralbidv 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6867rspcev 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6954, 64, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
7069expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7150, 70impbid 191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
72 disjsn 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7372necon2abii 2718 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7471, 73syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7574imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7675ralbidva 2844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
778, 76anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
78 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
792, 3, 78, 40, 1, 42, 13eltsms 19838 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
80 topontop 18666 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
815, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
822, 39, 40, 42, 13, 21gsumcl 16521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8382snssd 4129 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8483, 7sseqtrd 3503 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
85 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8685elcls2 18813 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8781, 84, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8877, 79, 873bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8988eqrdv 2451 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   dom cdm 4951    |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14295   TopOpenctopn 14482   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501  CMndccmn 16401   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636   clsccl 18757   tsums ctsu 19831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-top 18638  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-tsms 19832
This theorem is referenced by:  tsmsid  19845  tgptsmscls  19859
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