Theorem tsmsgsum 21202

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
tsmsgsum.j	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	|- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables y z u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 20000	. . . . . . 7 |- ( G e. TopSp <-> J e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
6		toponuni 19991	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. J )
8	7	eleq2d 2525	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. U. J ) )
9		elfpw 7902	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
10	9	simplbi 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
11	10	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
12		suppssdm 6954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F supp .0. ) C_ dom F
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> B )
14		fdm 5756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = A )
16	12, 15	syl5sseq 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ A )
17	16	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ A )
18	11, 17	unssd 3622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A )
19	9	simprbi 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
20	19	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
21		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F finSupp .0. )
22	21	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F finSupp .0. )
23	22	fsuppimpd 7916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
24		unfi 7864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
25	20, 23, 24	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
26		elfpw 7902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A /\ ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin ) )
27	18, 25, 26	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
28		ssun1 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> z = ( y u. ( F supp .0. ) ) )
30	28, 29	syl5sseqr 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> y C_ z )
31		pm5.5 342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ z -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
33		reseq2 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) )
34	33	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) )
35	34	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
36	32, 35	bitrd 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
37	36	rspcv 3158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
38	27, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
39		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` G )
40		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. CMnd )
41	40	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
42		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
43	42	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
44	13	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> B )
45		ssun2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) ) )
47	2, 39, 41, 43, 44, 46, 22	gsumres 17596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
48	47	eleq1d 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
49	38, 48	sylibd 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
50	49	rexlimdva 2891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
51	21	fsuppimpd 7916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. Fin )
52		elfpw 7902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ A /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) )
53	16, 51, 52	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
54	53	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
55	40	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> G e. CMnd )
56	42	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> A e. V )
57	13	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F : A --> B )
58		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( F supp .0. ) C_ z )
59	21	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F finSupp .0. )
60	2, 39, 55, 56, 57, 58, 59	gsumres 17596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg F ) )
61		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg F ) e. u )
62	60, 61	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u )
63	62	expr 624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
64	63	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
65		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( y C_ z <-> ( F supp .0. ) C_ z ) )
66	65	imbi1d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
67	66	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
68	67	rspcev 3162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
69	54, 64, 68	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
70	69	expr 624	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( G gsumg F ) e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
71	50, 70	impbid 195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
72		disjsn 4044	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) = (/) <-> -. ( G gsumg F ) e. u )
73	72	necon2abii 2686	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg F ) e. u <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) )
74	71, 73	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) )
75	74	imbi2d 322	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
76	75	ralbidva 2836	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
77	8, 76	anbi12d 722	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
78		eqid 2462	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
79	2, 3, 78, 40, 1, 42, 13	eltsms 21196	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
80		topontop 19990	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
81	5, 80	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
82	2, 39, 40, 42, 13, 21	gsumcl 17598	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
83	82	snssd 4130	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
84	83, 7	sseqtrd 3480	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. J )
85		eqid 2462	. . . . 5 |- U. J = U. J
86	85	elcls2 20139	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. J ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
87	81, 84, 86	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
88	77, 79, 87	3bitr4d 293	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) ) )
89	88	eqrdv 2460	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   class class class wbr 4416   dom cdm 4853   |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   supp csupp 6941   Fincfn 7595   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170   TopOpenctopn 15369   0gc0g 15387   gsum_g cgsu 15388  CMndccmn 17479   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   TopSpctps 19968   clsccl 20082   tsums ctsu 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-top 19970  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tsms 21190

This theorem is referenced by:  tsmsid  21203  tgptsmscls  21213