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Theorem tsmsgsum 21088
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 19886 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 19877 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 suppssdm 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  A
)
1811, 17unssd 3648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  C_  A )
199simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F finSupp  .0.  )
2322fsuppimpd 7896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
24 unfi 7844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( F supp  .0.  )  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
2520, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
26 elfpw 7882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  C_  A  /\  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )  e. 
Fin ) )
2718, 25, 26sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssun1 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) )
29 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) )
3028, 29syl5sseqr 3519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  y  C_  z )
31 pm5.5 337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
33 reseq2 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )
3433oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
3534eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3632, 35bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
)  ->  ( (
y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  ) ) ) )  e.  u ) )
3736rspcv 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( F supp 
.0.  ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
3827, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( F supp  .0.  )
) ) )  e.  u ) )
39 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
40 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
42 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4342ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4413ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
45 ssun2 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) )
472, 39, 41, 43, 44, 46, 22gsumres 17486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4847eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4938, 48sylibd 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5049rexlimdva 2924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
5121fsuppimpd 7896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
52 elfpw 7882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( F supp  .0.  )  C_  A  /\  ( F supp  .0.  )  e.  Fin ) )
5316, 51, 52sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5453adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5540ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5642ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5713ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
58 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( F supp  .0.  )  C_  z )
5921ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  ->  F finSupp  .0.  )
602, 39, 55, 56, 57, 58, 59gsumres 17486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
61 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6260, 61eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6362expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F supp  .0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) )
6463ralrimiva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
65 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( y  C_  z 
<->  ( F supp  .0.  )  C_  z ) )
6665imbi1d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6766ralbidv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F supp  .0.  )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6867rspcev 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( F supp 
.0.  )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6954, 64, 68syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
7069expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
7150, 70impbid 193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
72 disjsn 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7372necon2abii 2697 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7471, 73syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7574imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7675ralbidva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
778, 76anbi12d 715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
78 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
792, 3, 78, 40, 1, 42, 13eltsms 21082 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
80 topontop 19876 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
815, 80syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
822, 39, 40, 42, 13, 21gsumcl 17488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8382snssd 4148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8483, 7sseqtrd 3506 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
85 eqid 2429 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8685elcls2 20025 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8781, 84, 86syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8877, 79, 873bitr4d 288 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8988eqrdv 2426 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   dom cdm 4854    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889   Basecbs 15084   TopOpenctopn 15283   0gc0g 15301    gsumg cgsu 15302  CMndccmn 17369   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   TopSpctps 19854   clsccl 19968   tsums ctsu 21075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-fbas 18906  df-fg 18907  df-top 19856  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-tsms 21076
This theorem is referenced by:  tsmsid  21089  tgptsmscls  21099
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