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Theorem tsmsfbas 20752
Description: The collection of all sets of the form  F ( z )  =  { y  e.  S  |  z 
C_  y }, which can be read as the set of all finite subsets of  A which contain  z as a subset, for each finite subset  z of  A, form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsfbas.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
tsmsfbas.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
tsmsfbas.l  |-  L  =  ran  F
tsmsfbas.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
Assertion
Ref Expression
tsmsfbas  |-  ( ph  ->  L  e.  ( fBas `  S ) )
Distinct variable groups:    z, A    y, z, S
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    A( y)    F( y, z)    L( y, z)    W( y, z)

Proof of Theorem tsmsfbas
Dummy variables  u  a  v  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsfbas.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
2 elex 3118 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
3 tsmsfbas.l . . 3  |-  L  =  ran  F
4 ssrab2 3581 . . . . . . 7  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
5 tsmsfbas.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 pwexg 4640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
7 inex1g 4599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
95, 8syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  S  e.  _V )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  _V )
11 elpw2g 4619 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  _V  ->  ( { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  S
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  ( { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S 
<->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  S ) )
134, 12mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S )
14 tsmsfbas.f . . . . . 6  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
1513, 14fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  F : S --> ~P S )
16 frn 5743 . . . . 5  |-  ( F : S --> ~P S  ->  ran  F  C_  ~P S )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F 
C_  ~P S )
18 0ss 3823 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  A
19 0fin 7766 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  Fin
20 elfpw 7840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2118, 19, 20mpbir2an 920 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
2221, 5eleqtrri 2544 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  S
23 0ss 3823 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  y
2423rgenw 2818 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  S  (/)  C_  y
25 rabid2 3035 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  <->  A. y  e.  S  z  C_  y )
26 sseq1 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z 
C_  y  <->  (/)  C_  y
) )
2726ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A. y  e.  S  z  C_  y  <->  A. y  e.  S  (/)  C_  y ) )
2825, 27syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  <->  A. y  e.  S  (/)  C_  y ) )
2928rspcev 3210 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. y  e.  S  (/)  C_  y )  ->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
3022, 24, 29mp2an 672 . . . . . . 7  |-  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }
3114elrnmpt 5259 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
329, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( S  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3330, 32mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  S  e.  ran  F )
34 ne0i 3799 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F  =/=  (/) )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
37 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
38 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  z ) )
3938rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  C_  z )  ->  E. y  e.  S  z  C_  y )
4036, 37, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  E. y  e.  S  z  C_  y )
41 rabn0 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  S  z  C_  y )
4240, 41sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  =/=  (/) )
4342necomd 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  -> 
(/)  =/=  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
4443neneqd 2659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  -.  (/)  =  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )
4544nrexdv 2913 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  E. z  e.  S  (/)  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
46 0ex 4587 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
4714elrnmpt 5259 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  (/)  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  (/)  =  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
4945, 48sylnibr 305 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  (/) 
e.  ran  F )
50 df-nel 2655 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/ 
ran  F  <->  -.  (/)  e.  ran  F )
5149, 50sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  e/  ran  F )
52 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  A  /\  u  e. 
Fin ) )
5352simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  C_  A )
5453, 5eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  S  ->  u  C_  A )
55 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  A  /\  v  e. 
Fin ) )
5655simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  C_  A )
5756, 5eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  S  ->  v  C_  A )
5854, 57anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  C_  A  /\  v  C_  A ) )
59 unss 3674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  C_  A  /\  v  C_  A )  <->  ( u  u.  v )  C_  A
)
6058, 59sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  C_  A )
6152simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
6261, 5eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  Fin )
6355simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
6463, 5eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  Fin )
65 unfi 7805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( u  u.  v
)  e.  Fin )
6662, 64, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  e.  Fin )
67 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  u.  v )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
u  u.  v ) 
C_  A  /\  (
u  u.  v )  e.  Fin ) )
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
u  u.  v )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
7069, 5syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
u  u.  v )  e.  S )
71 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
72 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  (
a  C_  y  <->  ( u  u.  v )  C_  y
) )
7372rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  { y  e.  S  |  a 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
7473eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y }  <->  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } ) )
7574rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  u.  v
)  e.  S  /\  { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  ->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
7670, 71, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
779adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  S  e.  _V )
78 rabexg 4606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  _V )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  _V )
80 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  a  ->  (
z  C_  y  <->  a  C_  y ) )
8180rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  a  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8281cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( a  e.  S  |->  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8314, 82eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( a  e.  S  |->  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8483elrnmpt 5259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  _V  ->  ( {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  ran  F  <->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } ) )
8579, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  e.  ran  F  <->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } ) )
8676, 85mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ran  F )
87 pwidg 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
8879, 87syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
89 inelcm 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  e.  ran  F  /\  { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  ->  ( ran  F  i^i  ~P {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)  =/=  (/) )
9086, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  ( ran  F  i^i  ~P {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)  =/=  (/) )
9190ralrimivva 2878 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) )
92 rabexg 4606 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  u 
C_  y }  e.  _V )
939, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  u 
C_  y }  e.  _V )
9493ralrimivw 2872 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A. u  e.  S  { y  e.  S  |  u  C_  y }  e.  _V )
95 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  u  ->  (
z  C_  y  <->  u  C_  y
) )
9695rabbidv 3101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
9796cbvmptv 4548 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( u  e.  S  |->  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
9814, 97eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( u  e.  S  |->  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
99 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )
100 inrab 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  | 
v  C_  y }
)  =  { y  e.  S  |  ( u  C_  y  /\  v  C_  y ) }
101 unss 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  C_  y  /\  v  C_  y )  <->  ( u  u.  v )  C_  y
)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  S  ->  (
( u  C_  y  /\  v  C_  y )  <-> 
( u  u.  v
)  C_  y )
)
103102rabbiia 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  S  |  ( u  C_  y  /\  v  C_  y ) }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }
104100, 103eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  | 
v  C_  y }
)  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }
10599, 104syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)
106105pweqd 4020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
107106ineq2d 3696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } ) )
108107neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )  =/=  (/)  <->  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) ) )
109108ralbidv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  =/=  (/) ) )
11098, 109ralrnmpt 6041 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  S  {
y  e.  S  |  u  C_  y }  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  =/=  (/) ) )
11194, 110syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )  =/=  (/)  <->  A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) ) )
11291, 111mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) )
113 rabexg 4606 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  v 
C_  y }  e.  _V )
1149, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  v 
C_  y }  e.  _V )
115114ralrimivw 2872 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A. v  e.  S  { y  e.  S  |  v  C_  y }  e.  _V )
116 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  (
z  C_  y  <->  v  C_  y ) )
117116rabbidv 3101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
118117cbvmptv 4548 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( v  e.  S  |->  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
11914, 118eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( v  e.  S  |->  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
120 ineq2 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( a  i^i  b )  =  ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )
121120pweqd 4020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ~P (
a  i^i  b )  =  ~P ( a  i^i 
{ y  e.  S  |  v  C_  y } ) )
122121ineq2d 3696 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) ) )
123122neeq1d 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
124119, 123ralrnmpt 6041 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  S  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }  e.  _V  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
125115, 124syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
126125ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
127112, 126mpbird 232 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) )
12835, 51, 1273jca 1176 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) )
129 isfbas 20456 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  ( ran  F  e.  ( fBas `  S )  <->  ( ran  F 
C_  ~P S  /\  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) ) ) )
1309, 129syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ran  F  e.  ( fBas `  S )  <->  ( ran  F 
C_  ~P S  /\  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) ) ) )
13117, 128, 130mpbir2and 922 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F  e.  ( fBas `  S
) )
1323, 131syl5eqel 2549 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  L  e.  ( fBas `  S
) )
1331, 2, 1323syl 20 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( fBas `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7535   fBascfbas 18533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fbas 18543
This theorem is referenced by:  eltsms  20757  haustsms  20760  tsmscls  20762  tsmsmhm  20774  tsmsadd  20775
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