Theorem tsmsfbas 19703

Description: The collection of all sets of the form F ( z ) = { y e. S | z C_ y }, which can be read as the set of all finite subsets of A which contain z as a subset, for each finite subset z of A, form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsfbas.s	|- S = ( ~P A i^i Fin )
tsmsfbas.f	|- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
tsmsfbas.l	|- L = ran F
tsmsfbas.a	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
tsmsfbas	|- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   y, z, S

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( y)   F( y, z)   L( y, z)   W( y, z)

Proof of Theorem tsmsfbas

Dummy variables u a v b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsfbas.a	. 2 |- ( ph -> A e. W )
2		elex 2986	. 2 |- ( A e. W -> A e. _V )
3		tsmsfbas.l	. . 3 |- L = ran F
4		ssrab2 3442	. . . . . . 7 |- { y e. S | z C_ y } C_ S
5		tsmsfbas.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( ~P A i^i Fin )
6		pwexg 4481	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ~P A e. _V )
7		inex1g 4440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
9	5, 8	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> S e. _V )
10	9	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> S e. _V )
11		elpw2g 4460	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
13	4, 12	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } e. ~P S )
14		tsmsfbas.f	. . . . . 6 |- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
15	13, 14	fmptd 5872	. . . . 5 |- ( A e. _V -> F : S --> ~P S )
16		frn 5570	. . . . 5 |- ( F : S --> ~P S -> ran F C_ ~P S )
17	15, 16	syl 16	. . . 4 |- ( A e. _V -> ran F C_ ~P S )
18		0ss 3671	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ A
19		0fin 7545	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. Fin
20		elfpw 7618	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) e. Fin ) )
21	18, 19, 20	mpbir2an 911	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
22	21, 5	eleqtrri 2516	. . . . . . . 8 |- (/) e. S
23		0ss 3671	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ y
24	23	rgenw 2788	. . . . . . . 8 |- A. y e. S (/) C_ y
25		rabid2 2903	. . . . . . . . . 10 |- ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S z C_ y )
26		sseq1 3382	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( z C_ y <-> (/) C_ y ) )
27	26	ralbidv 2740	. . . . . . . . . 10 |- ( z = (/) -> ( A. y e. S z C_ y <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
28	25, 27	syl5bb 257	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
29	28	rspcev 3078	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. S /\ A. y e. S (/) C_ y ) -> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } )
30	22, 24, 29	mp2an 672	. . . . . . 7 |- E. z e. S S = { y e. S | z C_ y }
31	14	elrnmpt 5091	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
32	9, 31	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
33	30, 32	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> S e. ran F )
34		ne0i 3648	. . . . . 6 |- ( S e. ran F -> ran F =/= (/) )
35	33, 34	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ran F =/= (/) )
36		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> z e. S )
37		ssid 3380	. . . . . . . . . . . 12 |- z C_ z
38		sseq2 3383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( z C_ y <-> z C_ z ) )
39	38	rspcev 3078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. S /\ z C_ z ) -> E. y e. S z C_ y )
40	36, 37, 39	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> E. y e. S z C_ y )
41		rabn0 3662	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | z C_ y } =/= (/) <-> E. y e. S z C_ y )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } =/= (/) )
43	42	necomd 2700	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> (/) =/= { y e. S | z C_ y } )
44	43	neneqd 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> -. (/) = { y e. S | z C_ y } )
45	44	nrexdv 2824	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> -. E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
46		0ex 4427	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
47	14	elrnmpt 5091	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
49	45, 48	sylnibr 305	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> -. (/) e. ran F )
50		df-nel 2614	. . . . . 6 |- ( (/) e/ ran F <-> -. (/) e. ran F )
51	49, 50	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A e. _V -> (/) e/ ran F )
52		elfpw 7618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( u C_ A /\ u e. Fin ) )
53	52	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
54	53, 5	eleq2s 2535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. S -> u C_ A )
55		elfpw 7618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( v C_ A /\ v e. Fin ) )
56	55	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
57	56, 5	eleq2s 2535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. S -> v C_ A )
58	54, 57	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u C_ A /\ v C_ A ) )
59		unss 3535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u C_ A /\ v C_ A ) <-> ( u u. v ) C_ A )
60	58, 59	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) C_ A )
61	52	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
62	61, 5	eleq2s 2535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. S -> u e. Fin )
63	55	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
64	63, 5	eleq2s 2535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. S -> v e. Fin )
65		unfi 7584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( u u. v ) e. Fin )
66	62, 64, 65	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. Fin )
67		elfpw 7618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( u u. v ) C_ A /\ ( u u. v ) e. Fin ) )
68	60, 66, 67	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
70	69, 5	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. S )
71		eqidd 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
72		sseq1 3382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( u u. v ) -> ( a C_ y <-> ( u u. v ) C_ y ) )
73	72	rabbidv 2969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( u u. v ) -> { y e. S | a C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
74	73	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( u u. v ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } <-> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
75	74	rspcev 3078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u u. v ) e. S /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
76	70, 71, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
77	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> S e. _V )
78		rabexg 4447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
80		sseq1 3382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z C_ y <-> a C_ y ) )
81	80	rabbidv 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
82	81	cbvmptv 4388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
83	14, 82	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
84	83	elrnmpt 5091	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
85	79, 84	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
86	76, 85	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F )
87		pwidg 3878	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
88	79, 87	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
89		inelcm 3738	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
90	86, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
91	90	ralrimivva 2813	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
92		rabexg 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
93	9, 92	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
94	93	ralrimivw 2805	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V )
95		sseq1 3382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( z C_ y <-> u C_ y ) )
96	95	rabbidv 2969	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | u C_ y } )
97	96	cbvmptv 4388	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
98	14, 97	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- F = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
99		ineq1 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) )
100		inrab 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) }
101		unss 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y ) )
103	102	rabbiia 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
104	100, 103	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
105	99, 104	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
106	105	pweqd 3870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
107	106	ineq2d 3557	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) = ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
108	107	neeq1d 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
109	108	ralbidv 2740	. . . . . . . . 9 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
110	98, 109	ralrnmpt 5857	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
111	94, 110	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
112	91, 111	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) )
113		rabexg 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
114	9, 113	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
115	114	ralrimivw 2805	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V )
116		sseq1 3382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z C_ y <-> v C_ y ) )
117	116	rabbidv 2969	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = v -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | v C_ y } )
118	117	cbvmptv 4388	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
119	14, 118	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- F = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
120		ineq2 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( a i^i b ) = ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
121	120	pweqd 3870	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ~P ( a i^i b ) = ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
122	121	ineq2d 3557	. . . . . . . . . 10 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) = ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) )
123	122	neeq1d 2626	. . . . . . . . 9 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
124	119, 123	ralrnmpt 5857	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
125	115, 124	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
126	125	ralbidv 2740	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
127	112, 126	mpbird 232	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) )
128	35, 51, 127	3jca 1168	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) )
129		isfbas 19407	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
130	9, 129	syl 16	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
131	17, 128, 130	mpbir2and 913	. . 3 |- ( A e. _V -> ran F e. ( fBas ` S ) )
132	3, 131	syl5eqel 2527	. 2 |- ( A e. _V -> L e. ( fBas ` S ) )
133	1, 2, 132	3syl 20	1 |- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   e/ wnel 2612   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977   u. cun 3331   i^i cin 3332   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   e. cmpt 4355   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423   Fincfn 7315   fBascfbas 17809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fbas 17819

This theorem is referenced by:  eltsms  19708  haustsms  19711  tsmscls  19713  tsmsmhm  19725  tsmsadd  19726