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Theorem tsmsfbas 21154
Description: The collection of all sets of the form  F ( z )  =  { y  e.  S  |  z 
C_  y }, which can be read as the set of all finite subsets of  A which contain  z as a subset, for each finite subset  z of  A, form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsfbas.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
tsmsfbas.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
tsmsfbas.l  |-  L  =  ran  F
tsmsfbas.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
Assertion
Ref Expression
tsmsfbas  |-  ( ph  ->  L  e.  ( fBas `  S ) )
Distinct variable groups:    z, A    y, z, S
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    A( y)    F( y, z)    L( y, z)    W( y, z)

Proof of Theorem tsmsfbas
Dummy variables  u  a  v  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsfbas.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
2 elex 3056 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
3 tsmsfbas.l . . 3  |-  L  =  ran  F
4 ssrab2 3516 . . . . . . 7  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
5 tsmsfbas.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 pwexg 4590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
7 inex1g 4549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
95, 8syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  S  e.  _V )
109adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  _V )
11 elpw2g 4569 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  _V  ->  ( { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  S
) )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  ( { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S 
<->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  S ) )
134, 12mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  ~P S )
14 tsmsfbas.f . . . . . 6  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
1513, 14fmptd 6051 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  F : S --> ~P S )
16 frn 5740 . . . . 5  |-  ( F : S --> ~P S  ->  ran  F  C_  ~P S )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F 
C_  ~P S )
18 0ss 3765 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  A
19 0fin 7804 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  Fin
20 elfpw 7881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2118, 19, 20mpbir2an 932 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
2221, 5eleqtrri 2530 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  S
23 0ss 3765 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  y
2423rgenw 2751 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  S  (/)  C_  y
25 rabid2 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  <->  A. y  e.  S  z  C_  y )
26 sseq1 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z 
C_  y  <->  (/)  C_  y
) )
2726ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A. y  e.  S  z  C_  y  <->  A. y  e.  S  (/)  C_  y ) )
2825, 27syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  <->  A. y  e.  S  (/)  C_  y ) )
2928rspcev 3152 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. y  e.  S  (/)  C_  y )  ->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
3022, 24, 29mp2an 679 . . . . . . 7  |-  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }
3114elrnmpt 5084 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
329, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( S  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  S  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3330, 32mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  S  e.  ran  F )
34 ne0i 3739 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F  =/=  (/) )
36 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
37 ssid 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
38 sseq2 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  z ) )
3938rspcev 3152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  C_  z )  ->  E. y  e.  S  z  C_  y )
4036, 37, 39sylancl 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  E. y  e.  S  z  C_  y )
41 rabn0 3754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  S  z  C_  y )
4240, 41sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  =/=  (/) )
4342necomd 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  -> 
(/)  =/=  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
4443neneqd 2631 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  S )  ->  -.  (/)  =  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )
4544nrexdv 2845 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  E. z  e.  S  (/)  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
46 0ex 4538 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
4714elrnmpt 5084 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  (/)  =  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ran  F  <->  E. z  e.  S  (/)  =  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
4945, 48sylnibr 307 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  (/) 
e.  ran  F )
50 df-nel 2627 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/ 
ran  F  <->  -.  (/)  e.  ran  F )
5149, 50sylibr 216 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  e/  ran  F )
52 elfpw 7881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  A  /\  u  e. 
Fin ) )
5352simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  C_  A )
5453, 5eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  S  ->  u  C_  A )
55 elfpw 7881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  A  /\  v  e. 
Fin ) )
5655simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  C_  A )
5756, 5eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  S  ->  v  C_  A )
5854, 57anim12i 570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  C_  A  /\  v  C_  A ) )
59 unss 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  C_  A  /\  v  C_  A )  <->  ( u  u.  v )  C_  A
)
6058, 59sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  C_  A )
6152simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
6261, 5eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  Fin )
6355simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
6463, 5eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  Fin )
65 unfi 7843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( u  u.  v
)  e.  Fin )
6662, 64, 65syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  e.  Fin )
67 elfpw 7881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  u.  v )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
u  u.  v ) 
C_  A  /\  (
u  u.  v )  e.  Fin ) )
6860, 66, 67sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( u  u.  v
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
6968adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
u  u.  v )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
7069, 5syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
u  u.  v )  e.  S )
71 eqidd 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
72 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  (
a  C_  y  <->  ( u  u.  v )  C_  y
) )
7372rabbidv 3038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  { y  e.  S  |  a 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
7473eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( u  u.  v )  ->  ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y }  <->  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } ) )
7574rspcev 3152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  u.  v
)  e.  S  /\  { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  ->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
7670, 71, 75syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
779adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  S  e.  _V )
78 rabexg 4556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  _V )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  _V )
80 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  a  ->  (
z  C_  y  <->  a  C_  y ) )
8180rabbidv 3038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  a  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8281cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( a  e.  S  |->  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8314, 82eqtri 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( a  e.  S  |->  { y  e.  S  |  a  C_  y } )
8483elrnmpt 5084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  _V  ->  ( {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  ran  F  <->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } ) )
8579, 84syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  e.  ran  F  <->  E. a  e.  S  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  a  C_  y } ) )
8676, 85mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ran  F )
87 pwidg 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  (
u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
8879, 87syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
89 inelcm 3821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }  e.  ran  F  /\  { y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }  e.  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  ->  ( ran  F  i^i  ~P {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)  =/=  (/) )
9086, 88, 89syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  ( ran  F  i^i  ~P {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)  =/=  (/) )
9190ralrimivva 2811 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) )
92 rabexg 4556 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  u 
C_  y }  e.  _V )
939, 92syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  u 
C_  y }  e.  _V )
9493ralrimivw 2805 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A. u  e.  S  { y  e.  S  |  u  C_  y }  e.  _V )
95 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  u  ->  (
z  C_  y  <->  u  C_  y
) )
9695rabbidv 3038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
9796cbvmptv 4498 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( u  e.  S  |->  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
9814, 97eqtri 2475 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( u  e.  S  |->  { y  e.  S  |  u  C_  y } )
99 ineq1 3629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )
100 inrab 3717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  | 
v  C_  y }
)  =  { y  e.  S  |  ( u  C_  y  /\  v  C_  y ) }
101 unss 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  C_  y  /\  v  C_  y )  <->  ( u  u.  v )  C_  y
)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  S  ->  (
( u  C_  y  /\  v  C_  y )  <-> 
( u  u.  v
)  C_  y )
)
103102rabbiia 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  S  |  ( u  C_  y  /\  v  C_  y ) }  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y }
104100, 103eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  S  |  u  C_  y }  i^i  { y  e.  S  | 
v  C_  y }
)  =  { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y }
10599, 104syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  {
y  e.  S  | 
( u  u.  v
)  C_  y }
)
106105pweqd 3958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } )  =  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )
107106ineq2d 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } ) )
108107neeq1d 2685 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )  =/=  (/)  <->  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) ) )
109108ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  { y  e.  S  |  u  C_  y }  ->  ( A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  =/=  (/) ) )
11098, 109ralrnmpt 6036 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  S  {
y  e.  S  |  u  C_  y }  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v )  C_  y } )  =/=  (/) ) )
11194, 110syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )  =/=  (/)  <->  A. u  e.  S  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P { y  e.  S  |  ( u  u.  v ) 
C_  y } )  =/=  (/) ) )
11291, 111mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) )
113 rabexg 4556 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  v 
C_  y }  e.  _V )
1149, 113syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  v 
C_  y }  e.  _V )
115114ralrimivw 2805 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A. v  e.  S  { y  e.  S  |  v  C_  y }  e.  _V )
116 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  v  ->  (
z  C_  y  <->  v  C_  y ) )
117116rabbidv 3038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  =  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
118117cbvmptv 4498 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( v  e.  S  |->  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
11914, 118eqtri 2475 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( v  e.  S  |->  { y  e.  S  |  v  C_  y } )
120 ineq2 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( a  i^i  b )  =  ( a  i^i  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }
) )
121120pweqd 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ~P (
a  i^i  b )  =  ~P ( a  i^i 
{ y  e.  S  |  v  C_  y } ) )
122121ineq2d 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =  ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) ) )
123122neeq1d 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  { y  e.  S  |  v  C_  y }  ->  ( ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
124119, 123ralrnmpt 6036 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  S  {
y  e.  S  | 
v  C_  y }  e.  _V  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
125115, 124syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
126125ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  b
) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  ran  F A. v  e.  S  ( ran  F  i^i  ~P ( a  i^i  { y  e.  S  |  v  C_  y } ) )  =/=  (/) ) )
127112, 126mpbird 236 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) )
12835, 51, 1273jca 1189 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) )
129 isfbas 20856 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  ( ran  F  e.  ( fBas `  S )  <->  ( ran  F 
C_  ~P S  /\  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) ) ) )
1309, 129syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ran  F  e.  ( fBas `  S )  <->  ( ran  F 
C_  ~P S  /\  ( ran  F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  F  /\  A. a  e. 
ran  F A. b  e.  ran  F ( ran 
F  i^i  ~P (
a  i^i  b )
)  =/=  (/) ) ) ) )
13117, 128, 130mpbir2and 934 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  F  e.  ( fBas `  S
) )
1323, 131syl5eqel 2535 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  L  e.  ( fBas `  S
) )
1331, 2, 1323syl 18 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( fBas `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    e/ wnel 2625   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953    |-> cmpt 4464   ran crn 4838   -->wf 5581   ` cfv 5585   Fincfn 7574   fBascfbas 18970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fbas 18979
This theorem is referenced by:  eltsms  21159  haustsms  21162  tsmscls  21164  tsmsmhm  21172  tsmsadd  21173
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