Theorem tsmsfbas 21128

Description: The collection of all sets of the form F ( z ) = { y e. S | z C_ y }, which can be read as the set of all finite subsets of A which contain z as a subset, for each finite subset z of A, form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsfbas.s	|- S = ( ~P A i^i Fin )
tsmsfbas.f	|- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
tsmsfbas.l	|- L = ran F
tsmsfbas.a	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
tsmsfbas	|- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   y, z, S

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( y)   F( y, z)   L( y, z)   W( y, z)

Proof of Theorem tsmsfbas

Dummy variables u a v b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsfbas.a	. 2 |- ( ph -> A e. W )
2		elex 3090	. 2 |- ( A e. W -> A e. _V )
3		tsmsfbas.l	. . 3 |- L = ran F
4		ssrab2 3546	. . . . . . 7 |- { y e. S | z C_ y } C_ S
5		tsmsfbas.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( ~P A i^i Fin )
6		pwexg 4604	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ~P A e. _V )
7		inex1g 4563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
9	5, 8	syl5eqel 2514	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> S e. _V )
10	9	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> S e. _V )
11		elpw2g 4583	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
13	4, 12	mpbiri 236	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } e. ~P S )
14		tsmsfbas.f	. . . . . 6 |- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
15	13, 14	fmptd 6057	. . . . 5 |- ( A e. _V -> F : S --> ~P S )
16		frn 5748	. . . . 5 |- ( F : S --> ~P S -> ran F C_ ~P S )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( A e. _V -> ran F C_ ~P S )
18		0ss 3791	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ A
19		0fin 7801	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. Fin
20		elfpw 7878	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) e. Fin ) )
21	18, 19, 20	mpbir2an 928	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
22	21, 5	eleqtrri 2509	. . . . . . . 8 |- (/) e. S
23		0ss 3791	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ y
24	23	rgenw 2786	. . . . . . . 8 |- A. y e. S (/) C_ y
25		rabid2 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S z C_ y )
26		sseq1 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( z C_ y <-> (/) C_ y ) )
27	26	ralbidv 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( z = (/) -> ( A. y e. S z C_ y <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
28	25, 27	syl5bb 260	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
29	28	rspcev 3182	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. S /\ A. y e. S (/) C_ y ) -> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } )
30	22, 24, 29	mp2an 676	. . . . . . 7 |- E. z e. S S = { y e. S | z C_ y }
31	14	elrnmpt 5096	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
32	9, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
33	30, 32	mpbiri 236	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> S e. ran F )
34		ne0i 3767	. . . . . 6 |- ( S e. ran F -> ran F =/= (/) )
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ran F =/= (/) )
36		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> z e. S )
37		ssid 3483	. . . . . . . . . . . 12 |- z C_ z
38		sseq2 3486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( z C_ y <-> z C_ z ) )
39	38	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. S /\ z C_ z ) -> E. y e. S z C_ y )
40	36, 37, 39	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> E. y e. S z C_ y )
41		rabn0 3782	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | z C_ y } =/= (/) <-> E. y e. S z C_ y )
42	40, 41	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } =/= (/) )
43	42	necomd 2695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> (/) =/= { y e. S | z C_ y } )
44	43	neneqd 2625	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> -. (/) = { y e. S | z C_ y } )
45	44	nrexdv 2881	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> -. E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
46		0ex 4552	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
47	14	elrnmpt 5096	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
49	45, 48	sylnibr 306	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> -. (/) e. ran F )
50		df-nel 2621	. . . . . 6 |- ( (/) e/ ran F <-> -. (/) e. ran F )
51	49, 50	sylibr 215	. . . . 5 |- ( A e. _V -> (/) e/ ran F )
52		elfpw 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( u C_ A /\ u e. Fin ) )
53	52	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
54	53, 5	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. S -> u C_ A )
55		elfpw 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( v C_ A /\ v e. Fin ) )
56	55	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
57	56, 5	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. S -> v C_ A )
58	54, 57	anim12i 568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u C_ A /\ v C_ A ) )
59		unss 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u C_ A /\ v C_ A ) <-> ( u u. v ) C_ A )
60	58, 59	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) C_ A )
61	52	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
62	61, 5	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. S -> u e. Fin )
63	55	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
64	63, 5	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. S -> v e. Fin )
65		unfi 7840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( u u. v ) e. Fin )
66	62, 64, 65	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. Fin )
67		elfpw 7878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( u u. v ) C_ A /\ ( u u. v ) e. Fin ) )
68	60, 66, 67	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
69	68	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
70	69, 5	syl6eleqr 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. S )
71		eqidd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
72		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( u u. v ) -> ( a C_ y <-> ( u u. v ) C_ y ) )
73	72	rabbidv 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( u u. v ) -> { y e. S | a C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
74	73	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( u u. v ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } <-> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
75	74	rspcev 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u u. v ) e. S /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
76	70, 71, 75	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
77	9	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> S e. _V )
78		rabexg 4570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
80		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z C_ y <-> a C_ y ) )
81	80	rabbidv 3072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
82	81	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
83	14, 82	eqtri 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
84	83	elrnmpt 5096	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
85	79, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
86	76, 85	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F )
87		pwidg 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
88	79, 87	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
89		inelcm 3847	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
90	86, 88, 89	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
91	90	ralrimivva 2846	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
92		rabexg 4570	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
93	9, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
94	93	ralrimivw 2840	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V )
95		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( z C_ y <-> u C_ y ) )
96	95	rabbidv 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | u C_ y } )
97	96	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
98	14, 97	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- F = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
99		ineq1 3657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) )
100		inrab 3745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) }
101		unss 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y ) )
103	102	rabbiia 3069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
104	100, 103	eqtri 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
105	99, 104	syl6eq 2479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
106	105	pweqd 3984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
107	106	ineq2d 3664	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) = ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
108	107	neeq1d 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
109	108	ralbidv 2864	. . . . . . . . 9 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
110	98, 109	ralrnmpt 6042	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
111	94, 110	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
112	91, 111	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) )
113		rabexg 4570	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
114	9, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
115	114	ralrimivw 2840	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V )
116		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z C_ y <-> v C_ y ) )
117	116	rabbidv 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = v -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | v C_ y } )
118	117	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
119	14, 118	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- F = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
120		ineq2 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( a i^i b ) = ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
121	120	pweqd 3984	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ~P ( a i^i b ) = ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
122	121	ineq2d 3664	. . . . . . . . . 10 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) = ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) )
123	122	neeq1d 2701	. . . . . . . . 9 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
124	119, 123	ralrnmpt 6042	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
125	115, 124	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
126	125	ralbidv 2864	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
127	112, 126	mpbird 235	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) )
128	35, 51, 127	3jca 1185	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) )
129		isfbas 20830	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
130	9, 129	syl 17	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
131	17, 128, 130	mpbir2and 930	. . 3 |- ( A e. _V -> ran F e. ( fBas ` S ) )
132	3, 131	syl5eqel 2514	. 2 |- ( A e. _V -> L e. ( fBas ` S ) )
133	1, 2, 132	3syl 18	1 |- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   e/ wnel 2619   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   |-> cmpt 4479   ran crn 4850   -->wf 5593   ` cfv 5597   Fincfn 7573   fBascfbas 18945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-fbas 18954

This theorem is referenced by:  eltsms  21133  haustsms  21136  tsmscls  21138  tsmsmhm  21146  tsmsadd  21147