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Theorem tsmsf1o 20813
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsf1o.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsf1o.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsf1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsf1o.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsf1o.s  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
2 f1opwfi 7816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
4 f1of 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )
76fmpt 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
85, 7sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
9 sseq1 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
y  C_  z  <->  ( H " a )  C_  z
) )
109imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
1110ralbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
126, 11rexrnmpt 6017 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
14 f1ofo 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
15 forn 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
163, 14, 153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1716rexeqdv 3058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
18 imaeq2 5321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  ( H " a )  =  ( H " b
) )
1918cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
b ) )
2019fmpt 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
215, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
22 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( H " a
)  C_  z  <->  ( H " a )  C_  ( H " b ) ) )
23 reseq2 5257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( H " b ) ) )
2423oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) ) )
2524eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u ) )
2622, 25imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2719, 26ralrnmpt 6016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2821, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2916raleqdv 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3028, 29bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
32 f1of1 5797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -1-1-> A )
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-> A
)
3433ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-> A )
35 elfpw 7814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  C  /\  a  e. 
Fin ) )
3635simplbi 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  a  C_  C )
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  C )
38 elfpw 7814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( b  C_  C  /\  b  e. 
Fin ) )
3938simplbi 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  C_  C )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  C_  C )
41 f1imass 6147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  ( a  C_  C  /\  b  C_  C ) )  ->  ( ( H " a )  C_  ( H " b )  <-> 
a  C_  b )
)
4234, 37, 40, 41syl12anc 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( H " a
)  C_  ( H " b )  <->  a  C_  b ) )
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
44 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
4738simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
4847adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  Fin )
49 f1ores 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  b  C_  C )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) )
5034, 40, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
) )
51 f1ofo 5805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
)  ->  ( H  |`  b ) : b
-onto-> ( H " b
) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H "
b ) )
53 fofi 7798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H
" b ) )  ->  ( H "
b )  e.  Fin )
5448, 52, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  e. 
Fin )
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5655ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
57 imassrn 5336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H
" b )  C_  ran  H
581ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-onto-> A )
59 f1ofo 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -onto-> A )
60 forn 5780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -onto-> A  ->  ran  H  =  A )
6158, 59, 603syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  H  =  A )
6257, 61syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  C_  A )
6356, 62fssresd 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( H "
b ) ) : ( H " b
) --> B )
64 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
6663, 54, 65fdmfifsupp 7831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( H "
b ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
6743, 44, 46, 54, 63, 66, 50gsumf1o 17123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) ) )
68 df-ima 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H
" b )  =  ran  ( H  |`  b )
6968eqimss2i 3544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( H  |`  b )  C_  ( H " b )
70 cores 5493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  ( H  |`  b
)  C_  ( H " b )  ->  (
( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
72 resco 5494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  o.  H )  |`  b )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
7371, 72eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( ( F  o.  H
)  |`  b )
7473oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )
7567, 74syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) ) )
7675eleq1d 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H
)  |`  b ) )  e.  u ) )
7742, 76imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <-> 
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
7877ralbidva 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
7931, 78bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8079rexbidva 2962 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8113, 17, 803bitr3d 283 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8281imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8382ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8483anbi2d 701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  A. u  e.  (
TopOpen `  G ) ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
85 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
86 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
87 tsmsf1o.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
88 tsmsf1o.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8943, 85, 86, 45, 87, 88, 55eltsms 20797 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
90 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  =  ( ~P C  i^i  Fin )
91 f1dmex 6743 . . . . 5  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  C  e.  _V )
9233, 88, 91syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
93 f1of 5798 . . . . . 6  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C
--> A )
941, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : C --> A )
95 fco 5723 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  H : C --> A )  ->  ( F  o.  H ) : C --> B )
9655, 94, 95syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
) : C --> B )
9743, 85, 90, 45, 87, 92, 96eltsms 20797 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) ) )
9884, 89, 973bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) ) ) )
9998eqrdv 2451 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   TopOpenctopn 14911   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997   TopSpctps 19564   tsums ctsu 20790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-ntr 19688  df-nei 19766  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tsms 20791
This theorem is referenced by:  esumf1o  28279
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