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Theorem tsmsf1o 19719
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsf1o.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsf1o.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsf1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsf1o.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsf1o.s  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
2 f1opwfi 7615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
4 f1of 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
6 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )
76fmpt 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
85, 7sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
9 sseq1 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
y  C_  z  <->  ( H " a )  C_  z
) )
109imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
1110ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
126, 11rexrnmpt 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
14 f1ofo 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
15 forn 5623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
163, 14, 153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1716rexeqdv 2924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
18 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  ( H " a )  =  ( H " b
) )
1918cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
b ) )
2019fmpt 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
215, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
22 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( H " a
)  C_  z  <->  ( H " a )  C_  ( H " b ) ) )
23 reseq2 5105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( H " b ) ) )
2423oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) ) )
2524eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u ) )
2622, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2719, 26ralrnmpt 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2821, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2916raleqdv 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3028, 29bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
32 f1of1 5640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -1-1-> A )
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-> A
)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-> A )
35 elfpw 7613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  C  /\  a  e. 
Fin ) )
3635simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  a  C_  C )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  C )
38 elfpw 7613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( b  C_  C  /\  b  e. 
Fin ) )
3938simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  C_  C )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  C_  C )
41 f1imass 5977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  ( a  C_  C  /\  b  C_  C ) )  ->  ( ( H " a )  C_  ( H " b )  <-> 
a  C_  b )
)
4234, 37, 40, 41syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( H " a
)  C_  ( H " b )  <->  a  C_  b ) )
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
44 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
4738simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  Fin )
49 f1ores 5655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  b  C_  C )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) )
5034, 40, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
) )
51 f1ofo 5648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
)  ->  ( H  |`  b ) : b
-onto-> ( H " b
) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H "
b ) )
53 fofi 7597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H
" b ) )  ->  ( H "
b )  e.  Fin )
5448, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  e. 
Fin )
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
57 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H
" b )  C_  ran  H
581ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-onto-> A )
59 f1ofo 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -onto-> A )
60 forn 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -onto-> A  ->  ran  H  =  A )
6158, 59, 603syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  H  =  A )
6257, 61syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  C_  A )
63 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( H " b ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( H " b ) ) : ( H "
b ) --> B )
6456, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( H "
b ) ) : ( H " b
) --> B )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
6764, 54, 66fdmfifsupp 7630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( H "
b ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
6843, 44, 46, 54, 64, 67, 50gsumf1o 16398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) ) )
69 df-ima 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H
" b )  =  ran  ( H  |`  b )
7069eqimss2i 3411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( H  |`  b )  C_  ( H " b )
71 cores 5341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  ( H  |`  b
)  C_  ( H " b )  ->  (
( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
73 resco 5342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  o.  H )  |`  b )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
7472, 73eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( ( F  o.  H
)  |`  b )
7574oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )
7668, 75syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) ) )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H
)  |`  b ) )  e.  u ) )
7842, 77imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <-> 
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
7978ralbidva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
8031, 79bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8180rexbidva 2732 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8213, 17, 813bitr3d 283 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8382imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8483ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8584anbi2d 703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  A. u  e.  (
TopOpen `  G ) ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
86 eqid 2443 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
87 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
88 tsmsf1o.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
89 tsmsf1o.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9043, 86, 87, 45, 88, 89, 55eltsms 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
91 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  =  ( ~P C  i^i  Fin )
92 f1dmex 6547 . . . . 5  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  C  e.  _V )
9333, 89, 92syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
94 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C
--> A )
951, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : C --> A )
96 fco 5568 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  H : C --> A )  ->  ( F  o.  H ) : C --> B )
9755, 95, 96syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
) : C --> B )
9843, 86, 91, 45, 88, 93, 97eltsms 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) ) )
9985, 90, 983bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) ) ) )
10099eqrdv 2441 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860    e. cmpt 4350   ran crn 4841    |` cres 4842   "cima 4843    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   Basecbs 14174   TopOpenctopn 14360   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379  CMndccmn 16277   TopSpctps 18501   tsums ctsu 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697
This theorem is referenced by:  esumf1o  26504
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