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Theorem tsmscls 20930
Description: One half of tgptsmscls 20946, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmscls.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
Assertion
Ref Expression
tsmscls  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmscls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscls.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
2 tsmscls.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmscls.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
6 tsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
7 tsmscls.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmscls.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8tsmsval 20923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) )
102, 3istps 19731 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
116, 10sylib 198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
12 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x 
C_  y } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
134, 12, 5, 7tsmsfbas 20920 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
14 fgcl 20673 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
16 tsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
172, 4, 16, 7, 8tsmslem1 20921 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
18 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1917, 18fmptd 6035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )
20 flfval 20785 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )  ->  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2111, 15, 19, 20syl3anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
231, 22eleqtrd 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
24 flimsncls 20781 . . 3  |-  ( X  e.  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2523, 24syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2625, 22sseqtr4d 3481 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   {csn 3974    |-> cmpt 4455   ran crn 4826    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Fincfn 7556   Basecbs 14843   TopOpenctopn 15038    gsumg cgsu 15057  CMndccmn 17124   fBascfbas 18728   filGencfg 18729  TopOnctopon 19689   TopSpctps 19691   clsccl 19813   Filcfil 20640    FilMap cfm 20728    fLim cflim 20729    fLimf cflf 20730   tsums ctsu 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-top 19693  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-fil 20641  df-flim 20734  df-flf 20735  df-tsms 20919
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  20946
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