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Theorem tsmscls 19821
Description: One half of tgptsmscls 19837, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmscls.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
Assertion
Ref Expression
tsmscls  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmscls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscls.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
2 tsmscls.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmscls.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
5 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
6 tsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
7 tsmscls.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmscls.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8tsmsval 19814 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) )
102, 3istps 18654 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
116, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
12 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x 
C_  y } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
134, 12, 5, 7tsmsfbas 19811 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
14 fgcl 19564 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
16 tsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
172, 4, 16, 7, 8tsmslem1 19812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
18 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1917, 18fmptd 5963 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )
20 flfval 19676 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )  ->  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2111, 15, 19, 20syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
231, 22eleqtrd 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
24 flimsncls 19672 . . 3  |-  ( X  e.  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2625, 22sseqtr4d 3488 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2797    i^i cin 3422    C_ wss 3423   ~Pcpw 3955   {csn 3972    |-> cmpt 4445   ran crn 4936    |` cres 4937   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Fincfn 7407   Basecbs 14273   TopOpenctopn 14459    gsumg cgsu 14478  CMndccmn 16378   fBascfbas 17910   filGencfg 17911  TopOnctopon 18612   TopSpctps 18614   clsccl 18735   Filcfil 19531    FilMap cfm 19619    fLim cflim 19620    fLimf cflf 19621   tsums ctsu 19809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mnd 15514  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-fbas 17920  df-fg 17921  df-top 18616  df-topon 18619  df-topsp 18620  df-cld 18736  df-ntr 18737  df-cls 18738  df-nei 18815  df-fil 19532  df-flim 19625  df-flf 19626  df-tsms 19810
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  19837
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