MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Structured version   Unicode version

Theorem tsms0 19848
Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsms0.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsms0.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsms0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tsms0  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    ph, x    x, V    x,  .0.

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
2 cmnmnd 16414 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 tsms0.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 tsms0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
65gsumz 15631 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
73, 4, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 tsms0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
108, 5mndidcl 15559 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
113, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  .0.  )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  )
1412, 13fmptd 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  .0.  ) : A --> ( Base `  G )
)
15 fconstmpt 4991 . . . 4  |-  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  A  |->  .0.  )
16 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
175, 16eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
194, 18fczfsuppd 7750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {  .0.  } ) finSupp  .0.  )
2015, 19syl5eqbrr 4435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  .0.  ) finSupp  .0.  )
218, 5, 1, 9, 4, 14, 20tsmsid 19843 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  e.  ( G tsums  ( x  e.  A  |->  .0.  )
) )
227, 21eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3986    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   finSupp cfsupp 7732   Basecbs 14293   0gc0g 14498    gsumg cgsu 14499   Mndcmnd 15529  CMndccmn 16399   TopSpctps 18634   tsums ctsu 19829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mnd 15535  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-top 18636  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-tsms 19830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator