MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwun Structured version   Unicode version

Theorem tskwun 9063
Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tskwun  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e. WUni )

Proof of Theorem tskwun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  ->  Tr  T )
2 simp3 990 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  =/=  (/) )
3 tskuni 9062 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  x  e.  T
)  ->  U. x  e.  T )
433expa 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. x  e.  T
)
543adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  /\  x  e.  T )  ->  U. x  e.  T )
6 tskpw 9032 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T )
763ad2antl1 1150 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T )
8 tskpr 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T )  ->  { x ,  y }  e.  T )
983exp 1187 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( x  e.  T  ->  ( y  e.  T  ->  { x ,  y }  e.  T ) ) )
1093ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  T  ->  ( y  e.  T  ->  { x ,  y }  e.  T ) ) )
1110imp31 432 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  /\  x  e.  T )  /\  y  e.  T )  ->  { x ,  y }  e.  T )
1211ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T )
135, 7, 123jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  /\  x  e.  T )  ->  ( U. x  e.  T  /\  ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T ) )
1413ralrimiva 2830 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  T  ( U. x  e.  T  /\  ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T ) )
15 iswun 8983 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( T  e. WUni  <->  ( Tr  T  /\  T  =/=  (/)  /\  A. x  e.  T  ( U. x  e.  T  /\  ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T ) ) ) )
16153ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( T  e. WUni  <->  ( Tr  T  /\  T  =/=  (/)  /\  A. x  e.  T  ( U. x  e.  T  /\  ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T ) ) ) )
171, 2, 14, 16mpbir3and 1171 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e. WUni )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {cpr 3988   U.cuni 4200   Tr wtr 4494  WUnicwun 8979   Tarskictsk 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-ac2 8744
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-smo 6918  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-oi 7836  df-har 7885  df-r1 8083  df-card 8221  df-aleph 8222  df-cf 8223  df-acn 8224  df-ac 8398  df-wina 8963  df-ina 8964  df-wun 8981  df-tsk 9028
This theorem is referenced by:  tskxp  9066  tskmap  9067
  Copyright terms: Public domain W3C validator