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Theorem tskuni 9056
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 9029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  T )
2 cardidg 8818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  ~~  T )
32ensymd 7465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  ~~  ( card `  T ) )
43adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
5 sdomentr 7550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
7 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( f "
x ) )
87rnmpt 5188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
9 cardon 8220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  T )  e.  On
10 sdomdom 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  ~<_  ( card `  T ) )
11 ondomen 8313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  T
)  e.  On  /\  A  ~<_  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  e.  dom  card )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
14 vex 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " x )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" x )  e. 
_V
1716, 7fnmpti 5642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  Fn  A
18 dffn4 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x ) )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) ) )
1917, 18mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )
20 fodomnum 8333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x
) ) : A -onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A ) )
2113, 19, 20mpisyl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A )
228, 21syl5eqbrr 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<_  A )
23 domsdomtr 7551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<_  A  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2422, 23sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2524adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  /\  A  ~<  ( card `  T ) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( card `  T
) )
266, 25mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
27 ne0i 3746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
28 tskcard 9054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
2927, 28sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
30 elina 8960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc 
<->  ( ( card `  T
)  =/=  (/)  /\  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )  /\  A. x  e.  (
card `  T ) ~P x  ~<  ( card `  T ) ) )
3130simp2bi 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3326, 32breqtrrd 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
34333adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
36293adant2 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( card `  T )  e.  Inacc )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
38 inawina 8963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( card `  T )  e.  InaccW )
39 winalim 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  InaccW  ->  Lim  ( card `  T )
)
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  Lim  ( card `  T )
)
41 vex 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
42 eqeq1 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  ( f
" x )  <->  y  =  ( f " x
) ) )
4342rexbidv 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  A  z  =  ( f " x )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x
) ) )
4441, 43elab 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x ) )
45 imassrn 5283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
46 f1ofo 5751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -onto-> ( card `  T ) )
47 forn 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4945, 48syl5sseq 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
) )
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
51 f1of1 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -1-1-> ( card `  T ) )
52 elssuni 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
53 vex 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
5453f1imaen 7476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : U. A -1-1-> (
card `  T )  /\  x  C_  U. A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
5551, 52, 54syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
5655adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
57 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  e.  Tarski )
58 trss 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  A  C_  T ) )
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  A  C_  T )
60593adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  A  C_  T
)
6160sselda 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  T )
62 tsksdom 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  x  ~<  T )
6357, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  T )
6457, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
65 sdomentr 7550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  ~<  (
card `  T )
)
68 ensdomtr 7552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f " x
)  ~~  x  /\  x  ~<  ( card `  T
) )  ->  (
f " x ) 
~<  ( card `  T
) )
6956, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( card `  T )
)
7037, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7269, 71breqtrrd 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( cf `  ( card `  T ) ) )
73 sseq1 3480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  <->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
) )
74 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  <-> 
( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
7573, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  <->  ( ( f
" x )  C_  ( card `  T )  /\  ( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7675biimprcd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f " x
)  C_  ( card `  T )  /\  (
f " x ) 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7750, 72, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( f " x )  -> 
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7944, 78syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ->  ( y  C_  ( card `  T
)  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8079ralrimiv 2825 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
81 fvex 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  T )  e.  _V
8281cfslb2n 8543 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( card `  T
)  /\  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8340, 80, 82syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8435, 83mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =/=  ( card `  T ) )
8516dfiun2 4307 . . . . . . . 8  |-  U_ x  e.  A  ( f " x )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
8649ralrimivw 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  A. x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
87 iunss 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
)  <->  A. x  e.  A  ( f " x
)  C_  ( card `  T ) )
8886, 87sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
89 fof 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
f : U. A --> ( card `  T )
)
90 foelrn 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : U. A -onto->
( card `  T )  /\  y  e.  ( card `  T ) )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) )
9190ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) ) )
92 eluni2 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  z  e.  x )
93 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  f : U. A --> ( card `  T )
94 nfiu1 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( f " x
)
9594nfel2 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x )
96 ssiun2 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
f " x ) 
C_  U_ x  e.  A  ( f " x
) )
97963ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f " x )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
98 ffn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  f  Fn  U. A )
99983ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  f  Fn  U. A )
100523ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  x  C_  U. A
)
101 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
102 fnfvima 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  Fn  U. A  /\  x  C_  U. A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10399, 100, 101, 102syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10497, 103sseldd 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) )
1051043exp 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) ) )
10693, 95, 105rexlimd 2938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x ) ) )
10792, 106syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
108 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
109107, 108syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( y  =  ( f `  z )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) ) ) )
110109rexlimdv 2940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. z  e.  U. A
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11189, 91, 110sylsyld 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11246, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
y  e.  ( card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x
) ) )
113112ssrdv 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ( card `  T )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
11488, 113eqssd 3476 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  =  ( card `  T
) )
11585, 114syl5eqr 2507 . . . . . . 7  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =  (
card `  T )
)
116115necon3ai 2677 . . . . . 6  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )  ->  -.  f : U. A
-1-1-onto-> ( card `  T )
)
11784, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
118117pm2.01da 442 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
119118nexdv 1822 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
120 entr 7466 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  ~~  ( card `  T ) )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
1213, 120sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
122 bren 7424 . . . . . 6  |-  ( U. A  ~~  ( card `  T
)  <->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
123121, 122sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
124123expcom 435 . . . 4  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
1251243ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
126119, 125mtod 177 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  U. A  ~~  T )
127 uniss 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  T  ->  U. A  C_ 
U. T )
128 df-tr 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  T  <->  U. T  C_  T
)
129128biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  T  ->  U. T  C_  T )
130127, 129sylan9ss 3472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  T  /\  Tr  T )  ->  U. A  C_  T )
131130expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( Tr  T  ->  ( A  C_  T  ->  U. A  C_  T ) )
13258, 131syld 44 . . . . . 6  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  U. A  C_  T ) )
133132imp 429 . . . . 5  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  U. A  C_  T )
134 tsken 9027 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  C_  T )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
135133, 134sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  ( Tr  T  /\  A  e.  T ) )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
1361353impb 1184 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T )
)
137136ord 377 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( -.  U. A  ~~  T  ->  U. A  e.  T
) )
138126, 137mpd 15 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2437    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   U.cuni 4194   U_ciun 4274   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   Tr wtr 4488   Oncon0 4822   Lim wlim 4823   dom cdm 4943   ran crn 4944   "cima 4946    Fn wfn 5516   -->wf 5517   -1-1->wf1 5518   -onto->wfo 5519   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521    ~~ cen 7412    ~<_ cdom 7413    ~< csdm 7414   cardccrd 8211   cfccf 8213   InaccWcwina 8955   Inacccina 8956   Tarskictsk 9021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-ac2 8738
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-smo 6912  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-oi 7830  df-har 7879  df-r1 8077  df-card 8215  df-aleph 8216  df-cf 8217  df-acn 8218  df-ac 8392  df-wina 8957  df-ina 8958  df-tsk 9022
This theorem is referenced by:  tskwun  9057  tskint  9058  tskun  9059  tskurn  9062
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