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Theorem tskuni 9234
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 9207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  T )
2 cardidg 8999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  ~~  T )
32ensymd 7646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  ~~  ( card `  T ) )
43adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
5 sdomentr 7732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
61, 4, 5syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
7 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( f "
x ) )
87rnmpt 5099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
9 cardon 8404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  T )  e.  On
10 sdomdom 7623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  ~<_  ( card `  T ) )
11 ondomen 8494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  T
)  e.  On  /\  A  ~<_  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
129, 10, 11sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  e.  dom  card )
1312adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
14 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " x )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" x )  e. 
_V
1716, 7fnmpti 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  Fn  A
18 dffn4 5822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x ) )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) ) )
1917, 18mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )
20 fodomnum 8514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x
) ) : A -onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A ) )
2113, 19, 20mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A )
228, 21syl5eqbrr 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<_  A )
23 domsdomtr 7733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<_  A  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2422, 23sylancom 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2524adantll 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  /\  A  ~<  ( card `  T ) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( card `  T
) )
266, 25mpdan 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
27 ne0i 3749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
28 tskcard 9232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
2927, 28sylan2 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
30 elina 9138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc 
<->  ( ( card `  T
)  =/=  (/)  /\  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )  /\  A. x  e.  (
card `  T ) ~P x  ~<  ( card `  T ) ) )
3130simp2bi 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3326, 32breqtrrd 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
34333adant2 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )
3534adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
36293adant2 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( card `  T )  e.  Inacc )
3736adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
38 inawina 9141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( card `  T )  e.  InaccW )
39 winalim 9146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  InaccW  ->  Lim  ( card `  T )
)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  Lim  ( card `  T )
)
41 vex 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
42 eqeq1 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  ( f
" x )  <->  y  =  ( f " x
) ) )
4342rexbidv 2913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  A  z  =  ( f " x )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x
) ) )
4441, 43elab 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x ) )
45 imassrn 5198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
46 f1ofo 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -onto-> ( card `  T ) )
47 forn 5819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4945, 48syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
) )
5049ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
51 f1of1 5836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -1-1-> ( card `  T ) )
52 elssuni 4241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
53 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
5453f1imaen 7657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : U. A -1-1-> (
card `  T )  /\  x  C_  U. A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
5551, 52, 54syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
5655adantll 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
57 simpl1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  e.  Tarski )
58 trss 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  A  C_  T ) )
5958imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  A  C_  T )
60593adant1 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  A  C_  T
)
6160sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  T )
62 tsksdom 9207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  x  ~<  T )
6357, 61, 62syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  T )
6457, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
65 sdomentr 7732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6663, 64, 65syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6766adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  ~<  (
card `  T )
)
68 ensdomtr 7734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f " x
)  ~~  x  /\  x  ~<  ( card `  T
) )  ->  (
f " x ) 
~<  ( card `  T
) )
6956, 67, 68syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( card `  T )
)
7037, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7170adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7269, 71breqtrrd 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( cf `  ( card `  T ) ) )
73 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  <->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
) )
74 breq1 4419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  <-> 
( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
7573, 74anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  <->  ( ( f
" x )  C_  ( card `  T )  /\  ( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7675biimprcd 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f " x
)  C_  ( card `  T )  /\  (
f " x ) 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7750, 72, 76syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( f " x )  -> 
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7944, 78syl5bi 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ->  ( y  C_  ( card `  T
)  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8079ralrimiv 2812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
81 fvex 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  T )  e.  _V
8281cfslb2n 8724 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( card `  T
)  /\  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8340, 80, 82syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8435, 83mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =/=  ( card `  T ) )
8516dfiun2 4326 . . . . . . . 8  |-  U_ x  e.  A  ( f " x )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
8649ralrimivw 2815 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  A. x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
87 iunss 4333 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
)  <->  A. x  e.  A  ( f " x
)  C_  ( card `  T ) )
8886, 87sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
89 fof 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
f : U. A --> ( card `  T )
)
90 foelrn 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : U. A -onto->
( card `  T )  /\  y  e.  ( card `  T ) )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) )
9190ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) ) )
92 eluni2 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  z  e.  x )
93 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  f : U. A --> ( card `  T )
94 nfiu1 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( f " x
)
9594nfel2 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x )
96 ssiun2 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
f " x ) 
C_  U_ x  e.  A  ( f " x
) )
97963ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f " x )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
98 ffn 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  f  Fn  U. A )
99983ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  f  Fn  U. A )
100523ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  x  C_  U. A
)
101 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
102 fnfvima 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  Fn  U. A  /\  x  C_  U. A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10399, 100, 101, 102syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10497, 103sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) )
1051043exp 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) ) )
10693, 95, 105rexlimd 2883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x ) ) )
10792, 106syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
108 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
109107, 108syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( y  =  ( f `  z )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) ) ) )
110109rexlimdv 2889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. z  e.  U. A
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11189, 91, 110sylsyld 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11246, 111syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
y  e.  ( card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x
) ) )
113112ssrdv 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ( card `  T )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
11488, 113eqssd 3461 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  =  ( card `  T
) )
11585, 114syl5eqr 2510 . . . . . . 7  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =  (
card `  T )
)
116115necon3ai 2661 . . . . . 6  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )  ->  -.  f : U. A
-1-1-onto-> ( card `  T )
)
11784, 116syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
118117pm2.01da 448 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
119118nexdv 1793 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
120 entr 7647 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  ~~  ( card `  T ) )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
1213, 120sylan2 481 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
122 bren 7604 . . . . . 6  |-  ( U. A  ~~  ( card `  T
)  <->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
123121, 122sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
124123expcom 441 . . . 4  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
1251243ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
126119, 125mtod 182 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  U. A  ~~  T )
127 uniss 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  T  ->  U. A  C_ 
U. T )
128 df-tr 4512 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  T  <->  U. T  C_  T
)
129128biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  T  ->  U. T  C_  T )
130127, 129sylan9ss 3457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  T  /\  Tr  T )  ->  U. A  C_  T )
131130expcom 441 . . . . . . 7  |-  ( Tr  T  ->  ( A  C_  T  ->  U. A  C_  T ) )
13258, 131syld 45 . . . . . 6  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  U. A  C_  T ) )
133132imp 435 . . . . 5  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  U. A  C_  T )
134 tsken 9205 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  C_  T )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
135133, 134sylan2 481 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  ( Tr  T  /\  A  e.  T ) )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
1361353impb 1211 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T )
)
137136ord 383 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( -.  U. A  ~~  T  ->  U. A  e.  T
) )
138126, 137mpd 15 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   {cab 2448    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   Tr wtr 4511   dom cdm 4853   ran crn 4854   "cima 4856   Oncon0 5442   Lim wlim 5443    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601    ~~ cen 7592    ~<_ cdom 7593    ~< csdm 7594   cardccrd 8395   cfccf 8397   InaccWcwina 9133   Inacccina 9134   Tarskictsk 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-ac2 8919
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-smo 7091  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-oi 8051  df-har 8099  df-r1 8261  df-card 8399  df-aleph 8400  df-cf 8401  df-acn 8402  df-ac 8573  df-wina 9135  df-ina 9136  df-tsk 9200
This theorem is referenced by:  tskwun  9235  tskint  9236  tskun  9237  tskurn  9240  pwinfi3  36212
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