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Theorem tskuni 9159
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  T )
2 cardidg 8924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  ~~  T )
32ensymd 7574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  ~~  ( card `  T ) )
43adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
5 sdomentr 7659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
61, 4, 5syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
7 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( f "
x ) )
87rnmpt 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
9 cardon 8330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  T )  e.  On
10 sdomdom 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  ~<_  ( card `  T ) )
11 ondomen 8419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  T
)  e.  On  /\  A  ~<_  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
129, 10, 11sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  e.  dom  card )
1312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
14 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " x )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" x )  e. 
_V
1716, 7fnmpti 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  Fn  A
18 dffn4 5759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x ) )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) ) )
1917, 18mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )
20 fodomnum 8439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x
) ) : A -onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A ) )
2113, 19, 20mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A )
228, 21syl5eqbrr 4401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<_  A )
23 domsdomtr 7660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<_  A  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2422, 23sylancom 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2524adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  /\  A  ~<  ( card `  T ) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( card `  T
) )
266, 25mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
27 ne0i 3710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
28 tskcard 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
2927, 28sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
30 elina 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc 
<->  ( ( card `  T
)  =/=  (/)  /\  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )  /\  A. x  e.  (
card `  T ) ~P x  ~<  ( card `  T ) ) )
3130simp2bi 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3326, 32breqtrrd 4393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
34333adant2 1024 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )
3534adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
36293adant2 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( card `  T )  e.  Inacc )
3736adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
38 inawina 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( card `  T )  e.  InaccW )
39 winalim 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  InaccW  ->  Lim  ( card `  T )
)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  Lim  ( card `  T )
)
41 vex 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
42 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  ( f
" x )  <->  y  =  ( f " x
) ) )
4342rexbidv 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  A  z  =  ( f " x )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x
) ) )
4441, 43elab 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x ) )
45 imassrn 5141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
46 f1ofo 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -onto-> ( card `  T ) )
47 forn 5756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4945, 48syl5sseq 3455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
) )
5049ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
51 f1of1 5773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -1-1-> ( card `  T ) )
52 elssuni 4191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
53 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
5453f1imaen 7585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : U. A -1-1-> (
card `  T )  /\  x  C_  U. A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
5551, 52, 54syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
5655adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
57 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  e.  Tarski )
58 trss 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  A  C_  T ) )
5958imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  A  C_  T )
60593adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  A  C_  T
)
6160sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  T )
62 tsksdom 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  x  ~<  T )
6357, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  T )
6457, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
65 sdomentr 7659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6663, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6766adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  ~<  (
card `  T )
)
68 ensdomtr 7661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f " x
)  ~~  x  /\  x  ~<  ( card `  T
) )  ->  (
f " x ) 
~<  ( card `  T
) )
6956, 67, 68syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( card `  T )
)
7037, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7170adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7269, 71breqtrrd 4393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( cf `  ( card `  T ) ) )
73 sseq1 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  <->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
) )
74 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  <-> 
( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
7573, 74anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  <->  ( ( f
" x )  C_  ( card `  T )  /\  ( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7675biimprcd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f " x
)  C_  ( card `  T )  /\  (
f " x ) 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7750, 72, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( f " x )  -> 
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7944, 78syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ->  ( y  C_  ( card `  T
)  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8079ralrimiv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
81 fvex 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  T )  e.  _V
8281cfslb2n 8649 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( card `  T
)  /\  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8340, 80, 82syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8435, 83mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =/=  ( card `  T ) )
8516dfiun2 4276 . . . . . . . 8  |-  U_ x  e.  A  ( f " x )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
8649ralrimivw 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  A. x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
87 iunss 4283 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
)  <->  A. x  e.  A  ( f " x
)  C_  ( card `  T ) )
8886, 87sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
89 fof 5753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
f : U. A --> ( card `  T )
)
90 foelrn 6000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : U. A -onto->
( card `  T )  /\  y  e.  ( card `  T ) )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) )
9190ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) ) )
92 eluni2 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  z  e.  x )
93 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  f : U. A --> ( card `  T )
94 nfiu1 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( f " x
)
9594nfel2 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x )
96 ssiun2 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
f " x ) 
C_  U_ x  e.  A  ( f " x
) )
97963ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f " x )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
98 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  f  Fn  U. A )
99983ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  f  Fn  U. A )
100523ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  x  C_  U. A
)
101 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
102 fnfvima 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  Fn  U. A  /\  x  C_  U. A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10399, 100, 101, 102syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10497, 103sseldd 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) )
1051043exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) ) )
10693, 95, 105rexlimd 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x ) ) )
10792, 106syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
108 eleq1a 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
109107, 108syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( y  =  ( f `  z )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) ) ) )
110109rexlimdv 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. z  e.  U. A
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11189, 91, 110sylsyld 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11246, 111syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
y  e.  ( card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x
) ) )
113112ssrdv 3413 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ( card `  T )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
11488, 113eqssd 3424 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  =  ( card `  T
) )
11585, 114syl5eqr 2476 . . . . . . 7  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =  (
card `  T )
)
116115necon3ai 2626 . . . . . 6  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )  ->  -.  f : U. A
-1-1-onto-> ( card `  T )
)
11784, 116syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
118117pm2.01da 443 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
119118nexdv 1775 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
120 entr 7575 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  ~~  ( card `  T ) )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
1213, 120sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
122 bren 7533 . . . . . 6  |-  ( U. A  ~~  ( card `  T
)  <->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
123121, 122sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
124123expcom 436 . . . 4  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
1251243ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
126119, 125mtod 180 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  U. A  ~~  T )
127 uniss 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  T  ->  U. A  C_ 
U. T )
128 df-tr 4462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  T  <->  U. T  C_  T
)
129128biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  T  ->  U. T  C_  T )
130127, 129sylan9ss 3420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  T  /\  Tr  T )  ->  U. A  C_  T )
131130expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( Tr  T  ->  ( A  C_  T  ->  U. A  C_  T ) )
13258, 131syld 45 . . . . . 6  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  U. A  C_  T ) )
133132imp 430 . . . . 5  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  U. A  C_  T )
134 tsken 9130 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  C_  T )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
135133, 134sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  ( Tr  T  /\  A  e.  T ) )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
1361353impb 1201 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T )
)
137136ord 378 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( -.  U. A  ~~  T  ->  U. A  e.  T
) )
138126, 137mpd 15 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   {cab 2414    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   U.cuni 4162   U_ciun 4242   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   Tr wtr 4461   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799   Oncon0 5385   Lim wlim 5386    Fn wfn 5539   -->wf 5540   -1-1->wf1 5541   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544    ~~ cen 7521    ~<_ cdom 7522    ~< csdm 7523   cardccrd 8321   cfccf 8323   InaccWcwina 9058   Inacccina 9059   Tarskictsk 9124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-ac2 8844
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-smo 7020  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-oi 7978  df-har 8026  df-r1 8187  df-card 8325  df-aleph 8326  df-cf 8327  df-acn 8328  df-ac 8498  df-wina 9060  df-ina 9061  df-tsk 9125
This theorem is referenced by:  tskwun  9160  tskint  9161  tskun  9162  tskurn  9165  pwinfi3  36080
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