MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskun Structured version   Unicode version

Theorem tskun 9153
Description: The union of two elements of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
tskun  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  ( A  u.  B
)  e.  T )

Proof of Theorem tskun
StepHypRef Expression
1 uniprg 4249 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
213adant1 1012 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3 simp1l 1018 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  T  e.  Tarski )
4 simp1r 1019 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  Tr  T )
5 tskpr 9137 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)
653adant1r 1219 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T )
7 tskuni 9150 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  { A ,  B }  e.  T
)  ->  U. { A ,  B }  e.  T
)
83, 4, 6, 7syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  U. { A ,  B }  e.  T
)
92, 8eqeltrrd 2543 1  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  ( A  u.  B
)  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459   {cpr 4018   U.cuni 4235   Tr wtr 4532   Tarskictsk 9115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-smo 7009  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-har 7976  df-r1 8173  df-card 8311  df-aleph 8312  df-cf 8313  df-acn 8314  df-ac 8488  df-wina 9051  df-ina 9052  df-tsk 9116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator