MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Unicode version

Theorem tskpr 9160
Description: If  A and  B are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  T  e.  Tarski )
2 prssi 4189 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  C_  T )
323adant1 1014 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  C_  T
)
4 prfi 7807 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
5 isfinite 8081 . . . . 5  |-  ( { A ,  B }  e.  Fin  <->  { A ,  B }  ~<  om )
64, 5mpbi 208 . . . 4  |-  { A ,  B }  ~<  om
7 ne0i 3796 . . . . 5  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
8 tskinf 9159 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
97, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  om  ~<_  T )
10 sdomdomtr 7662 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  ~<  om  /\  om  ~<_  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
116, 9, 10sylancr 663 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
12113adant3 1016 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
13 tskssel 9147 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  { A ,  B }  C_  T  /\  { A ,  B }  ~<  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)
141, 3, 12, 13syl3anc 1228 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453   omcom 6695    ~<_ cdom 7526    ~< csdm 7527   Fincfn 7528   Tarskictsk 9138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-r1 8194  df-tsk 9139
This theorem is referenced by:  tskop  9161  tskwun  9174  tskun  9176  grutsk1  9211
  Copyright terms: Public domain W3C validator