MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Unicode version

Theorem tskinf 9050
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 8096 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 6593 . . . 4  |-  om  C_  On
3 omex 7963 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43f1imaen 7484 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1 " om )  ~~  om )
51, 2, 4mp2an 672 . . 3  |-  ( R1
" om )  ~~  om
65ensymi 7472 . 2  |-  om  ~~  ( R1 " om )
7 simpl 457 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e.  Tarski )
8 tskr1om 9048 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  C_  T )
9 ssdomg 7468 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( ( R1
" om )  C_  T  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
)
107, 8, 9sylc 60 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
11 endomtr 7480 . 2  |-  ( ( om  ~~  ( R1
" om )  /\  ( R1 " om )  ~<_  T )  ->  om  ~<_  T )
126, 10, 11sylancr 663 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   Oncon0 4830   "cima 4954   -1-1->wf1 5526   omcom 6589    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421   R1cr1 8083   Tarskictsk 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-r1 8085  df-tsk 9030
This theorem is referenced by:  tskpr  9051
  Copyright terms: Public domain W3C validator