MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Unicode version

Theorem tskinf 9095
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 8143 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 6640 . . . 4  |-  om  C_  On
3 omex 8011 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43f1imaen 7533 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1 " om )  ~~  om )
51, 2, 4mp2an 670 . . 3  |-  ( R1
" om )  ~~  om
65ensymi 7521 . 2  |-  om  ~~  ( R1 " om )
7 simpl 455 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e.  Tarski )
8 tskr1om 9093 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  C_  T )
9 ssdomg 7517 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( ( R1
" om )  C_  T  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
)
107, 8, 9sylc 59 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
11 endomtr 7529 . 2  |-  ( ( om  ~~  ( R1
" om )  /\  ( R1 " om )  ~<_  T )  ->  om  ~<_  T )
126, 10, 11sylancr 661 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1840    =/= wne 2596   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392   Oncon0 4819   "cima 4943   -1-1->wf1 5520   omcom 6636    ~~ cen 7469    ~<_ cdom 7470   R1cr1 8130   Tarskictsk 9074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-r1 8132  df-tsk 9075
This theorem is referenced by:  tskpr  9096
  Copyright terms: Public domain W3C validator