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Theorem trust 21244
Description: The trace of a uniform structure  U on a subset  A is a uniform structure on  A. Definition 3 of [BourbakiTop1] p. II.9. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
trust  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )

Proof of Theorem trust
Dummy variables  v  u  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 15330 . . . 4  |-  ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  C_  ~P ( A  X.  A
) )
3 inxp 4967 . . . . . 6  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( X  i^i  A )  X.  ( X  i^i  A ) )
4 dfss1 3637 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
54biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  X  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
65sqxpeqd 4860 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  i^i  A
)  X.  ( X  i^i  A ) )  =  ( A  X.  A ) )
73, 6syl5eq 2497 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
87adantl 468 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
9 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 elfvex 5892 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  _V )
12 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
1311, 12ssexd 4550 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
14 xpexg 6593 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
1513, 13, 14syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e. 
_V )
16 ustbasel 21221 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( X  X.  X )  e.  U
)
1716adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  X.  X )  e.  U )
18 elrestr 15327 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  ( X  X.  X )  e.  U
)  ->  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
199, 15, 17, 18syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
208, 19eqeltrrd 2530 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
219ad5antr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
2215ad5antr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
23 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  e.  U )
24 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )
2524elpwid 3961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( A  X.  A ) )
2612ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  A  C_  X )
27 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  A  C_  X )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2826, 26, 27syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2925, 28sstrd 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
30 ustssxp 21219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  u  C_  ( X  X.  X
) )
3121, 23, 30syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  C_  ( X  X.  X ) )
3229, 31unssd 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  C_  ( X  X.  X ) )
33 ssun2 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( w  u.  u
)
34 ustssel 21220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( u  C_  (
w  u.  u )  ->  ( w  u.  u )  e.  U
) )
3533, 34mpi 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
3621, 23, 32, 35syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
37 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
C_  ( A  X.  A )  <->  ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  =  w )
3825, 37sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  i^i  ( A  X.  A ) )  =  w )
3938uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
40 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
41 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  C_  w )
4240, 41eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w )
43 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w  <->  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4442, 43sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4539, 44eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  i^i  ( A  X.  A ) )  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
46 indir 3691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4745, 46syl6eqr 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
48 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4948eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  w  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5049rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  U  /\  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5136, 47, 50syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
52 elrest 15326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5352biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
5421, 22, 51, 53syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
55 simp1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
56153adant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
57 simp3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
58 elrest 15326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5958biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6055, 56, 57, 59syl21anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
61603expa 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6261ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
6354, 62r19.29a 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
6463ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )  ->  ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
6564ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
669ad5antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
6715ad5antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
68 simpllr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  u  e.  U
)
69 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  x  e.  U
)
70 ustincl 21222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  x  e.  U )  ->  (
u  i^i  x )  e.  U )
7166, 68, 69, 70syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( u  i^i  x )  e.  U
)
72 simprl 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
73 simprr 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7472, 73ineq12d 3635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
75 inindir 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  i^i  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7674, 75syl6eqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) )
77 ineq1 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
y  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7877eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7978rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  x
)  e.  U  /\  ( v  i^i  w
)  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
8071, 76, 79syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
81 elrest 15326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8281biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. y  e.  U  (
v  i^i  w )  =  ( y  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8366, 67, 80, 82syl21anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
8461adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
859ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
8615ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
87 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8852biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8985, 86, 87, 88syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
90 reeanv 2958 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  U  E. x  e.  U  (
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9184, 89, 90sylanbrc 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  E. x  e.  U  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9283, 91r19.29vva 2934 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
9392ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
94 simp-4l 776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
95 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  u  e.  U )
96 ustdiag 21223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
9794, 95, 96syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u
)
98 simp-4r 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  A  C_  X
)
99 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (  _I  |`  X )
100 resss 5128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I  |`  X )  C_  _I
10199, 100sstri 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  _I
102 iss 5152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  _I 
<->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  (  _I  |`  dom  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
103101, 102mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
104 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
105 ssel2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  X )
106 equid 1855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  =  u
107 resieq 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( u (  _I  |`  X ) u  <->  u  =  u ) )
108106, 107mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
109105, 105, 108syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
110 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  u  ->  (
u (  _I  |`  X ) v  <->  u (  _I  |`  X ) u ) )
111110rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  A  /\  u (  _I  |`  X ) u )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
112104, 109, 111syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
113112ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  X  ->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
114 dminxp 5277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  <->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
115113, 114sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
116115reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  A ) )
117103, 116syl5req 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
118117adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
119 ssrin 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  X )  C_  u  ->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
120119adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
121118, 120eqsstrd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
12297, 98, 121syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
123 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
124122, 123sseqtr4d 3469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  v
)
125124, 61r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A ) 
C_  v )
12615ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
127 ustinvel 21224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  `' u  e.  U )
12894, 95, 127syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' u  e.  U )
129123cnveqd 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  `' ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
130 cnvin 5243 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )
131 cnvxp 5254 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
132131ineq2i 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) )
133130, 132eqtri 2473 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) )
134129, 133syl6eq 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
135 ineq1 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  `' u  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
136135eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  `' u  -> 
( `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
137136rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' u  e.  U  /\  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
138128, 134, 137syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
139 elrest 15326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  ( `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  <->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
140139biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
14194, 126, 138, 140syl21anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
142141, 61r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
143 simp-4l 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
14415ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
145 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  x  e.  U )
146 elrestr 15327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  x  e.  U )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
147143, 144, 145, 146syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
148 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  x
149 coss1 4990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
150 coss2 4991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
x  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x ) )
151149, 150sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
) )
152148, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
)
153 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
154152, 153mpan 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  o.  x ) 
C_  u  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  u )
155154adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
156 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
157 coss1 4990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
158 coss2 4991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( A  X.  A
)  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A
) ) )
159157, 158sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) ) )
160156, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )
161 xpidtr 5222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
162160, 161sstri 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( A  X.  A
)
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( A  X.  A ) )
164155, 163ssind 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
165 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
166165, 165coeq12d 4999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
w  o.  w )  =  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
167166sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
( w  o.  w
)  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  <->  ( (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
168167rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
169147, 164, 168syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
170 ustexhalf 21225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
171170adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
172169, 171r19.29a 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
17394, 98, 95, 172syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
174123sseq2d 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (
w  o.  w ) 
C_  v  <->  ( w  o.  w )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
175174rexbidv 2901 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
176173, 175mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v )
177176, 61r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  v )
178125, 142, 1773jca 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
17965, 93, 1783jca 1188 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
180179ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  (
(  _I  |`  A ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )
1812, 20, 1803jca 1188 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) )
182 isust 21218 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
18313, 182syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
184181, 183mpbird 236 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402    _I cid 4744    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834    |` cres 4836    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319  UnifOncust 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-rest 15321  df-ust 21215
This theorem is referenced by:  restutop  21252  restutopopn  21253  ressust  21279  ressusp  21280  trcfilu  21309  cfiluweak  21310
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