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Theorem trust 20467
Description: The trace of a uniform structure  U on a subset  A is a uniform structure on  A. Definition 3 of [BourbakiTop1] p. II.9. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
trust  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )

Proof of Theorem trust
Dummy variables  v  u  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 14683 . . . 4  |-  ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  C_  ~P ( A  X.  A
) )
3 inxp 5133 . . . . . 6  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( X  i^i  A )  X.  ( X  i^i  A ) )
4 dfss1 3703 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
54biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  X  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
65, 5xpeq12d 5024 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  i^i  A
)  X.  ( X  i^i  A ) )  =  ( A  X.  A ) )
73, 6syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
9 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 elfvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  _V )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
1311, 12ssexd 4594 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
14 xpexg 6709 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
1513, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e. 
_V )
16 ustbasel 20444 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( X  X.  X )  e.  U
)
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  X.  X )  e.  U )
18 elrestr 14680 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  ( X  X.  X )  e.  U
)  ->  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
199, 15, 17, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
208, 19eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
219ad5antr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
2215ad5antr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
23 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  e.  U )
24 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )
2524elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( A  X.  A ) )
2612ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  A  C_  X )
27 xpss12 5106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  A  C_  X )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2826, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2925, 28sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
30 ustssxp 20442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  u  C_  ( X  X.  X
) )
3121, 23, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  C_  ( X  X.  X ) )
3229, 31unssd 3680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  C_  ( X  X.  X ) )
33 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( w  u.  u
)
34 ustssel 20443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( u  C_  (
w  u.  u )  ->  ( w  u.  u )  e.  U
) )
3533, 34mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
3621, 23, 32, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
37 df-ss 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
C_  ( A  X.  A )  <->  ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  =  w )
3825, 37sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  i^i  ( A  X.  A ) )  =  w )
3938uneq1d 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  C_  w )
4240, 41eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w )
43 ssequn2 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w  <->  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4442, 43sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4539, 44eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  i^i  ( A  X.  A ) )  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
46 indir 3746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4745, 46syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
48 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4948eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  w  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5049rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  U  /\  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5136, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
52 elrest 14679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5352biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
5421, 22, 51, 53syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
55 simp1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
56153adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
57 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
58 elrest 14679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6055, 56, 57, 59syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
61603expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
6354, 62r19.29a 3003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
6463ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )  ->  ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
6564ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
669ad5antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
6715ad5antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
68 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  u  e.  U
)
69 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  x  e.  U
)
70 ustincl 20445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  x  e.  U )  ->  (
u  i^i  x )  e.  U )
7166, 68, 69, 70syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( u  i^i  x )  e.  U
)
72 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
73 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7472, 73ineq12d 3701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
75 inindir 3716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  i^i  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7674, 75syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) )
77 ineq1 3693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
y  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7877eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7978rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  x
)  e.  U  /\  ( v  i^i  w
)  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
8071, 76, 79syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
81 elrest 14679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8281biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. y  e.  U  (
v  i^i  w )  =  ( y  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8366, 67, 80, 82syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
8461adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
859ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
8615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
87 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8852biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8985, 86, 87, 88syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
90 reeanv 3029 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  U  E. x  e.  U  (
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9184, 89, 90sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  E. x  e.  U  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9283, 91r19.29_2a 3005 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
9392ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
94 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
95 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  u  e.  U )
96 ustdiag 20446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
9794, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u
)
98 simp-4r 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  A  C_  X
)
99 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (  _I  |`  X )
100 resss 5295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I  |`  X )  C_  _I
10199, 100sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  _I
102 iss 5319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  _I 
<->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  (  _I  |`  dom  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
103101, 102mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
105 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  X )
106 equid 1740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  =  u
107 resieq 5282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( u (  _I  |`  X ) u  <->  u  =  u ) )
108106, 107mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
109105, 105, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
110 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  u  ->  (
u (  _I  |`  X ) v  <->  u (  _I  |`  X ) u ) )
111110rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  A  /\  u (  _I  |`  X ) u )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
112104, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
113112ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  X  ->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
114 dminxp 5445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  <->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
115113, 114sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
116115reseq2d 5271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  A ) )
117103, 116syl5req 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
119 ssrin 3723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  X )  C_  u  ->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
121118, 120eqsstrd 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
12297, 98, 121syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
123 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
124122, 123sseqtr4d 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  v
)
125124, 61r19.29a 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A ) 
C_  v )
12615ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
127 ustinvel 20447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  `' u  e.  U )
12894, 95, 127syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' u  e.  U )
129123cnveqd 5176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  `' ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
130 cnvin 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )
131 cnvxp 5422 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
132131ineq2i 3697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) )
133130, 132eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) )
134129, 133syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
135 ineq1 3693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  `' u  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
136135eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  `' u  -> 
( `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
137136rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' u  e.  U  /\  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
138128, 134, 137syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
139 elrest 14679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  ( `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  <->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
140139biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
14194, 126, 138, 140syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
142141, 61r19.29a 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
143 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
14415ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
145 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  x  e.  U )
146 elrestr 14680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  x  e.  U )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
147143, 144, 145, 146syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
148 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  x
149 coss1 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
150 coss2 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
x  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x ) )
151149, 150sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
) )
152148, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
)
153 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
154152, 153mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  o.  x ) 
C_  u  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  u )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
156 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
157 coss1 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
158 coss2 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( A  X.  A
)  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A
) ) )
159157, 158sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) ) )
160156, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )
161 xpidtr 5387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
162160, 161sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( A  X.  A
)
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( A  X.  A ) )
164155, 163ssind 3722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
165 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
166165, 165coeq12d 5165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
w  o.  w )  =  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
167166sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
( w  o.  w
)  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  <->  ( (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
168167rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
169147, 164, 168syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
170 ustexhalf 20448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
171170adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
172169, 171r19.29a 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
17394, 98, 95, 172syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
174123sseq2d 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (
w  o.  w ) 
C_  v  <->  ( w  o.  w )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
175174rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
176173, 175mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v )
177176, 61r19.29a 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  v )
178125, 142, 1773jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
17965, 93, 1783jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
180179ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  (
(  _I  |`  A ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )
1812, 20, 1803jca 1176 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) )
182 isust 20441 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
18313, 182syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
184181, 183mpbird 232 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    _I cid 4790    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672  UnifOncust 20437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-rest 14674  df-ust 20438
This theorem is referenced by:  restutop  20475  restutopopn  20476  ressust  20502  ressusp  20503  trcfilu  20532  cfiluweak  20533
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