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Theorem truniALT 36902
Description: The union of a class of transitive sets is transitive. Alternate proof of truni 4511. truniALT 36902 is truniALTVD 37275 without virtual deductions and was automatically derived from truniALTVD 37275 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command. (Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
truniALT  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem truniALT
Dummy variables  q 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  ->  y  e.  U. A )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
y  e.  U. A
) )
3 eluni 4201 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. q
( y  e.  q  /\  q  e.  A
) )
42, 3syl6ib 230 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  ->  E. q ( y  e.  q  /\  q  e.  A ) ) )
5 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  ->  z  e.  y )
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
z  e.  y ) )
7 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  y  e.  q )
872a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  y  e.  q ) ) )
9 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
1092a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A ) ) )
11 rspsbc 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  [. q  /  x ]. Tr  x
) )
1211com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( q  e.  A  ->  [. q  /  x ]. Tr  x ) )
1310, 12syl6d 71 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  [. q  /  x ]. Tr  x
) ) )
14 trsbc 36901 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  q
) )
1514biimpd 211 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  ->  Tr  q ) )
1610, 13, 15ee33 36878 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  Tr  q ) ) )
17 trel 4504 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  q  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  q )  ->  z  e.  q ) )
1817expdcom 441 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  (
y  e.  q  -> 
( Tr  q  -> 
z  e.  q ) ) )
196, 8, 16, 18ee233 36876 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  q ) ) )
20 elunii 4203 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A
)
2120ex 436 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  q  ->  (
q  e.  A  -> 
z  e.  U. A
) )
2219, 10, 21ee33 36878 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A ) ) )
2322alrimdv 1775 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  ->  A. q ( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A ) ) )
24 19.23v 1818 . . . . 5  |-  ( A. q ( ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A )  <->  ( E. q ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A ) )
2523, 24syl6ib 230 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
( E. q ( y  e.  q  /\  q  e.  A )  ->  z  e.  U. A
) ) )
264, 25mpdd 41 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
z  e.  U. A
) )
2726alrimivv 1774 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
U. A )  -> 
z  e.  U. A
) )
28 dftr2 4499 . 2  |-  ( Tr 
U. A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  U. A )  -> 
z  e.  U. A
) )
2927, 28sylibr 216 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  U. A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   [.wsbc 3267   U.cuni 4198   Tr wtr 4497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-v 3047  df-sbc 3268  df-in 3411  df-ss 3418  df-uni 4199  df-tr 4498
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