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Theorem trufil 19614
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter  L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )

Proof of Theorem trufil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 19608 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) )
2 ufilfil 19608 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
3 trfil3 19592 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
42, 3sylan 471 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
51, 4syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  -.  ( Y  \  A )  e.  L
) )
64biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7 elpwi 3976 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
8 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  L  e.  ( UFil `  Y )
)
9 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
10 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  A  C_  Y
)
119, 10sstrd 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  Y
)
12 ufilss 19609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L ) )
138, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  \/  ( Y  \  x )  e.  L ) )
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
15 elfvdm 5824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  Y  e.  dom  UFil )
16 ssexg 4545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  UFil )  ->  A  e.  _V )
1714, 15, 16syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
18 elrestr 14485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  L )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
19183expia 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2017, 19syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
22 df-ss 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
239, 22sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  i^i  A )  =  x )
2423eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A )  <->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
2521, 24sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
26 indif1 3701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  x )  i^i  A )  =  ( ( Y  i^i  A )  \  x )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  C_  Y )
28 dfss1 3662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
3029difeq1d 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  i^i  A
)  \  x )  =  ( A  \  x ) )
3126, 30syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  =  ( A  \  x ) )
32 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
3317adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  e.  _V )
34 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  \  x )  e.  L )
35 elrestr 14485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( Y 
\  x )  e.  L )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3731, 36eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) )
3837expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( ( Y  \  x )  e.  L  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
3925, 38orim12d 834 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L )  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
417, 40sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A 
\  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
4241ralrimiva 2829 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
436, 42jctird 544 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
44 isufil 19607 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  A. x  e. 
~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4543, 44syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )
) )
465, 45impbid 191 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
47 ufilb 19610 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  A  e.  L  <->  ( Y  \  A )  e.  L ) )
4847con1bid 330 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4946, 48bitrd 253 1  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076    \ cdif 3432    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   dom cdm 4947   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ↾t crest 14477   Filcfil 19549   UFilcufil 19603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-rest 14479  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-fil 19550  df-ufil 19605
This theorem is referenced by:  ssufl  19622
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