MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trufil Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trufil 20980
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter  L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )

Proof of Theorem trufil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20974 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) )
2 ufilfil 20974 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
3 trfil3 20958 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
42, 3sylan 478 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
51, 4syl5ib 227 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  -.  ( Y  \  A )  e.  L
) )
64biimprd 231 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7 elpwi 3972 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
8 simpll 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  L  e.  ( UFil `  Y )
)
9 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
10 simplr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  A  C_  Y
)
119, 10sstrd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  Y
)
12 ufilss 20975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L ) )
138, 11, 12syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  \/  ( Y  \  x )  e.  L ) )
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
15 elfvdm 5918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  Y  e.  dom  UFil )
16 ssexg 4565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  UFil )  ->  A  e.  _V )
1714, 15, 16syl2anr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
18 elrestr 15382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  L )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
19183expia 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2017, 19syldan 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2120adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
22 df-ss 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
239, 22sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  i^i  A )  =  x )
2423eleq1d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A )  <->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
2521, 24sylibd 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
26 indif1 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  x )  i^i  A )  =  ( ( Y  i^i  A )  \  x )
27 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  C_  Y )
28 dfss1 3649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
2927, 28sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
3029difeq1d 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  i^i  A
)  \  x )  =  ( A  \  x ) )
3126, 30syl5eq 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  =  ( A  \  x ) )
32 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
3317adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  e.  _V )
34 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  \  x )  e.  L )
35 elrestr 15382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( Y 
\  x )  e.  L )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3731, 36eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) )
3837expr 624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( ( Y  \  x )  e.  L  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
3925, 38orim12d 854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L )  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
417, 40sylan2 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A 
\  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
4241ralrimiva 2814 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
436, 42jctird 551 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
44 isufil 20973 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  A. x  e. 
~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4543, 44syl6ibr 235 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )
) )
465, 45impbid 195 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
47 ufilb 20976 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  A  e.  L  <->  ( Y  \  A )  e.  L ) )
4847con1bid 336 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4946, 48bitrd 261 1  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   dom cdm 4856   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ↾t crest 15374   Filcfil 20915   UFilcufil 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-rest 15376  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-fil 20916  df-ufil 20971
This theorem is referenced by:  ssufl  20988
  Copyright terms: Public domain W3C validator