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Theorem trufil 17895
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter  L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )

Proof of Theorem trufil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17889 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) )
2 ufilfil 17889 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
3 trfil3 17873 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
42, 3sylan 458 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
51, 4syl5ib 211 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  -.  ( Y  \  A )  e.  L
) )
64biimprd 215 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7 elpwi 3767 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
8 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  L  e.  ( UFil `  Y )
)
9 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
10 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  A  C_  Y
)
119, 10sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  Y
)
12 ufilss 17890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L ) )
138, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  \/  ( Y  \  x )  e.  L ) )
14 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
15 elfvdm 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  Y  e.  dom  UFil )
16 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  UFil )  ->  A  e.  _V )
1714, 15, 16syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
18 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  L )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
19183expia 1155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2017, 19syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
22 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
239, 22sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  i^i  A )  =  x )
2423eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A )  <->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
2521, 24sylibd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
26 indif1 3545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  x )  i^i  A )  =  ( ( Y  i^i  A )  \  x )
27 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  C_  Y )
28 dfss1 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
3029difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  i^i  A
)  \  x )  =  ( A  \  x ) )
3126, 30syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  =  ( A  \  x ) )
32 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
3317adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  e.  _V )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  \  x )  e.  L )
35 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( Y 
\  x )  e.  L )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3731, 36eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) )
3837expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( ( Y  \  x )  e.  L  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
3925, 38orim12d 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L )  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
417, 40sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A 
\  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
4241ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
436, 42jctird 529 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
44 isufil 17888 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  A. x  e. 
~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4543, 44syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )
) )
465, 45impbid 184 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
47 ufilb 17891 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  A  e.  L  <->  ( Y  \  A )  e.  L ) )
4847con1bid 321 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4946, 48bitrd 245 1  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Filcfil 17830   UFilcufil 17884
This theorem is referenced by:  ssufl  17903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rest 13605  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-ufil 17886
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