Theorem trufil 20143

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	|- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Proof of Theorem trufil

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 20137	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
2		ufilfil 20137	. . . . 5 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
3		trfil3 20121	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
4	2, 3	sylan 471	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
5	1, 4	syl5ib 219	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> -. ( Y \ A ) e. L ) )
6	4	biimprd 223	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
7		elpwi 4019	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
8		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
9		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ A )
10		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> A C_ Y )
11	9, 10	sstrd 3514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ Y )
12		ufilss 20138	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
15		elfvdm 5890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> Y e. dom UFil )
16		ssexg 4593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. dom UFil ) -> A e. _V )
17	14, 15, 16	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
18		elrestr 14677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ x e. L ) -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
19	18	3expia 1198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
20	17, 19	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
22		df-ss 3490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
23	9, 22	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x i^i A ) = x )
24	23	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) <-> x e. ( L ↾t A ) ) )
25	21, 24	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> x e. ( L ↾t A ) ) )
26		indif1 3742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( ( Y i^i A ) \ x )
27		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A C_ Y )
28		dfss1 3703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y i^i A ) = A )
30	29	difeq1d 3621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y i^i A ) \ x ) = ( A \ x ) )
31	26, 30	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( A \ x ) )
32		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
33	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A e. _V )
34		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y \ x ) e. L )
35		elrestr 14677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( Y \ x ) e. L ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
37	31, 36	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) )
38	37	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( Y \ x ) e. L -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
39	25, 38	orim12d 836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
41	7, 40	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
42	41	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
43	6, 42	jctird 544	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
44		isufil 20136	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
45	43, 44	syl6ibr 227	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) ) )
46	5, 45	impbid 191	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
47		ufilb 20139	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. A e. L <-> ( Y \ A ) e. L ) )
48	47	con1bid 330	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L <-> A e. L ) )
49	46, 48	bitrd 253	1 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾_t crest 14669   Filcfil 20078   UFilcufil 20132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-rest 14671  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-fil 20079  df-ufil 20134

This theorem is referenced by:  ssufl  20151