Theorem trufil 19463

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	|- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Proof of Theorem trufil

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 19457	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
2		ufilfil 19457	. . . . 5 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
3		trfil3 19441	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
4	2, 3	sylan 471	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
5	1, 4	syl5ib 219	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> -. ( Y \ A ) e. L ) )
6	4	biimprd 223	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
7		elpwi 3864	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
8		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
9		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ A )
10		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> A C_ Y )
11	9, 10	sstrd 3361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ Y )
12		ufilss 19458	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
15		elfvdm 5711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> Y e. dom UFil )
16		ssexg 4433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. dom UFil ) -> A e. _V )
17	14, 15, 16	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
18		elrestr 14359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ x e. L ) -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
19	18	3expia 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
20	17, 19	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
22		df-ss 3337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
23	9, 22	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x i^i A ) = x )
24	23	eleq1d 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) <-> x e. ( L ↾t A ) ) )
25	21, 24	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> x e. ( L ↾t A ) ) )
26		indif1 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( ( Y i^i A ) \ x )
27		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A C_ Y )
28		dfss1 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y i^i A ) = A )
30	29	difeq1d 3468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y i^i A ) \ x ) = ( A \ x ) )
31	26, 30	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( A \ x ) )
32		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
33	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A e. _V )
34		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y \ x ) e. L )
35		elrestr 14359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( Y \ x ) e. L ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
37	31, 36	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) )
38	37	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( Y \ x ) e. L -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
39	25, 38	orim12d 834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
41	7, 40	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
42	41	ralrimiva 2794	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
43	6, 42	jctird 544	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
44		isufil 19456	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
45	43, 44	syl6ibr 227	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) ) )
46	5, 45	impbid 191	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
47		ufilb 19459	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. A e. L <-> ( Y \ A ) e. L ) )
48	47	con1bid 330	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L <-> A e. L ) )
49	46, 48	bitrd 253	1 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾_t crest 14351   Filcfil 19398   UFilcufil 19452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-rest 14353  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-fil 19399  df-ufil 19454

This theorem is referenced by:  ssufl  19471