Theorem trufil 17895

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	|- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Proof of Theorem trufil

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 17889	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
2		ufilfil 17889	. . . . 5 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
3		trfil3 17873	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
4	2, 3	sylan 458	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
5	1, 4	syl5ib 211	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) -> -. ( Y \ A ) e. L ) )
6	4	biimprd 215	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
7		elpwi 3767	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
8		simpll 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
9		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ A )
10		simplr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> A C_ Y )
11	9, 10	sstrd 3318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> x C_ Y )
12		ufilss 17890	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) )
14		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
15		elfvdm 5716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( UFil ` Y ) -> Y e. dom UFil )
16		ssexg 4309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. dom UFil ) -> A e. _V )
17	14, 15, 16	syl2anr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
18		elrestr 13611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ x e. L ) -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
19	18	3expia 1155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
20	17, 19	syldan 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
21	20	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
22		df-ss 3294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
23	9, 22	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x i^i A ) = x )
24	23	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x i^i A ) e. ( L ↾t A ) <-> x e. ( L ↾t A ) ) )
25	21, 24	sylibd 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. L -> x e. ( L ↾t A ) ) )
26		indif1 3545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( ( Y i^i A ) \ x )
27		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A C_ Y )
28		dfss1 3505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
29	27, 28	sylib 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y i^i A ) = A )
30	29	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y i^i A ) \ x ) = ( A \ x ) )
31	26, 30	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) = ( A \ x ) )
32		simpll 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> L e. ( UFil ` Y ) )
33	17	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> A e. _V )
34		simprr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( Y \ x ) e. L )
35		elrestr 13611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( Y \ x ) e. L ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( ( Y \ x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
37	31, 36	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( x C_ A /\ ( Y \ x ) e. L ) ) -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) )
38	37	expr 599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( Y \ x ) e. L -> ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
39	25, 38	orim12d 812	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( ( x e. L \/ ( Y \ x ) e. L ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
41	7, 40	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
42	41	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) )
43	6, 42	jctird 529	. . . 4 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
44		isufil 17888	. . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ A. x e. ~P A ( x e. ( L ↾t A ) \/ ( A \ x ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
45	43, 44	syl6ibr 219	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L -> ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) ) )
46	5, 45	impbid 184	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
47		ufilb 17891	. . 3 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. A e. L <-> ( Y \ A ) e. L ) )
48	47	con1bid 321	. 2 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. ( Y \ A ) e. L <-> A e. L ) )
49	46, 48	bitrd 245	1 |- ( ( L e. ( UFil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( UFil ` A ) <-> A e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603   Filcfil 17830   UFilcufil 17884

This theorem is referenced by:  ssufl  17903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rest 13605  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-ufil 17886