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Theorem trsbcVD 31930
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 31564 is trsbcVD 31930 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 31930.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) ).
5:1,2,3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
7:5,6:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
8::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
9:7,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
10::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
11:10:  |-  A. x ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
12:1,11:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
13:9,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
14:13:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
15:14:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
16:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
17:15,16:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
18:17:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
19:18:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
20:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
21:19,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
22::  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
23:21,22:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ).
24::  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
25:24:  |-  A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
26:1,25:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
27:23,26:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
qed:27:  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbcVD  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem trsbcVD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 31604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
32sbcieg 3325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
41, 3e1a 31666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
5 sbcel2gv 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) )
61, 5e1a 31666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
) ).
7 sbcel2gv 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) )
81, 7e1a 31666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A
) ).
9 imbi13 31542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) )
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) ) )
111, 4, 6, 8, 10e1111 31714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
12 sbcim2g 31562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) )
131, 12e1a 31666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
14 bibi1 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  <-> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1514biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1611, 13, 15e11 31727 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
17 pm3.31 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
18 pm3.3 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
1917, 18impbii 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
20 bibi1 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2120biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2216, 19, 21e10 31733 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
23 pm3.31 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
24 pm3.3 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) ) )
2523, 24impbii 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2625ax-gen 1592 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x
( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 sbcbi 31563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
281, 26, 27e10 31733 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
29 bitr3 31532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3122, 28, 30e11 31727 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
3231gen11 31655 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
33 albi 1610 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. y [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
3432, 33e1a 31666 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
35 sbcalgOLD 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
361, 35e1a 31666 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
37 bibi1 327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3837biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3934, 36, 38e11 31727 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
4039gen11 31655 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
41 albi 1610 . . . . . 6  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
4240, 41e1a 31666 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ).
43 sbcalgOLD 3345 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
441, 43e1a 31666 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
45 bibi1 327 . . . . . 6  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4645biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( A. z [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4742, 44, 46e11 31727 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
48 dftr2 4494 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
49 biantr 922 . . . . 5  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  /\  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) )
5049ex 434 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ) )
5147, 48, 50e10 31733 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ).
52 dftr2 4494 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
5352ax-gen 1592 . . . 4  |-  A. x
( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
54 sbcbi 31563 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
551, 53, 54e10 31733 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) ) ).
56 bibi1 327 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A )  <->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ) )
5756biimprcd 225 . . 3  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) ) )
5851, 55, 57e11 31727 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
5958in1 31601 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   [.wsbc 3292   Tr wtr 4492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-v 3078  df-sbc 3293  df-in 3442  df-ss 3449  df-uni 4199  df-tr 4493  df-vd1 31600
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