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Theorem trsbcVD 34078
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 33701 is trsbcVD 34078 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 34078.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) ).
5:1,2,3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
7:5,6:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
8::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
9:7,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
10::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
11:10:  |-  A. x ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
12:1,11:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
13:9,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
14:13:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
15:14:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
16:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
17:15,16:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
18:17:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
19:18:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
20:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
21:19,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
22::  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
23:21,22:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ).
24::  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
25:24:  |-  A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
26:1,25:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
27:23,26:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
qed:27:  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbcVD  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem trsbcVD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 33745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
32sbcieg 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
41, 3e1a 33807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
5 sbcel2gv 3384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) )
61, 5e1a 33807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
) ).
7 sbcel2gv 3384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) )
81, 7e1a 33807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A
) ).
9 imbi13 33677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) )
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) ) )
111, 4, 6, 8, 10e1111 33855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
12 sbcim2g 33699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) )
131, 12e1a 33807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
14 bibi1 325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  <-> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1514biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1611, 13, 15e11 33868 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
17 pm3.31 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
18 pm3.3 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
1917, 18impbii 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
20 bibi1 325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2120biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2216, 19, 21e10 33874 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
23 pm3.31 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
24 pm3.3 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) ) )
2523, 24impbii 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2625ax-gen 1623 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x
( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 sbcbi 33700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
281, 26, 27e10 33874 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
29 bitr3 33667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3122, 28, 30e11 33868 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
3231gen11 33796 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
33 albi 1644 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. y [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
3432, 33e1a 33807 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
35 sbcalgOLD 33703 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
361, 35e1a 33807 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
37 bibi1 325 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3837biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3934, 36, 38e11 33868 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
4039gen11 33796 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
41 albi 1644 . . . . . 6  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
4240, 41e1a 33807 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ).
43 sbcalgOLD 33703 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
441, 43e1a 33807 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
45 bibi1 325 . . . . . 6  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4645biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( A. z [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4742, 44, 46e11 33868 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
48 dftr2 4534 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
49 biantr 929 . . . . 5  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  /\  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) )
5049ex 432 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ) )
5147, 48, 50e10 33874 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ).
52 dftr2 4534 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
5352ax-gen 1623 . . . 4  |-  A. x
( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
54 sbcbi 33700 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
551, 53, 54e10 33874 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) ) ).
56 bibi1 325 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A )  <->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ) )
5756biimprcd 225 . . 3  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) ) )
5851, 55, 57e11 33868 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
5958in1 33742 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   [.wsbc 3324   Tr wtr 4532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-v 3108  df-sbc 3325  df-in 3468  df-ss 3475  df-uni 4236  df-tr 4533  df-vd1 33741
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