Theorem trpredrec 27847

Description: If Y is an R, A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between Y and X (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredrec	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, R   z, X   z, Y

Proof of Theorem trpredrec

Dummy variables a i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltrpred 27835	. 2 |- ( Y e. TrPred ( R , A , X ) <-> E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
2		nn0suc 6611	. . . 4 |- ( i e. om -> ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) )
3		fveq2 5800	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = (/) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) )
4	3	eleq2d 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( i = (/) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) )
5	4	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
6	5	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
7		setlikespec 27793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
8		fr0g 7002	. . . . . . . . . . 11 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
10	9	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) <-> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
11	10	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) -> Y e. Pred ( R , A , X ) )
12	6, 11	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = (/) -> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
13		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = suc j -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) )
14	13	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) )
15	14	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
16	15	biimpd 207	. . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
17		fvex 5810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V
18		trpredlem1 27836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
19	7, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
20	19	sseld 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. A ) )
21		setlikespec 27793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
22	21	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
24	20, 23	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ralrimiv 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
26		iunexg 6664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V /\ A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
27	17, 25, 26	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
28		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a Pred ( R , A , X )
29		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a j
30		nfmpt1 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ a ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) )
31	30, 28	nfrdg 6981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) )
32		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a om
33	31, 32	nfres 5221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ a ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
34	33, 29	nffv 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
35		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a Pred ( R , A , z )
36	34, 35	nfiun 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z )
37		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
38		predeq3 27774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
39	38	cbviunv 4318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. a Pred ( R , A , z )
40		iuneq1 4293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ z e. a Pred ( R , A , z ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
41	39, 40	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
42	28, 29, 36, 37, 41	frsucmpt 7004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. om /\ U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
43	27, 42	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
44	43	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) <-> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
45	44	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
46	45	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. om -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
47		eliun 4284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) <-> E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) )
48		ssiun2 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
49		dftrpred2 27828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- TrPred ( R , A , X ) = U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
50	48, 49	syl6sseqr 3512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	50	sseld 3464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. TrPred ( R , A , X ) ) )
52		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
53	52	elpredim 27782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z ) )
55	51, 54	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. om -> ( ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) /\ Y e. Pred ( R , A , z ) ) -> ( z e. TrPred ( R , A , X ) /\ Y R z ) ) )
56	55	reximdv2 2931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
57	56	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
58	47, 57	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
59	46, 58	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
60	59	pm2.43d 48	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
61	16, 60	syl6com 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = suc j -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( j e. om -> ( i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
63	62	rexlimdv 2946	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( E. j e. om i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
64	12, 63	orim12d 834	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
65	64	ex 434	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
67	2, 66	syl5 32	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( i e. om -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
68	67	rexlimdv 2946	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
69	1, 68	syl5bi 217	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3437   (/)c0 3746   U_ciun 4280   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4459   Se wse 4786   suc csuc 4830   |` cres 4951   ` cfv 5527   omcom 6587   reccrdg 6976   Predcpred 27769   TrPredctrpred 27826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-pred 27770  df-trpred 27827

This theorem is referenced by: (None)