Theorem trpredrec 28895

Description: If Y is an R, A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between Y and X (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredrec	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, R   z, X   z, Y

Proof of Theorem trpredrec

Dummy variables a i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltrpred 28883	. 2 |- ( Y e. TrPred ( R , A , X ) <-> E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
2		nn0suc 6702	. . . 4 |- ( i e. om -> ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) )
3		fveq2 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = (/) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) )
4	3	eleq2d 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( i = (/) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) )
5	4	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
6	5	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
7		setlikespec 28841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
8		fr0g 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
10	9	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) <-> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
11	10	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) -> Y e. Pred ( R , A , X ) )
12	6, 11	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = (/) -> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
13		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = suc j -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) )
14	13	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) )
15	14	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
16	15	biimpd 207	. . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
17		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V
18		trpredlem1 28884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
19	7, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
20	19	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. A ) )
21		setlikespec 28841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
22	21	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
24	20, 23	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
26		iunexg 6757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V /\ A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
27	17, 25, 26	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
28		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a Pred ( R , A , X )
29		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a j
30		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ a ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) )
31	30, 28	nfrdg 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) )
32		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a om
33	31, 32	nfres 5273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ a ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
34	33, 29	nffv 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
35		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a Pred ( R , A , z )
36	34, 35	nfiun 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z )
37		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
38		predeq3 28822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
39	38	cbviunv 4364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. a Pred ( R , A , z )
40		iuneq1 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ z e. a Pred ( R , A , z ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
41	39, 40	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
42	28, 29, 36, 37, 41	frsucmpt 7100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. om /\ U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
43	27, 42	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
44	43	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) <-> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
45	44	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
46	45	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. om -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
47		eliun 4330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) <-> E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) )
48		ssiun2 4368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
49		dftrpred2 28876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- TrPred ( R , A , X ) = U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
50	48, 49	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	50	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. TrPred ( R , A , X ) ) )
52		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
53	52	elpredim 28830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z ) )
55	51, 54	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. om -> ( ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) /\ Y e. Pred ( R , A , z ) ) -> ( z e. TrPred ( R , A , X ) /\ Y R z ) ) )
56	55	reximdv2 2934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
57	56	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
58	47, 57	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
59	46, 58	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
60	59	pm2.43d 48	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
61	16, 60	syl6com 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = suc j -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( j e. om -> ( i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
63	62	rexlimdv 2953	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( E. j e. om i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
64	12, 63	orim12d 836	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
65	64	ex 434	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
67	2, 66	syl5 32	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( i e. om -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
68	67	rexlimdv 2953	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
69	1, 68	syl5bi 217	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Se wse 4836   suc csuc 4880   |` cres 5001   ` cfv 5586   omcom 6678   reccrdg 7072   Predcpred 28817   TrPredctrpred 28874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-pred 28818  df-trpred 28875

This theorem is referenced by: (None)