Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredrec Structured version   Unicode version

Theorem trpredrec 28895
Description: If  Y is an  R,  A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between  Y and  X (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredrec  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, R    z, X    z, Y

Proof of Theorem trpredrec
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 28883 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 nn0suc 6702 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
3 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
43eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  <-> 
Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) ) )
54anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
65biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
7 setlikespec 28841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
8 fr0g 7098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
109eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  <->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
1110biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) )  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )
)
126, 11syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  (/)  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
13 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
1413eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  <->  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) )
1514anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
1615biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
17 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  e.  _V
18 trpredlem1 28884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
197, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
2019sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  A
) )
21 setlikespec 28841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V ) )
2420, 23syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2524ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
26 iunexg 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  e.  _V  /\ 
A. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )  ->  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2717, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
28 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
29 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a
j
30 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
3130, 28nfrdg 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
32 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a om
3331, 32nfres 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
3433, 29nffv 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
35 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  z )
3634, 35nfiun 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a U_ z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
38 predeq3 28822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3938cbviunv 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  a  Pred ( R ,  A ,  z )
40 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ z  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  z )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4139, 40syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4228, 29, 36, 37, 41frsucmpt 7100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
)
4327, 42sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4443eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  <->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
) )
4544biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
4645expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
47 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  <->  E. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )
)
48 ssiun2 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
49 dftrpred2 28876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
5048, 49syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5150sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
52 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5352elpredim 28830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R z )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R
z ) )
5551, 54anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  om  ->  (
( z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  /\  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  /\  Y R z ) ) )
5655reximdv2 2934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  ( E. z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
5756com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) Y  e.  Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5847, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5946, 58syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6059pm2.43d 48 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6116, 60syl6com 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  suc  j  ->  ( j  e. 
om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6261com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6362rexlimdv 2953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( E. j  e. 
om  i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6412, 63orim12d 836 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( i  =  (/)  \/  E. j  e. 
om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6564ex 434 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6665com23 78 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( i  =  (/)  \/ 
E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
672, 66syl5 32 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
i  e.  om  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6867rexlimdv 2953 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
691, 68syl5bi 217 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Se wse 4836   suc csuc 4880    |` cres 5001   ` cfv 5586   omcom 6678   reccrdg 7072   Predcpred 28817   TrPredctrpred 28874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-pred 28818  df-trpred 28875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator